1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似 2 设矩阵 A= ，则 A 与 B（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似3 设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22y32，其中P=(e1，
2、e 2，e 3)若 Q=(e1，e 2，e 3)，则 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为（A）2y 12y22+y32（B） 2y12+y22y32（C） 2y12y22y32（D）2y 12+y22+y325 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则 f(x1，x 2，x 3)=2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面 二、填空题6 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=P
3、y 可化成标准形 f=6y12，则 a=_7 若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y12+4z12=4，则a=_8 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12x22+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是_9 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x2x3+2x1x3 经正交变换化成了标准形 f=y22+2y32，其中 P 为正交矩阵，则=_，=_ 10 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32+2x1x22x1x3+4x2x3 为正定二次型，则 的取值
4、范围是_11 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+x2+x3)2+(x3+x1)2 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 成标准形。13 设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 114 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)通过正交变换化成标准形=y12+2y22+5y32，求参数 a 及所用的正交变换矩阵14 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x2
5、2+cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 215 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值16 指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面17 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 2+42=4，求 a、b 的值和正交矩阵 P18 设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n18 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)1x2 的
6、秩为 219 (19 )求 a 的值；20 (20 )求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；21 (21 )求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解21 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a1)x32+2x1x32x2x322 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；23 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值23 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第 3 列为( )T24 求矩阵 A；25 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵25
7、已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 226 求实数 a 的值；27 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形27 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 28 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T29 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y2230 )设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12x22+ax32+2x1x28x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1y12+2y22，求以的值及一个正交矩阵 Q30 设实二次
8、型 f(x1，x 2，x 3)=(x1x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2其中 a 是参数31 求 f(x1，x 2，x 3)=0 的解；32 求 f(x1，x 2，x 3)的规范形考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，且易求出 A 的特征值为 1=4， 2=3=4=0，所以必有正交矩阵 P，使得 P1APPTAP= =B 即 A 既相似于 B，也合同于 B，所以(A)正确【知识模块】 二次型2 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方
9、程E 一 A=( 一 3)2=0 得A 的全部特征值为 1， 2=3， 3=0，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3， 30)，但油 A 的特征值知 3 元二次型 f(x1， x2，x 3)=xTAx 的秩及正惯性指数均为(二次型 f=xTAx 经适当的正交变换可化成标准形 f=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形 f=z12+z22。而 f 的矩阵 A 与 f 的规范形的矩阵 B=diag(1，1，0)是合同的)【知识模块】 二次型3 【正确答案】 B【试题解析】 由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为 1x22
10、y23z2=1， 其中 i0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 A 的特征值为： 10，一 20，一 30，因此 A 的正特征值的个数为 1【知识模块】 二次型4 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，一 1即有 Ae1=2e1，Ae 2=2e2，A 3=23 从而有 AQ=A(e 1，e 3， e2)=(Ae1，Ae 3，Ae 2)一(2e1，( e3)，e 2)=(e1， e3，e 2) 矩阵 Q 的列向量 e
11、1，e 3，e 2 仍是A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，一 1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q1=QT，上式两端左乘 Q1，得 Q1AQ=QTAQ= 从而知 f 在正交变换 x=Py 下的标准形为 f=2y12y22+y32于是选 A【知识模块】 二次型5 【正确答案】 B【试题解析】 二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 A= ，由得 A 的全部特征值为 1=5， 2=3=一 1， 因此，二次曲面方程 f(x1，x 2，x 3)=2 在适当的旋转变换下可化成方程 5y12y22y32=2，由此可知该二次曲面是双叶双曲面【知识模块】 二次型二、填空题6 【正确答案】 2
12、【试题解析】 由题设条件知，f 的矩阵为 由于在正交变换下化 f 所成的标准形中，变量平方项的系数为 A 的全部特征值，故由 f 的标准形知 A 的特征值为 6，0，0再由特征值的性质：A 全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 6+0+0=a+a+a 便得 a=2【知识模块】 二次型7 【正确答案】 1【试题解析】 由题设条件知二次曲面方程左端的二次型的秩为 2，即矩阵 A=的秩为 2于是有 0=det(A)= =一(a 一 1)2 所以，a=1 【知识模块】 二次型8 【正确答案】 一 22【试题解析】 对 f 配方，可得 f=(x 3+ax3)!一(x 2 一 2x3)。+(4
13、一 a)x3 于是 f 可经可逆线性变换 化成标准形 f=z 12z22+(4 一 a2)z32 若 4 一 a20，则的负惯性指数为 2，不合题意； 若 4a20则的负惯性指数为 1 因此，当且仅当 4a20即a2 时，f 的负惯性指数为 1【知识模块】 二次型9 【正确答案】 0，0【试题解析】 =0A= 的秩=f 的秩=2，A=0，=，又0= EA =一 22，=0【知识模块】 二次型10 【正确答案】 一 21【试题解析】 由 A= 的各阶顺序主子式均大于 0，即 1=10， 2=4 一 20， 3=A=一 4(+2)( 一 1)0，一 2 1【知识模块】 二次型11 【正确答案】 2
14、【试题解析】 f 的矩阵 A= 的秩为 2【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 f 的矩阵为得 A 的全部特征值为 1=2=0， 3=9 对于 1=2=0，求方程组(0EA)X=0 的基础解系，由 从而可取 A 的对应于 1=2=0 的特征向量为 1 与 2 已经正交，将它们单位化，得对于 3=9，求方程组(9EA)X=0 的基础解系，由 可取对应于 3=9 的特征向量为 3=(1，一 2，2) T 将其单位化， p3= 令矩阵 P=p1 p2 p3，则 P 为正交矩阵，在正交变换 X=PY，即 下，二次型 f 化成为 f=9y32，此即为
15、f 的标准形【知识模块】 二次型13 【正确答案】 因为 A 是正定阵，故存在正交阵 Q，使 QTAQ=QTAQ=其中 i0(i=1，2，n) 是 A 的特征值因此 Q T(A+E)Q=QTAQ+QTQ 在上式两端取行列式，得 (i+1)=Q T(A+E)Q=Q TA+E Q=A+E 从而 A+E1【知识模块】 二次型14 【正确答案】 二次型 f 的矩阵为 特征方程为I 一 A=(22)(26+9 一 a2)=0A 的特征值为1=1， 2=2， 3=5将 =1(或 =5)代入特征方程，得 a2 一 4=0，a=2 ，又 a0，故 a=2这时， 1=1 时，由(JA)X=0，即解得对应的特征向
16、量 1= 2=2 时，由(2IA)X=0 ，解得对应的特征向量为 2 3=5 时，由(5I A)X=0，解得对应的特征向量为 3=将 1， 2， 3 单位化，得 e1= 故所用的正交变换矩阵可取为 T=e1 e2 e3=【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型15 【正确答案】 f 对应的矩阵为 因其秩 r(A)=2，故解得 c=3，容易验证此时 A 的秩的确是 2或由可知当且仅当 c=3 时 r(A)=2这时故所求特征值为1=0， 2=4， 3=9【知识模块】 二次型16 【正确答案】 由上述特征值可知，f(x 1，x 2，x 3)=1 表示椭圆柱面【知识模块】 二次型17 【正确答案】 解
17、之得到 a=3，b=1(另一解法：由特征值的性质得1+a+1=0+1+4， =014=0，解之得 a=3，b=1)计算可得，矩阵的对应于特征值 1=0， 2=1， 3=4 的单位特征向量分别可取为因此所求正交矩阵 P 可取为 P=x1，x 2，x 3=【知识模块】 二次型18 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则对任意的实 n 维列向量 x0，有 xT(BTAB)x0即 (Bx) TA(Bx)0 于是 Bx0因此， Bx=0 只有零解，从而有r(B)=n 充分性：因 (BTAB)T=BTATB=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有
18、零解，从而对任意实 n 维列向量 x0，有 Bx0又A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)=xT(BTAB)x0于是当 x0 时，xT(BTAB)x0，故 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型19 【正确答案】 f 的秩为 2，即 f 的矩阵 的秩为 2所以有=一 4a=0，得 a=0【知识模块】 二次型20 【正确答案】 当 a=0 时，A= =(一 2)2 可知 A 的特征值为 1=2=2， 3=0 A 的属于 1=2 的线性无关的特征向量为 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T A 的属于 3=0 的线性无关的特征量为 3=(一1，
19、1，0) 2 易见 1， 2， 3 两两正交将 1， 2， 3 单位化得 e 1= (1，1，0)2，e 2=(0，0，1) 2，e 3= (一 1，1，0) 2 取 Q=(e1， e2，e 3)，则 Q 为正交矩阵作正交变换 x=Qy，得 f 的标准形为 f(x 1，x 2，x 3)=1y12+2y22+3y32=2y12+2y22【知识模块】 二次型21 【正确答案】 在正交变换 x=Qy 下，f(x 1，x 2，x 3)=0 化成 2y12+2y22=0，解之得y1=y2=0，从而得所求方程的解为 x=Q =(e1，e 2，e 3) =y3e3=k(一 1，1，0) T，其中 k 为任意
20、常数【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型22 【正确答案】 f 的矩阵为 A= ，由特征方程=(a)(a)2+(a)一 2=(a)(a+2)(a 一 1)=0，得 A 的特征值为 1=a， 2=a一 2， 3=a+1【知识模块】 二次型23 【正确答案】 由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0 若 1=a=0，则 2=一 20， 3=1，不合题意；若 2=a 一 2=0，则 a=2， 1=2， 3=3，符合题意；若 3=a+1=0，则 a=一1， 1=一 10， 2=一 30，不合题意故 a=2【知识模块】 二
21、次型【知识模块】 二次型24 【正确答案】 由题设，A 的特征值为 1，1，0，且 (1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设(x 1，x 2，x 3)T 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，因为 A的属于不同特征值的特征向量正交，所以(x 1，x 2，x 3) =0，即 x1+x3=0，取()T、(0 ，10) T 为 A 的扁于特征值 1 的两个正交的单位特征向量令正交矩阵【知识模块】 二次型25 【正确答案】 由() 知 A 的特征值为 1，1，0 ，所以 A+E 的特征值为2，2，1，又 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵【知识模块】 二次型【知识模块
22、】 二次型26 【正确答案】 因为 r(ATA)=r(A)，对 A 施以初等行变换可见当 a=一 1 时，r(A)=2，所以 a=一 1【知识模块】 二次型27 【正确答案】 由于 a=一 1，所以 ATA= 矩阵 ATA 的特征多项式为=( 一 2)(2 一 6)=( 一 2)( 一 6)于是得 ATA 的特征值为 1=2， 2=6， 3=0对于 1=2，由求方程组(2EA TA)x=0 的一个非零解，可得属于 1=2 的一个单位特征向量 (1，一1，0) T；对于 2=6，由求方程组(6EA TA)x=0 的一个非零解，可得属于 2=6 的一个单位特征向量 (1，1，2) T；对于 3=0
23、，由求方程组(A TA)x=0 的一个非零解，可得属于 3=0 的一个单位特征向量 (1，1，一 1)T令矩阵 Q=，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 f=2y12+6y22【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型28 【正确答案】 记 x= ，由于 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=2(x1，x 2，x 3) (a1，a 2，a 3) +(x1，x 2，x 3)(b1，b 2，b 3) =2xT(T)x+xT(T)x =x(2T+T)xT，又 2T+T 为对称矩阵，所以二次型 f 的矩阵为 2T+T【知识模块】 二
24、次型29 【正确答案】 记矩阵 A=2T+T由于 ， 正交且为单位向量，即T=1， T=1， T=T=0所以 A=(2 T+T)=2， A=(2 T+T)=， 于是1=2， 2=1 是矩阵 A 的特征值又 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)2， 所以 3=0是矩阵 A 的特征值由于 f 在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22【知识模块】 二次型30 【正确答案】 二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 A= 由题设知 Q1AQ=QTAQ= ，A 的一个特征值为零，所以有故得 a=2由 A 的特征方程=(6)(+
25、3)=0 得 A 的全部特征值，不妨设 1=6， 2=一 3， 3=0，对于 1=6，解方程组(6IA)x=0，对应的单位特征向量可取为 1= (1，0，一 1)T；对于 2=一3，解方程组(一 3I 一 A)x=0，对应的单位特征向量可取为 2= (1，一 1，1) T；对于 3=0，解方程组 Ax=0，对应的单位特征向量可取为 3= (1，21)T Q=(1， 2， 3)= 。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型31 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=0 对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换： 可见当 a 一20，即 a2 时，该方程组只有零解 x=0，即方程 f=0 只有零解 x=0； 当 a=2 时，由 得方程组的通解、即方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解为x= ， k 为任意实数【知识模块】 二次型32 【正确答案】 由(1)知当 a2 时，f 是正定的，因此 d 的规范形是f=y12+y22+y32；当 a=2 时，对 f 配方得 f=2(x1 一 (x2+x3)2，可见 f的秩为 2，f 的正惯性指数也是 2，所以 f 的规范形是 f=y12+y22【知识模块】 二次型
