1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充分必要条件是（A）存在一组不全为 0 的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出（D） 1， 2， s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 2 设 A 是 4 阶矩阵，且 A 的行列式A=0，则 A 中（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合
2、（D）任一列向量是其余列向量的线性组合 3 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关。则向量组（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1，线性无关（B） 12， 23， 34， 41，线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 41，线性无关（D） 1+2， 2+3， 34， 41，线性无关 4 设矩阵 是满秩的，则直线 L1：（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面 5 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有行列式AB0（B）当 mn 时，必有行列式AB=0（C）当 nm 时，必有行列式AB0（D）当 nm 时，必有行列式AB=06 设 n
3、 维列向量组 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， m，线性无关的允分必要条件为（A）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（C）向量组 1， m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵 A=1， m与矩阵 B=1， m等价 7 设向量组： 1， 2， r，可由向量组： 1， 2， r 线性表爪则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关8 设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量维线性
4、相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 9 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关 10 设向量组 1， 2， 3 线性
5、无关，则下列向量组线性相关的是（A） 12， 23， 31（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 122， 223， 321（D） 1+22， 2+23， 3+21 11 设 1， 2， 3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基 1， 3 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为二、填空题12 已知三维线性空间的一组基底为 1=(1，1，0)， 2=(1，0，1)， 3=(0，1，1)，则向量 u=(2，0，0)在上述基底下的坐标是 _13 已知向量组 1=(1，2，3，4)， 2=(2，3，4，5)， 3=(3，4，5，6)，4=(4， 5，6， 7)，则该向量组的秩是_14 设
6、 其中 ai0，b i0(i=1，2，n)，则矩阵 A 的秩r(A)= _15 设 A 是 43 矩阵且 A 的秩 r(A)=2，而 则 r(AB)= _16 从 R2 的基 = 的过渡矩阵为_17 设 1=(1， 2，一 1，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，a) T若由1， 2， 3 生成的向量空间的维数为 2，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 1， 2， 3 线性无关，问：18 1 能否由 2， 3 线性表出?证明你的结论19 4 能否由 1， 2， 3 线性表出 ?证明你的结论20 设
7、 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nmI 是 n 阶单位矩阵若AB=I证明 B 的列向量组线性无关21 设 JB 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=(1，1，2，3) T， 2=(一 1，1，4一 1)T， 3=(5，一 1，一 8，9) T 都是齐次线性方程组 BX=0 的解向量求 BX=0 的解空间的一个标准正交基22 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak10证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。22 已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 x， Ax，A 2x 线性无关。且满足A3x=3Ax 一 2A2
8、x23 记 P=(xAxA2x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP1；24 计算行列式A+E24 设 、 均为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置证明：25 秩 r(A)2；26 若 ， 线性相关，则秩 r(A)226 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示27 求 a 的值；28 将 1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中
9、，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 1， 2， s 线性相关的充分必要条件是该组中至少存在一个向量，它可以用该组中其余 s 一 1 个向量线性表出，而线性无关是线性相关的反面，由此立即知(D) 正确【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 对于方阵 A由于A=0A 的列(行)向量组线性相关由向量组线性相关的充要条件即知(C)正确【知识模块】 向量3 【正确答案】 C【试题解析】 记(C) 中的 4 个向量依次为 1， 2， 3， 4，则由已知，有 1 2 3 4=1 2 3 4 由于 1， 2， 3， 4 线性无关，且上式最右边的矩阵的秩为 4，于是知
10、 r1 2 3 4=r1 2 3 4=4。故 1， 2， 3， 4 线性无关，(C)正确【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析】 L 1 的方向向量为 1=(a1 一 a2，b 1 一 b2，c 1c2)，L 2 的方向向量为2=(a2 一 a3，b 2 一 b3，c 2 一 c3)对矩阵 A 作仞等行变换：因为 A 是满秩的，故 B 也是满秩的注意 B 的前 2 个行向量分别就是 1 和 2，故 1 与 2 不共线 取 L 上的点 P(a3，b 3，c 3)取 L2 的点 Q(a1，b 1，c 1)由于混合积 (1 2 =0 故 L1 与 L2 共面，它们又不平行故必交于一点【知识
11、模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时，mn 矩阵 A 的行向量组线性相关，故 A 的行向量组中至少有一行可由其它行向量组性表出，不妨设 A 的第 1 行可由 A 的其它行向量线性表出，因此，可通过初等行变换将 A 的第 1 行化成零行，即存在可逆矩阵Pmn，使得 PA 的第 1 行为零行，于是 PAB 的第 1 行为零行，PAB=0，即PAB=0 又P0，故得AB=0【知识模块】 向量6 【正确答案】 D【试题解析】 记向量组()： 1， m，向量组()： 1， m，由于mn故当()线性无关时，()与( )之间不一定存在线性表示。例如，向量组组 1= ，二者都是线性无关组
12、，二者的秩都是 2但二者之间不存在线性表示，故备选项(A)、(B)及(C) 都不对，因此只有(D)正确。【知识模块】 向量7 【正确答案】 D【试题解析】 本题的正确结论，几乎在每本线性代数教材中都是作为定理的可以这样来理解和记忆这个结论：记由向量组生成的子空间为 W，则的极大无关组和秩分别是 W 的基与维数，因此有 dim(W)s若 I 可由线性表示，则I W由于 W 中线性无关的向量不会超过 s 个，所以当 I 所含向量个数 rs 时，I 必是线性相关的【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1 2 n，由 Bo 知至少有一列非零，设 B的第 j 列(b
13、 1j，b 2j，b nj)TO，则 AB 的第 j 列为 1 2 n =O，即 b1j1+b2j2+bnjn=0，因为常数 b1j，b 2j，b nj 不全为零，故由上式知 A 的列向量组线性相关，再由 AB=O 取转置得 BTAT=O，利用已证的结果可知 BT 的列向量组即 B 的行向量组线性相关，故(A)正确【知识模块】 向量9 【正确答案】 A【试题解析】 若 1， 2， s 线性相关则存在一组不全为零的常数k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+knn=0 两端左乘矩阵 A，得 k1A1+k2A2+ksAs=0 因 k1，k 2，k s 不全为零故线性相关的定义，即知向量组 A
14、1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 向量10 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 12)一( 23)+(3 一 1)=0 即选项(A)中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项(A)正确【知识模块】 向量11 【正确答案】 A【试题解析】 如果 3 维向量空间的一组基()： 1， 2， 3 与另一组基()：1， 2， 3 之间有如下关系： j=a1j1+a2j2+a3j3(j=1，2，3)，写成矩阵形式，就是1， 2， 3=1， 2， 3 其中 a1j 为常数(i，j=1，2，3)，则称矩阵A=(aij)33 为由基() 到基 ()的过渡矩阵，现在容易得到 12， 2
15、3， 3 一 1= 因此所求过渡矩阵为 A= 只有选项(A)正确【知识模块】 向量二、填空题12 【正确答案】 (1，1，一 1)【试题解析】 设 u 在基底 1， 2， 3 下的坐标为(x 1，x 2，x 3)，即x11+x22+x33=u，或 解此方程组得唯一解：x 1=1，x 2=1，x 3=一1【知识模块】 向量13 【正确答案】 2【试题解析】 由于矩阵的秩等于其行向量组的秩，所以由 1， 2， 3， 4 为行向量绀成矩阵 A通过求 A 的秩即得所求向量组的秩对 A 作初等行变换：由此可知 r(A)=2，故1， 2， 3， 4 的秩为 2【知识模块】 向量14 【正确答案】 1【试题
16、解析】 因为 A 的第 1 行非零，又 A 的第 2，3，n 行都可由 A 的第 1行线性表出故 A 的行秩为 1，即 r(A)=1【知识模块】 向量15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 B 为满秩方阵，而用满秩方阵乘矩阵，不改变矩阵的秩所以有 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 向量16 【正确答案】 【试题解析】 设由基 1， 2 到基 1， 2 的过渡矩阵为 A，则有 1 2=1 2A 因为矩阵 1 2为 2 阶可逆方阵，故由上式得 A=1 211 2。【知识模块】 向量17 【正确答案】 6【试题解析】 由 1， 2， 3 生成的向量空间的维数等于该向量组的秩，而由下列矩阵的初等
17、变换： 1 2 3= 知，r(1， 2， 3)=2a=6所以 a=6【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量18 【正确答案】 1 能由 2， 3 线性表出因为已知 2， 3， 4 线性无关，所以2， 3 线性无关又因为 1， 2， 3 线性相关，故证得 1 能由 2， 3 线性表出【知识模块】 向量19 【正确答案】 4 不能由 1， 2， 3 线性表出用反证法设 4 可由 1， 2， 3线性表出，即 4=11+22+33 由(1) 知，设 1=l22+l33，代入上式，得 4=(2+1l2)2+(3+13)3 即 4 可由 2， 3 线性表出，
18、从而 2， 3， 4 线性相关，这和已知矛盾因此， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量20 【正确答案】 设 B=1 2 n，其中 j 是 B 的第 j 个列向量(j=1，2，n)若数 x1，x 2，x n 使得 x 11+x22+xnn=0 即 1 2 n=BX=0 两边左乘 A，得 ABX=0，即 IX=0，亦即 X=0 所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 向量21 【正确答案】 因 r(B)=2，故 BX=0 的解空间的维数为 42=2又 1， 2 线性无关故 1， 2 是解空间的基取 1=1=(11，23) T即是所求的一个标准正交基【知识模块】 向量22
19、【正确答案】 设有常数 1， 2， k，使得 1+2+ kAk1=0 两端左乘Ak1，得 1Ak1+2Ak+ kA2k2=0 由于 Ak=0，有 Ak+l=0(l 为任意正整数)，从而有 1Ak1=0 因为 Ak10，所以 1=0类似可证得 1=2= k=0，因此向量组 ，A ， ，A k1 线性无关【知识模块】 向量【知识模块】 向量23 【正确答案】 设 则由 AP=PB，得(Ax A 2x A3x)=(Ax A2x 3Ax一 2A2x)=(x Ax A2x) 上式可写成 Ax=a 1x+b1Ax+c1A2x (1) A2x=a2x+b2Ax+c2A2x (2) 3Ax 一 2A2x=a3
20、x+b3Ax+c3A2x (3)由于 x，Ax，A 2x 线性无关，故 由(1)式可得 a 1=c1=0，b 1=1 由(2)式可得 2=b2=0，c 2=1 由(3)式可得 a3=0，b 3=3，c 3=一 2 从而 B=【知识模块】 向量24 【正确答案】 由(1)有 A=PBP1，故 A+E=PBP 1+E=P(B+E)P1 两端取行列式，得A+E=P B+EP 1=B+E= =1【知识模块】 向量【知识模块】 向量25 【正确答案】 r(A)=r( T+T) r(T)+r(T) (利用 r(P+Q)r(P)+r(Q) r()+r() (和用 r(PQ)Minr(P)，r(Q) 2 (利
21、用矩阵的秩不大于其行数、列数)【知识模块】 向量26 【正确答案】 由于 ， 线性相关，不妨设 =k(k 为常数)，于是 r(A)=r(T+T)=r(1+k2)T =r(T)r()12【知识模块】 向量【知识模块】 向量27 【正确答案】 解 4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1，2，3)，若1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 0= 1， 2， 3= =a 一 5，于是a=5此时， 1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 向量28 【正确答案】 令矩阵 A=1 2 3 1 2 3，对 A 施行初等行变换从而， 1=21+423， 2=1+22， 3=51+10223【知识模块】 向量
