1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表出（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m与矩阵 B=1， 2， m等价2 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( )3 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A
2、，若存在 3 阶矩阵 BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=-2 且B=0（B） =-2 且B0（C） =1 且B =0（D）=1 且B04 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 则 ( )（A） 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出5 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行
3、向量线性相关6 设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解7 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( )二、填空题8 方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 的基础解系是_9 方程组 的通解是_10 方程组 有解的充要条件是
4、_11 设线性方程组 有解，则方程组右端 =_12 已知非齐次线性方程组 A 34X=b 有通解 k11，2，0，-2 T+k24，-1，-1，-1T+1，0，-1 ，1 T，则满足方程组且满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 已知 1=-3，2，0 T， 2=-1，0，-2 T 是线性方程组 的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数 a，b，c 13 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1T+k1，-1 ，2，0 T记 =a 1j，a 2j，a 3j，a 4jT，j=1，2，5 问：14 4 能否由 1， 2， 3， 5 线性表
5、出，说明理由；15 4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说明理由16 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22-3，如果 =1+2+3， 4，求线性方程组 AX= 的通解17 设 Amn，r(A)=m ，B n(n-m)，r(B)=n-m ，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=18 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，-1，1 T， 3+1=0，2，0 T
6、，求该非齐次方程的通解19 设三元线性方程组有通解 求原方程组20 已知方程组() 及方程组()的通解为 k1-1，1，1，0T+k22，-1 ，0，1 T+-2， -3，0，0 T求方程组( )，()的公共解21 已知方程组 与方程组 是同解方程组，试确定参数 a，b，c 22 设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T=2E，A 0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值23 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值 x1，x 2 是分别属于 1 和2 的特征向量证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量23 已知矩阵 A= 相似
7、24 求 x 与 y；25 求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P26 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围27 设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值28 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和考研数学一（线性代数）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1， 2， m，= 1， 2， n等价 r(1， m)=r(1， ， m) 1， 2， m 线
8、性无关(已知 1， 2， m 线性无关时)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因2，1，1 1=0，-2，1，1 2=0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 BO ，AB=O，故 AX=0 有非零解，A=0，又 AO，故 B 不可逆，故 =1，且 B=0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解
9、析】 A 的列向量线性无关 AX=0 唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C) 中没有非齐次特解， (D)中两个齐次解 1 与 1-2 是否线性无关未知，而(B)中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1-2 仍是基础解系， 仍是特解【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 1=1，-1，0，0，0 T， 2=1，0，-1，0，0 T， 3=1，0，0，-1，0 T， 4=1，0，0，0， -1T【知识模块】 线性代数
10、9 【正确答案】 k1，1，1，1 T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 其中 k1，k 2，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1，k 2，k 3T或说 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 2，2，-1，-1 T【试题解析】 方程组的通解为由题设x1=x2， x3=x4 得 解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足及 x1=x2，x 3=x4 的解为2，2，-1，-1 T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
11、算步骤。13 【正确答案】 对应齐次方程组有解 = 1-2=-2， 2，2 T 或写作-1，1，1 T，故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有r(A)=r(Ab)2，从而 r(A)=r(Ab)=2 ，故方程组有通解 k=-1，1，1 T+-3，2，0T 将 1， 2 代入第一个方程，得 -3a+2b=2 ，-a-2c=2，解得 a=-2-2c，b=-2-3c，c为任意常数，可以验证：当 a=-2-2c，b=-2-3c，c 任意时， r(A)=r(Ab)=2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次
12、方程组的通解2，1， 0，1 T+k1，1，2，0 T 知 5=(k+2)1+(-k+1)2+2k3+4， 故 4=-(k+2)1-(-k+1)2-2k3+5【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=4-1=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1-2+23=0，即 1， 2， 3 线性相关，r( 1， 2， 3)3，若4 能由 1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，
13、故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方法一 由 1=22-3 及 2， 3， 4 线性无关知 r(A)=r(1， 2， 3， 4)=3且对应齐次方程组 AX=0 有通解 k1，-2，1，0 T，又=1+2+3+4，即 1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4 故非齐次方程组有特解 =1，1，l，1 T，故方程组的通解为 k1，-2 ，1，0T+1，1，1，1 T方法二 1， 2， 3， 4X=1+2+3+4=1， 2， 3， 4=(22-3)+2+3+4=32+4=1， 2， 3， 4 故方程组有两特解1=1，1，1，1 T，
14、2=0，3，0，1 T 对 r(A)=3，故方程组的通解为 K( 1-2)+1=k1，-2，1，0 T+1，1，1，1 T 方法三 由 AX=1， 2， 3， 4X=1+2+3+4，得 x11+x22+x33+x44=1+2+3+4 将 1=22-3 代人，整理得 (2x1+x2-3)2+(-x1+x3)3+(x4-1)4=0， 2， 3， 4 线性无关，得解方程组，得 ，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=1， 2， n-m，因已知 AB=O，故知B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n-m 知， 1， 2， n-m
15、 是 AX=0的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1， 2， n-m 线性表出，且表出法唯一，即 =x11+x22+xn-mn-m=1， 2， n-m =B，即存在唯一的考，使 B=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)-(2+3)=1-3=-1，3，2 T， 2=(2+3)-(3+1)=2-1=2，-3，1T因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为= (3+1)=0，1，0 T故 AX=b 的通解为 k 1-1， 3，2 T+k
16、22，-3 ，1 T+0，1，0T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax 1+bx2+cx3=d，由 1， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 得解-9k，-5k，3k T，即 a=-9k，b=-5k，c=3k，k 是任意常数，=1，-1，3 T 是非齐次方程组的解，代入得 d=-b=5k故原方程是 9x 1+5x2-3x3=-5【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 将方程组()的通解 k1-1，1，1，0 T+k22，-1，0，1 T+-2，-3，0，0 T=-2-k1+2k2，-3+k 1-k2，k 1，k 2T 代入方程组()，得 化简得 k 1=2
17、k2+6将上述关系式代入() 的通解，得方程组() ，()的公共解为： -2-(2k 2+6)+2k2，-3+2k 2+6-k2，2k 2+6，k 2T=-8，k 2+3，2k 2+6，k 2T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对方程组()，因增广矩阵为知其通解为 k-1，2，-1，1 T+1，2，-1，0T=1-k，2+2k，-1-k，k T 将通解代入方程组() ， 当 a=-1，b=-2，c=4 时，方程组( )的增广矩阵为r(B)=r(B)=3故方程组()和() 是同解方程组【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由3E+A=0 =-3 为 A 的特征值由AAT=2E，A0
18、A=-4，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 反证法 假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2)，则 (- 1)x1+(-2)x2=0因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 B 的特征值为 2，y，-1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，-1 故【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 分别求出 A 的对应于特征值 1=2， 2=-1， 3=-1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p1，p 2，p 3=，则 P-1AP=B【知识模块】
19、线性代数26 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，左乘 B，得 B2=E=B=2， ( 2-1)=0，0 ， 故 =1，或 =-1，B 的特征值的取值范围是1，-1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 方法一利用特征值的定义 设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则 AB= 式两边左乘 B，得 BAB=BA(B)=(B)若B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0，0，得 AB 有特征值 =0，从而AB=0，且BA=BA=AB= AB=0，从而 BA 也有 =0 的特征值，故 AB 和 BA 有相同的特征值 方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算 设 AB有特征值 ，即有E-AB=0 ，因知 AB 和 BA 有相同的非零特征值 当 AB 有 =0 时，因AB=A B =BA= BA，故 BA 也有零特征值，从而得证AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A 的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak，且对应的特征向量相同，即 即 Ak的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数
