1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 109 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 =( ，0，0， )，A=E T，B=E+2 T，则 AB 为( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T2 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)=43 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4
2、， 4 一 1 线性无关（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关4 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 都不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一个部分向量组线性无关5 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 l， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值一 1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量6 下列说法正确的是( ) （A）
3、任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的二、填空题7 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a 一 1，则 a=_8 设 A 为三阶矩阵，且A=4，则( A*)1 =_9 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，故(A *)*1 =_(用 A*表示)10 设方程组 无解，则 a=_11 已知 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过
4、程或演算步骤。12 计算 D= 13 设四阶矩阵 B 满足( A*)1 BA1 =2AB+E，且 A= ，求矩阵 B14 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一15 n 维列向量组 1， n1 线性无关，且与非零向量 正交证明：1， ， n 1， 线性无关16 设三维向量空间 R3 中的向量 在基 1=(1，2，1) T， 2=(0，1，1)T， 3=(3，2，1) T 下的坐标为(x 1，x 2，x 3)T，在基 1， 2， 3 下的坐标为(y1，y 2，y 3)T，且 y1=x1 一 x2 一 x3，y 2=一 x1+x2， y3=x1+2x3，求从基 1， 2， 3 到基 1， 2，
5、 3 的过渡矩阵17 求方程组 的通解18 Ann=(1， 2， n)，B nn=(1+2， 2+3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=0 是否有非零解?18 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1+22+(n 一 1)n1 =0，b= 1+2+ n19 证明方程组 AX=b 有无穷多个解；20 求方程组 AX=b 的通解21 设 A= ，已知 A 有三个线性无关的特征向量且 =2 为矩阵 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵21 设 为 n 维非零列向量，A=E 22 证明：A
6、可逆并求 A1 ；23 证明： 为矩阵 A 的特征向量24 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 1= ，属于特征值 2=3=2 的特征向量为 2= ，求属于 2=3=2的另一个特征向量25 设 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 26 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x22x1x32x 2x326 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= 27 求正交变换
7、 X=QY 将二次型化为标准形；28 求矩阵 A考研数学一（线性代数）模拟试卷 109 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 T= ，得 AB=(E 一 T)(E+2T)=E，选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=41=3，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为一( 1+2)+(2+3)一( 3+4)+(4+1)=0， 所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+
8、(4 一1)=0， 所以 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关； 因为( 1+2)一(2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， 所以 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一
9、个向量可由其余向量线性表示，故选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=一 1， 2=0， 3=1 得A=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f=x1x2，令 ，则 f=y
10、12 一 y22；若令，则 f=y12 一 9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n；选 (D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一 1)=0 得 a=1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA 1 =4A1 得【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 由
11、A*=AA 1 得(A *)*=A *(A *)1 =A n1 (AA 1 )1 =A n2 A，故(A *)*1 = 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a=一 1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是 r(A)3，即A=0，由A=3+2a 一 a2=0，得 a=一 1 或 a=3，当 a=3 时，因为r(A)= =23，所以方程组有无穷多个解；当 a=一 1 时，所以方程组无解，于是 a=一 1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一 10【试题解析】 由EA= =( 一 1)( 一 2)2=0 得1=1， 2=3=2，因为 A 可对角化，所以 r(2EA)=1，
12、由 2EA=得 a=一 10【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=O，故r(A)+r(B 一 C)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=O ，于是B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 k0+k11+kn1 n1 =0，由 1， n1 与非零向量 正交及( ， k0+k11+kn1 n1 )=0 得 k0(，)=0，因为 为非零向
13、量，所以(，)= 20，于是 k0=0，故 k11+kn1 n1 =0，由 1， n1 线性无关得k1=kn1 =0，于是 1， n1 ， 线性无关【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 =(1， 2， 3)X，=( 1， 2， 3)Y，由 y1=x1x2 一 x3，y 2=一 x1+x2，y 3=x1+2x3 得 Y= X，由( 1， 2， 3)X=(1， 2， 3)Y，得( 1， 2， 3)X=(1， 2， 3)Y=(1， 2， 3) X，于是( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，故从基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵为 【知识模块】 线性代数17 【正确答
14、案】 A=，原方程组的同解方程组为，故原方程组的通解为(其中x3，x 4，x 5 为任意常数)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方法一：B=( 1+2， 2+3， n+1)=(1， 2， n)，由 r(A)=n 可知A0，而B= A=A1+(一 1)n1 ，当 n 为奇数时，B0，方程组BX=0 只有零解；当 n 为偶数时，B=0，方程组 BX=0 有非零解方法二 BX=0 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0 (x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn1 +xn)n=0，因为 1， 2， n 线性无关，所以=1+(一 1)n1 ，当 n 为奇数时，B 0，方程组 BX=
15、0 只有零解；当 n 为偶数时，B=0 ，方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 1，又 b=1+2+ n，所以 =n 一 1，即 r(A)= =n 一 1n，所以方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 1+22+(n 一 1)n1 =0，所以 1+22+(n 一 1)n 1+0n=0， 即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n 一 1，0) T， 又因为 b=1+2+ n，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T， 故方程组AX=b 的通解为 k+=k(1，
16、2，n 一 1，0) T+(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 1=2=2 及 1+2+3=tr(A)=10 得 3=6因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1，由 2EA=得 a=2，b=一 2 1=2=2 代入(EA)X=O，由 2EA 得 1=2=2 对应的线性无关的特征向量为； 3=6 代入(EA)X=O ，由 6EA=得 3=6 对应的线性无关的特征向量为 3= 令 P= ，则 P 可逆，且 P1 AP= 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 A2=E所以 A 可逆且A1 =A【知识模块
17、】 线性代数23 【正确答案】 因为 A=(E T)=2=，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为一 1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有1T2=一 1+k=0 1=8 对应的特征向量为 1= 令 2=3=2 对应的另一个特征向量为 3= ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x1+x2+x3=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由得 因为A= 一 1，所以 a=2，于是 a=2，b=一 3，c=2，= =1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令 ，则 f(x1，x 2，
18、x 3)=XTAX，f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22 一 5x32+2x1x22x1x3+2x2x3=(x1+x2 一 x3)2+(x2+2x3)2一 10x32， 且 f(x1，x 2，x 3)YT(PTAP)Y=y12+y22 一 10y32【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=5由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解，故 为 1=2=一 1 对应的线性无关解令 3=为 3=5 对应的特征向量，令Q=(1， 2， 3)，则 f=XTAX 一 y12 一 y22+5y32【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由 QTAQ=【知识模块】 线性代数
