1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 A 是 n 阶方阵，A=3则(A *)*= ( )2 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A *是 A 的伴随阵，则(A *)*= ( )（A）A n-1A（B） A n+1A（C） A n-2A（D）A n+2A3 设 Ann 是正交矩阵，则 ( )（A）A *(A*)T=AE（B） (A*)TA*=A *E（C） A*(A*)T=E（D）(A *)TA*=-E4 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A -1)*=A*+2AA-1+(A-
2、1)*（B） (A+At)*=A*+2AAT+(AT)*（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2AE+E25 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆正确的个数为（A）
3、1（B） 2（C） 3（D）47 已知 ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 pQ=O，则 ( )（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 2二、填空题8 设 A= ，n2 为正整数，则 An-2An-1=_9 设 A= ，则 A-1=_10 已知 A2-2A+E=O，则(A+E) -1=_11 设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) *=_12 设 ，则(A *)-1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设有两个非零矩阵 A=a1，a 2，a nT，B=b 1，b 2，b nT1
4、3 计算 ABT 与 ATB；14 求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)；15 设 C=E-ABT，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C TC=E-BAT-ABT+BBT 的充要条件是 ATA=116 证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 nP 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)-n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n17 证明：r(A+B)r(A)+r(B)18 设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O19 证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AAT=E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 (2)A 的行向量组组成标
5、准正交向量组，即20 证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵21 证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是 A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-121 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0， 且 T=0，A=E+ T，试计算：22 A；23 An；24 A-125 设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= ，且E+AB 是不可逆的对称阵，求 A26 设 证明：A=E+B 可逆，并求 A-127 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB
6、=A+B证明：A-E 可逆，并求(A-E) -128 设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A2+AB+B2=O，证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A-1 和(A+B) -129 已知 A，B 是三阶方阵，AO，AB=O，证明： B 不可逆考研数学一（线性代数）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 A=3，A 可逆 (A *)(A*)=A *E ，(A *)=A *(A *)-1= A* =A n-2A，(A *)*=A n-2A=A (n-2)nA=【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题
7、解析】 AA *=AE，得 A *(A*)*=A *E，(A *)*=A *(A *)-1，其中 A *=A n-1，(A *)-1= 故 (A *)*= =A n-2A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 是正交阵，所以有 A-1=AT= =A*(A*)T=A A T(A A T)T=A 2ATA=E【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A-1，A
8、 与 A*以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选 (B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A *=AT，那么A *=A T，也即A 2=A，即A (A -1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a110，则 A=a 11A11+a12A12+a13A13= ，故A=1因此，A 可逆 并且 AAT=AA*=AE=E，可知 A 是正交矩阵可知、正确，错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解
9、析】 由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，A-EB 0，故B 0 ，因此 B 可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， AB= AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故A+B 也可逆，可知 是正确的最后，由 AB=A+B 可知 (A-E)B-A=O，也即(A-E)B-(A-E)=E ，进一步有(A-E)(B-E)=E，故 A-E 恒可逆可知也是正确的综上，4 个命题都是正确的，故选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： AmsBsn=O r
10、(A)+r(B)s； AmsBsn=O 组成 B 的每一列都是 AmsX=0的解向量 对于本题， 【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 0【试题解析】 A 2=【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 方法一用初等变换求方法二【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 A 2-2A+E=O，(A+E)(A-3E)=-4E，【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 (2A)(2A) *=2AE，(2A) *=2A (2A) -1，(2A)*= 2A(2A) -1= =2 n-1.5A-1=(2 n-1.5)nA -1 =【知识模块】 线性代数12
11、 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 AB T= ，A TB=a1b1+a2b2+anbn【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因 ABT 各行( 或列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由于 CTC=(E-ABT)T(E-ABT)=(E-BAT)(E-ABT)=E-BAT-ABT+BATABT，故若要求 CTC=E-BAT-ABT+BBT，则 BATABT-BBT=O，B(A TA-1)BT=O，即 (A
12、 TA-1)BBT=O 因为 BO，所以 BBTO故 CTC=E-BAT-ABT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 注意到当 B 有一个 t1 阶子式不为 0，A 有一个 t2 阶子式不为 0 时， 一定有一个t1+t2 阶子式不为 O，因此 故 r(AB)r(A)+r(B)-n特别地，当 AB=O 时，有 r(AB)=0，故 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 A=1， 2， n，B= 1， 2， n，则 A+B=1+1， 2+2， n+n 由于 A+B 的列向量组 1+1， 2+2， n+n向量组 1， 2， n， 1，
13、 2， n 线性表出 的，故 r(1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n) 又由于 r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)， 故 r(A+B)=r(1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)=r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 充分性 A=O，显然 tr(AAT)=0 必要性 tr(AAT)=0，设记 B=AAT，则即A=O【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 A= ，且 A 是正交矩阵(1)AAT=E，A，A T 互为逆矩阵，有
14、 ATA=E，故(2)AAT=E，即【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由题设，a ij=Aij，则 A*=AT， AA *=AAT=AE两边取行列式，得A 2=A n，得A 2(A n-2-1)=0因 A 是非零阵，设 aij0，则A 按第 i 行展开有 从而由A 2(A n-2-1)=0，得A=1，故 AA*=AAT=A E=E，A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性 A 是正交矩阵 若A =1，则 AA*=AE=E，而已知 AAT=E，从而有 AT=A*，即 aij=Aij； 若A =-1，则AA*=AE=-E，A(-A *)=E，而已知 AAT=E，从而有
15、-A *=AT，即 aij=Aij 充分性 A=1 且 aij=Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=AE=E，A 是正交阵，A =-1 ，且 aij=-Aij 时， -A*=AT，AA *=AE=-E，即 AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A=E T=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A n=(E+T)=En+nEn-1T+ 当 k2 时，(T)k=(T)(T)( T)=(T)(T) T=O故 An=E+nT【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2T-E=2A-
16、E 2A-A2=E，A(2E-A)=E ，A -1=2E-A=E-T【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 A= ，因(E+AB)T=(E+AB)故有 b=c=d=e=0又 E+AB 不可逆，有 E+AB=，从而得其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故 (E+B)(E-B+B2-B3)=E-B4=E，故 A=E+B 可逆，且 A-1=(E+B)-1=E-B+B2-B3又【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因 AB=A+B，即 AB-A-B=0，AB-A-B+E=E，A(B-E)-(B-E)=E， 即 (A-E)(B-E)=E， 故 A-E 可逆，且(A-E) -1=B-E【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由题设：A 2+AB+B2=O，得 A(A+B)=-B 2 式右乘(-B 2)-1，得 A(A+B)(-B2)-1=E，得 A 可逆，且 A -1=(A+B)(-B2)-1 式左乘(-B 2)-1，得(-B 2)-1A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) -1=(-B2)-1A【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=BTAT=O，AO，B TX=0 有非零解，故B T=0，即B =0 ，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数
