1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 132 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 矩阵 A=E T，B=E+2 T，则 AB= ( )（A）0（B） E（C） E（D）E+ T2 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A 1 )2=A2+2AA1 +(A1 )2（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2AE+E23 设 n 阶(n3)矩阵 若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C） 1（D）4
2、 已知 1， 2 是方程(EA)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1 2（D） 1，+ 25 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B6 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 1，且 BY=B 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r(1， 2， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+17 设 A 为 n 阶矩阵则下列命
3、题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量8 设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在 n 阶可逆阵 P，使得下列关系式 PA=B； P 1 ABP=BA； P1 AP=B； P TA2P=B2 成立的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 设 A 为奇数阶矩阵，且 AAT=ATA=E，A0，则AE=_10 设 B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 Ax=0 的通解是
4、_11 行列式 Dn+1= =_12 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n=1，则线性方程组 AX=0 的通解是_13 已知 则 r(AE)+r(2E+A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算行列式15 设 可逆，其中 A，D 皆为方阵，证明 A，D 可逆，并求 M1 16 已知向量组() 与向量组() ，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与() 等价17 设矩阵 有三个线性无关的特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆矩阵 P 使得 P1 AP=，其中 是对角矩阵18 已知 求 An(n2)19 设向量组 1，
5、2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关20 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关21 已知齐次线性方程组(i)为 齐次线性方程组(ii)的基础解系为1=一 1，1，2，4 T， 2=1，0，1，1 T (1) 求方程组(i) 的基础解系； (2) 求方程组(i)与(ii)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(i) ，(ii) 的基础解系线性表示22 设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T=2E，A
6、 0，其中 E 是 4 阶单位矩阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值23 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1=1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1=0，1，1 T，求 A24 设 问 A，B 是否相似，并说明理由25 设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆25 设矩阵 已知 A 的一个特征值为 326 求 k；27 求矩阵 P，使 (AP)T(AP)为对角矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 132 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E T)(E+2T)=E
7、+T2 TT=E+T2 T(T)，其中故 AB=E+ T2 T=E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知 (A+B 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A1 ，A 与 A*以及 A 与 B 都是可交换的，故A，C，D 中的等式都是成立的故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 因由 r(A)=n1，知 1+(n1)a=0，故【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 20，且
8、仍有关系 A(1 2)=1 2=(1 2)， 故 1 2 是 A 的特征向量 而 A1，B 2，D 1+2 均有可能是零向量，因此不一定是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 B 由 A 第 1 行加到第 3 行(P 2 右边乘 A)再将第 1，2 行对换(再 P1 右边乘 P2A)得到，故 C 成立【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设有 r( 1， 2， n，)=r 1，r( 1， 2， n，)=r 2+1， 故 r( 1， 2， ， n， 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 矩
9、阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故 A 错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0时， 也为 A*的特征向量这是由于 A=A *A=A*=A*=1 A 但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n1 时，A *=O，此时，任意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知 B 错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A 2=A(A)=A=2 但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A1=1，A 2= 2，其中 1，
10、2O此时有A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1+2 不是 A 的特征向量故 C 错误 若为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 Aa= ，因此 为 A的特征向量可知 D 是正确的故选 D【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 逐个分析关系式是否成立 式成立因为 A，B 均是 N 阶可逆矩阵，故存在可逆矩阵 Q，w，使 QA=E，WB=E( 可逆矩阵可通过初等行变换化为单位矩阵)，故有 QA=WB，W 1 QA=B记 W1 Q=P，则有 PA=B 成立，故 式成立
11、 式成立因为 A，B 均是 n 阶可逆矩阵，可取 P=A，则有 A1 (AB)A=(A1 A)BA=BA，故式成立 式不成立因为 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即 A，B 不一定相似例如 (均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵 P，均有 P1 AP=P1 EP=EB，故式不成立 式成立因为A，B 均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A 2，B 2 的特征值均大于零故A2，B 2 的正惯性指数为 n(秩为 n，负惯性指数为 0)，故 A2 B2，即存在可逆阵P，使得 PTA2P=B2故式成立由以上分析，故应选 C【知识模块】 线
12、性代数二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 AE=AAA T=A(EA T)=A (EA)T=AE A 由 AAT=ATAE，可知A 2=1又由A 0，可知A=1又 A 为奇数阶矩阵，故 EA= (AE)=AE， 故有AE= AE，于是 AE =0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 k1，1，0 T，k 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，可知 r(A)3，对 A 作变换由 r(A)3，有 a=1 当 a=1 时，求得 Ax=0 的基础解系为 1，1，0 T，因此通解为 k1，1，0 T，k为任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题
13、解析】 行列式 Dn+1 与范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性质将Dn+1 化为范德蒙德行列式计算将行列式 Dn+1 的第 n+1 行依次与相邻上一行进行交换，经过 n 次交换后，换到了第 1 行完全类似，D n+1 的第 n 行经过 n1 次相邻两行交换，换到第 2 行如此继续进行，共进行了 n+(n1)+2+1=次行交换后，D n+1 化为范德蒙德行列式【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 k1，1，1 T，其中志为任意常数【试题解析】 由 r(A)=n1 知 Ax=0 的基础解系由 n(n 1)=1 个非零向量组成 A 的各行元素之和均为零，即 a i1+ai2+ain=0，
14、i=1，2，n 也就是 ai1.1+ai2.1+ain.1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 3【试题解析】 因 故存在可逆矩阵 P，使得则 r(AE)=r(PAP 1 E)=r(P(E)P 1 )=r(E)= r(A+2E)=r(P(+2E)P1 )=r(+2E)=故 r(AE)+r(A+2E)=1+2=3 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 =(a2+b2+c2+d2)4观察可知原行列式中
15、a4 的系数为 1，故原式=(a 2+b2+c2+d2)2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 M 可逆=M=A.D0=A 0 且D 0=A，D可逆设 M 的逆矩阵为【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设() 的一个极大无关组为 1， 2， r，()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r 因为()可由()线性表示，即 1， 2， r，可由 1 ， 2 ， r 线性表示，于是 r(1， 2， r， 1 ， 2 ， r)=r(1 ， 2 ， r)=r 又 1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r 也可作为1， 2， r， 1 ， 2 ， r 的一个极大无关 组，于是 1 ， 2 ，
16、r 也可由1， 2， r 线性表示，即 () 也可由()线性表示，得证【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A 有三个线性无关的特征向量， =2 是二重特征值，故特征矩阵2EA 的秩应为 1解得 x=2，y= 2，故 因 tr(A)=10= =4+3，故3=6当 =2 时，由当=6 时，由 令P=1， 2， 3=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 将 A 分块为则 B=3E+J，其中 于是 Bn=(3E+J)n=3nE+C213n1 +C223n2 J2+Jn，而C2=6C，C N=6n1 C，所以当 n2 时，【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+
17、t)=0，即 (k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两边左边乘 A，得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0，故 k11+ktt=0由 1， 2， t 线性无关，得 k1=kt=0，故 k=0，所以，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 B=1， 2， n，其中 i(i=1，2，n)是 B 按列分块后的列向量设 x11，x 22， ，x nn=0，即 两边左边乘 A，则得 ABX=EX=X=0 ，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)对齐次线性方程组(i) 的系数矩阵作初等行变换，得其同解方程组为由
18、此解得方程组(i)的基础解系为 1=2，1，1，0T， 2=L1， 1，0，1 T(2) 由(1)解得方程组(i)的基础解系 1， 2于是，方程组(i)的通解为 k 11+k22=k12，1，1，0 T+k21，1，0，1 T(k1，k 2 为任意常数) 由题设知，方程组(ii)的基础解系为 1， 2，其通解为 l 11+l22=l11，1，2，4T+l21，0，1，1 T(l1，l 2 为任意常数) 为求方程组(i)与(ii)的公共解，令它们的通解相等，即 k 12，1，1，0 T+k21，1，0，1 T=l1一 1，1，2，4T+l21，0，1，1 T 从而，得到关于 k1，k 2，l 1
19、，l 2 的方程组对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得由此可得，k 1=k2=l2，l 1=0 所以令 k1=k2=k，方程组(i)，(ii)的非零公共解是 k2，1，1，0T+k1，1，0，1 T=k1，0，1，1 T(k 为任意非零常数)并且，方程组(i)，(ii)的非零公共解分别由方程组(i)，(ii) 的基础解系线性表示为 k( 1+2)和 0.1+k2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由3E+A=0 知 =3 为 A 的特征值，由 AAT=2E，A 0知A= 4，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关的特征向量 2， 3，它
20、们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1，1 T，且取正交矩阵 则A=TT1 =TTT =【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A，B 均是实对称矩阵，均可相似于对角矩阵，由于交换EA的 1，2 列和 1，2 行，得故 A和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，于是它们相似于同一个对角矩阵，故AB【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 AAT=E 有A 2=1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或1由A+B =0 有A.B = 1，也有 AT.B T= 1 再考虑到A T(A+B)BT=A T+BT=A+B，所以A+B=A+B，A+B=0故 A+B 不可逆【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为将 A 的特征值 =3 代入上式，有 3EA=(3 21)3 23(k+2)+(2k1)=0 解之得 k=2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由上一小题的结果，得矩阵 因为 AT=A，所以 (AP) T(AP)=PTA2P而 对应于 A2 的二次型为 XTA2X=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4 作线性变换将 X=PY 代入二次型 xTA2x，得 X TA2X=(PY)TA2(PY)=YT(AP)T(AP)Y【知识模块】 线性代数
