1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=0，则 ( )（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 22 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）如果A0，则B0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 AE，则B =0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B3 设 若 r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C
2、） 1 或 3（D）无法确定4 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B5 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于 ( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P26 设 A 是 n 阶矩阵，则 ( )（A）(一 2)nA n（B） (4A) n（C） (一 2)2nA * n（D）4A n7 设 则(P -1)2016A(Q2011)-1= ( )（A）（B）（C）（D）8 已知 1,2,3,4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1,2,3 线性表出，则 1,2,
3、3 线性相关； 如果 1,2,3 线性相关， 2,3,4 线性相关，则1,2,4 也线性相关； 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则4 可以由 1,2,3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）39 设 1,2,3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 2， 12 2+3， (1一 3)， 1+324 3，是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）110 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1,2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是
4、( )（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1 一 2)二、填空题11 已知 ABC=D，其中 则B*=_12 设 1=1， 0，一 12 T， 2=2，一 1，一 2，6 T， 3=3，1，t ，4 T，=4 ，一1，一 5，10 T，已知卢不能由 1,2,3 线性表出，则 t=_13 已知 3 维向量组 1,2,3 线性无关，则向量组 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k_.14 设 n 维向量组 1,2,3 满足 21 一 2+33=0，对于任意的 n 维向量 ，向量组l1+1，l 2+2，l 3+3 都线性相关，则参数 l1，l 2，
5、l 3 应满足关系_15 设 A 是 5 阶方阵且 A2=0，则 r(A*)=_16 设 Amn，B nn，C nm 其中 AB=A，BC=0 ，r(A)=n ，则CAB=_17 已知向量组 与向量组 等秩，则 x=_18 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0的通解是_19 设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a=_20 设 A 是 n 阶矩阵，A=0，A110，则 A*X=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 n 阶方
6、阵 A 满足矩阵方程 A2 一 3A 一 2E=O 证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A-122 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数忌，使得 Ak=0试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)23 设 可逆，其中 A，D 皆为方阵，求证：A，D 可逆，并求 M-124 设矩阵 ，矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵求矩阵 X25 假设 求 A 的所有代数余子式之和25 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵26 计算并化简 PQ；27 证明：矩
7、阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA 一 b28 设(2EC -1)A=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，求 A29 设 求 an30 已知 求 An考研数学一（线性代数）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： (1)AmsBsn=Or(A)+r(B)s； (2)A msBsn=O 组成 B 的每一列都是 AmsX=0 的解向量对于本题，PQ=Or(P)+r(Q)31r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时，r(Q)
8、=11r(P)2r(P)=1 或 2，则 A 和 B 都错； 当 t6 时，r(Q)1r(P)1r(P)=1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是秩相同当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B 一 1B=E，可见 B 中命题成立A E 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见 C 中命题也是成立的矩阵A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知 D 中命题也是成立的故唯一可能不成立的是 A 中的命题事实上，当 A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不
9、一定有B 0故选 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得 r(A)=3，则A=0，即得 a=1 或 3，且此时均满足r(A)=3，故选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A 第一行加到第三行(P 2 左乘 A)再将第一，二行对换(再 P1 左乘P2A)得到，故 C 成立【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，B 一 1=(AP2P1)一 1=P1 一 1P2 一 1A 一 1=P1P2A 一 1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】
10、B【试题解析】 易知 P2=E，故 P 一 1=P，进一步有(P 一 1)2016=P2016=(P2)1008=E利用归纳法易证 ，则 ，由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将 A 第二列的 2011 倍加到第一列，计算可知应选 B【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1,2,3 线性无关，由于 1,2,3,4 为 4 个 3 维向量，故1,2,3,4 线性相关，则 4 必能由 1,2,3 线性表出，可知 是正确的令则 1,2,3 线性相关， 2,3,4 线性相关。但1,2,4 线性无关可知 是错误的由 1， 1+2， 2+3 1,2,3+3 1,2
11、,3， 4， 1 一 4， 2+4， 3+4 4,1,2,3 1,2,3,4可知r(1， 1+2， 2+3)=r(1,2,3)，r( 4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1,2,3,4)，故当r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，也有 r(1,2,3)=r(1,2,3,4)，因此 4 可以由 1,2,3 线性表出可知是正确的故选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A(1 2)=A1A 2=b 一 b=0，A( 122+3)=A12A2+A3=b2b+b=0， A(1+3243)=A1+3A2 一4A3
12、=b+3b4b=0，因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解，故选 A【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见 A 不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成 1， 1+2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢?已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1=一 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此要排除 B、C由于 12 必有 1 一 20可见 D 正确【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 且
13、所以【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 一 3【试题解析】 不能1,2,3 线性表出 t=一 3【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1= 因 1,2,3线性无关，故 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1 线性无关的充要条件是【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2l 1 一 l2+3l3=0【试题解析】 因 l1+， l2+2，l 2+3 线性相关 存在不全为零的 k1,k2,k3，使得k1(l1+1)+k2(l2+2)+k3(l3+3)=0，即 (k 1l1+k2l2+k3l3)+k11+k22+k33=0因 是任意向
14、量， 1,2,3 满足 21 一 2+33=0，故令 2l1 一 l2+3l3=0 时上式成立故 l1,l2,l3应满足 2l1 一 l2+3l3=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0【试题解析】 因 A2=AA=0，r(A)+r(A)5，r(A)2，从而 A*=0，r(A *)=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (一 1)n【试题解析】 因 AB=A， A(BE)=0，r(A)=n,故 BE=0 ，B=E，且由 BC=0，得C=0，故 CAB= E=(一 1)N【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1【试题解析】 知 r(1,2,3)=2由题设：r( 1， 2， 3)
15、=2因故 x=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系有 n 一(n 一 1)=1 个非零向量组成A 的各行元素之和均为零，即 ai1+ai2+ain=0，i=1 ，2，n 也就是 ai1.1+ai2.1+ain.1=0，i=1，2，n，即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 ，AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故，r(A)=n 一 1，【知识模块】 线性代数
16、20 【正确答案】 【试题解析】 A=0，A 110，r(A)=n-1，r(A *)=1，A *X=0 有 n1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A*A=AE=0，故 A 的列向量是 A*X=0 的解向量，又A110，故 A 的第 2，3，n 列是 A*X=0 的 n 一 1 个线性无关解向量，设为：1,2 n，故通解为 k11+k22+knn或者由已知方程组 A*X=0，即是A1x1+A21x2+An1xn=0，故方程组的通解是：【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 E=EA k=EkA k=(
17、EA)(E+A+Ak-1)，所以 E 一 A 可逆，且(EA)-1=E+A+Ak-1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 m 可逆M=A.D0A0 ，D 0A，D 可逆设 M 的逆矩阵为 ，得所以【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AX+E=A2+X(A E)X=(AE)(A+E)又A E= 一 10，则【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 先计算出 由于A =1，所以A 的所有代数余子式之和即为 A*所有元素之和，为 0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由(1)得【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 对 A 分块为则 B=3E+J，于是Bn=(3E+J)n=3nE+Cn13n-1J+Cn23n-2J2+Jn，而 C2=6C，C 2=6n-1C，所以【知识模块】 线性代数
