1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 101 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定2 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11+k22+kmm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性
2、无关3 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A1 +B1（C） A*+B*（D）AB4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA1 X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AX=B 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n6 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*
3、O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1 一 2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)二、填空题7 设 =(1，一 1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 An=_8 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*1 =_(用 A*表示)9 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_10 已知 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_11
4、 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1 一 2x2)2+4x2x3 的矩阵为_12 设 A 为 n 阶矩阵，且A=a0，则(kA) * =_13 设 A= ，BO 为三阶矩阵，且 BA=O，则 r(B)=_14 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(A，一 A，1) T 是方程组 AX=0 的解，2=(a，1，1a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A= (ai0，i=1， 2，n) ，求 A1 16 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关17 设 的三个解，求其通解17 设 A 是 34
5、 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，( 一1，2，0，1) T，(2 ，一 4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解18 求常数 a；19 求方程组 AX=0 的通解20 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 x， y 满足的条件20 设 AB， 21 求 a，b；22 求可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B22 设 A=E T，其中 为 n 维非零列向量，证明：23 A2=A 的充分必要条件是 为单位向量；24 当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵25 设 是 n 维单位列向量，A=E 一 T证明：r(A)n26 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是
6、sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与ABX=0 是同解方程组27 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A1 的特征值并判断 A1 是否可对角化27 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量28 证明 ，A 线性无关；29 若 A2+A 一 6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；30 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A TA 的特征值全大于零考研数学一（线性代数）模拟试卷 101 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
7、】 C【试题解析】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， 2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关；(B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1， k2，k m，有 k11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， km 使得 k11+k22+kmm0 不能保证 1， 2， m线性无关；(C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1= ，
8、 2= 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以A1 ，B 1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证A1 +B1 与 A*+B*都是正定矩阵，选 (D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A1 合同，所以 XTAX 与 XTA1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)【知识模
9、块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 ATA 可逆，选(D) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)=n 一 1， 2 一 1 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 T=3，A 2=TT=3T=3A，则 An=3n1 A=3n1 【知识模块】 线性代数8 【
10、正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA 1 得(A *)*=A *(A *)1 =A n1 (AA 1 )1 =A N2 A，故(A *)*1 = 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks=1，显然 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A2=A s=b，所以(k1+k2+k s)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+ks=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a=-
11、10【试题解析】 由E 一 A= =( 一 1)( 一 2)2=0 得 1=1， 2=3=2，因为 A可对角化，所以 r(2EA)=1，由 2EA= 得 a=一 10【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22 一 4x1x2+4x2x3，所以 A= 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 k n(n1) an1【试题解析】 因为(kA) *=kn1 A*，且A *=A n1 ，所以(kA)*= kn1 A*=k n(n1) A n1 =kn(n1) an1 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 BA=O r(
12、A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=一 1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a，一a，1) T， 2=(a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2=a2 一 a+1 一a=0，解得 a=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1，
13、 r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k11+krr=0，于是k11+krr+0r1 +0 n=0，因为 k1，k r，0，0 不全为零，所以1， ， n 线性相关【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A= ，因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+13，即 r(A)2，则 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k1(2 一 1)+k2(3 一 1)+1= (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个
14、线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T，(2，一4，3，a+1) T 线性相关，即 =0，解得 a=6【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k1(1，一 2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(一1，2，0，1) T(K1，k 2，K 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由E 一 A= =(1)(1) 2 得 1=一 1， 2=3=1，因为 A有三个线性无关的特征向量，
15、所以 A 可以对角化，所以 r(EA)=1，由 E 一 A=得 x+y=0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 方法一 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1=2=2，因为A 相似于对角阵，所以 r(2EA)=1，而 2EA= ，于是 a=5，再由 tr(A)=tr(B)得 b=6方法二 E 一 A=( 一 2)2 一(a+3)+3(a 一 1)=f()，因为 =2 为 A 的二重特征值，所以 a=5，于是E 一 A=( 一 2)2( 一 6)，故 b=6【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 ；由
16、(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3= 令 P= ，则 P1 AP=B【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 T=k，则 A2=(E 一 T)(E 一 T)=E 一 2T+kT，因为 为非零向量，所以 TO，于是 A2=A 的充分必要条件是 k=1，而 T= 2，所以A2=A 的充要条件是 为单位向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当 是单位向量时，由 A2=A 得 r(A)+r(EA)=n，因为 E 一A=TO，所以 r(EA)1，于是 r(A)n 一 1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 2=(
17、E 一 T)(E 一 T)=E 一 2T+T T，因为 为单位列向量，所以 T=1，于是 A2=A由 A(EA)=O 得 r(A)+r(EA)n，又由 r(A)+r(EA)rA+(E 一 A)=r(E)=n，得 r(A)+r(EA)=n因为 EA=tO，所以r(EA)=r(T)=r()=1，故 r(A)=n 一 1n【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解，令 r(B)=r且 1， 2， nr 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， nr ， 0 线
18、性无关，若1， 2， nr ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k nr ，k 0，使得 k11+k22+knr nr +k00=0，若 k0=0，则 k11+k22+knr nr =0，因为1， 2， nr ，线性无关，所以 k1=k2=knr =0，从而 1， 2， nr ， 0线性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， nr ， 0 线性无关，且为方程组ABX=0 的解，从而 n 一 r(AB)n 一 r+1，r(AB)r 一 1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与
19、 ABX=0 同解【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B=(A*)2 一 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9， 36，于是 A*的三个特征值为2，3，6又因为A *=36=A 31 ，所以A =6由 =6，得1=3， 2=2， 3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A1 的特征值为 1，因为 A1 的特征值都是单值，所以 A1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，设 k20，则
20、 A= ，矛盾，所以 ，A 线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由 A2+A 一 6=0，得(A 2+A 一 6E)=0，因为 0，所以r(A2+A 一 6E)2，从而A 2+A 一 6E=0 ，即3E+A2EA =0，则3E+A=0 或2EA=0 若3E+A0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2EA)=0，得 (2EA)=0 ，即 A=2，矛盾； 若2EA 0，则 2EA 可逆，由(2EA)(3E+A)=0 ，得 (3E+A)=0，即 A=一 3，矛盾，所以有3E+A =0且2EA =0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3，2，故 A 可对角化【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)=n，对任意的 X0， X T(ATA)X=(AX)T(AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T(AX)=T= 20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型，A TA 为正定矩阵，所以ATA 的特征值全大于零【知识模块】 线性代数
