1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B、A+B、A -1+B-1 均为 n 阶可逆方阵，则(A -1+B-1)-1=（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -12 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=I 一 T，B=I+2 T，其中 I 为 n 阶单位矩阵，则 AB=（A）O（B）一 I（C） I（D）I+ T3 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab
2、 且 a+2b04 设矩阵 B= 已知矩阵 A 相似于 B，则秩 (A 一 2E)与秩(A E)之和等于（A）2（B） 3（C） 4（D）55 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P16 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11， a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为7 设 n 阶方阵 A 的秩为 r，且 rn，则在 A 的 n 个行向量中（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量均可构成极大线性无关组（C）任意
3、 r 个行向量均线性无关（D）任一行向量均可由其它 r 个行向量线性表示8 向量组(I)： 1， 2， m 线性无关的充分条件是 (I)中（A）每个向量均不是零向量（B）任意两个向量的分量都不成比例（C）任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示（D）有一部分向量线性无关9 设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=mn，E 为 m 阶单位阵，则（A）A 的任意 m 个向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式都不为 0（C）若 BA=O，则 B=O（D）经初等行变换，可将 A 化为(E m|O)的形式10 设有两组 n 维向量 1， 2， m 与 1， 2， m,若存在两组不全为零的数
4、1， 2， m 和 k1，k 2，。k m，使( 1+k1)1+( m+km)m+(1 一 k1)1+( m一 km)m=0，则（A） 1， m 和 1， m 都线性相关（B） 1+1， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性相关（C） 1， m 和 1， m 都线性无关（D） 1+1， ， m+m， 1 一 1， m 一 m 线性无关11 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2， m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， 则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C）
5、m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线性表示12 设向量组 1 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） 1+2， 2+3， 1+22+3（B） 1+2， 2+3， 3 一 1（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1 一 32+223，3 1+525313 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示14 设 1， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（A）若对于
6、任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题15 若向量组 1=(1，1，2，一 2)， 2=(1，3，一 x，一 2x)， 3=(1，一 1，6，0)的秩为 2，则 x=_16 向量空间 =(x，2y，0) TR3|x，y R)的维数为 _17 设向量组 1=(2，1，1，
7、1)， 2=(2，1，a ，a)， 3=(3，2，1，a)，4=(4， 3，2， 1)线性相关，且 a1，a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2=E，B 2=E，|A|+|B|=0，证明：|A+B|=0 19 设 (1)求 An(n=2，3，)；(2)若方阵 B 满足A2+ABA=E，求矩阵 B20 设 A、B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=A+B，证明 AE 可逆，并求(A E)-121 设 A=(aij)为 n 阶方阵，证明：对任意的 n 维列向量 X，都有 XTAX=0,A 为反对称矩阵22 设实方阵 A=(aij)44
8、满足：(1)a ij=Aij(i，j=1，2， 3，4，其中 Aij 为 aij 的代数余子式)；(2)a 110求|A|23 设 A*是 A33 的伴随矩阵， ，求行列式|(3A) -1 一 2A*|的值24 设 A*为 A 的伴随矩阵，矩阵 B 满足 A*B=A-1+2B，求B.25 设 3 阶矩阵 A 的逆阵为 A*为 A 的伴随矩阵，求(A*) -126 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，I 为 n 阶单位矩阵(1)计算并化简 PQ；(2)证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b27 已知矩阵 且矩阵 X 满足AX
9、A+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位阵求 X28 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1，讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性29 设 问 取何值时，(1) 不能由 1， 2， 3 线性表示?(2) 可由 1， 2， 3 线性表示且表达式唯一?(3) 可由1， 2， 3 线性表示但表达式不唯一?30 已知向量组 与向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求 a、b 的值31 设 c1，c 2，c n 均为非零实常数，A=(a ij)nn 为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=
10、1，2，n) ，矩阵 B=(bij)nn，证明矩阵 B 为正定矩阵32 设矩阵 Ann 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B233 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n 分别为对应于1 和 n 的特征向量，记 证明： 1f(X)n，minf(X)=1=f(X1)，maxf(X)= n=f(Xn)考研数学一（线性代数）模拟试卷 60 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由(A -1+B-1)A(A+B)-1B=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1
11、B=E，或 A(A+B)-1B=B-1(A+B)A-1-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-1=(A-1+B-1)-1 即知只有(C)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(I 一 T)(I+2T)=I+2T一 T一 2TT=I+T一2T(T)，而 T= 故得 AB=1【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1，知 A*至少有一个元素 Aij=(一 1)i+jMij0，其中 Mij 为 A的(i，j)元素的余子式 即 A 的一个 2 阶子式，故 r(A)2，又由 0=|A*|=|A|2，知|A|=0，故得
12、r(A)=2由 0=|A|=(a+2b)(a 一 b)2，得 a=b 或 a+2b=0，若 a=b，则显然有 r(A)1，与 r(A)=2 矛盾，故 ab且 a+2b=0【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 p-1AP=B，故有 P-1(A 一 2E)P=P-1AP一 2E=B 一 2E= ，P -1(AE)P=BE= ，利用相似矩阵有相同的秩，得 r(A 一 2E)+r(AE)= =3+1=4【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 利用初等变换与初等矩阵的关系，可得 B=AP2P1，故 B-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A
13、-1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由比较 A*=AT 对应元素知 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为|A|中 aij的代数余子式，利用行列式按行展开法则得|A|= 又由A*=AT 两端取行列式得|A| 2=|A|，|A|=1，故得 3a112=1，【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 C【知
14、识模块】 线性代数14 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、填空题15 【正确答案】 x=2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 a=【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由条件知|A|=1，|B|=1 ，且|A|=-|B|,|A|B|=一 1，故|A+B|=|AE+EB|=|AB2+A2B|=|A(B+A)B|=|A|B+A|B|=一|A+B|,|A+B|=0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)A 2=4E，故 A2k=(A2)k=(4E)k=4kE，A 2k+1=A2kA
15、=4kA(k=1，2，)(2) 由 A2=4E,A-1= B=A-1(E+AA2)=A-1+EA=【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (AE)(BE)=E,(AE) -1=BE【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 必要性：取 X=j=(0，0，1， 0，0) T(第 j 个分量为 1，其余分量全为零的 n 维列向量)，则由 0=jTAj=ajj，及 ij 时，有 0=(i+j)TA(i+j)=iTAi+【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 |A|+1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A*=|A|A-1= 及|A -1|= 得|(3A) -1 一 2A*|=【知识模块】
16、 线性代数24 【正确答案】 利用 AA*=|A|E=4E，用 A 左乘方程两端，得 4B=E+2AB，(4E 一2A)B=E，B=(4E 一 2A)-1=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (2)由(1)得|PQ|=|A| 2(b-TA-1)，而|PQ|=|P|Q|，且由条件知|P|=|A|0,|Q|=|A|(b- TA-1)，因而 Q 可逆,|Q|0,b TA-1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由题设等式得(AB)X(AB)=E，故 X=(AB)-1(AB)-1=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由于 1 1 s=1 2 s
17、 记上式最右边的 s 阶矩阵为 A，则由于 1 2 s为列满秩矩阵，知 1 2 s=r(A)即有： 1， 2【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x 3，使 x11+x22+x33=，该方程组的系数行列式为=| 1 2 3|=2(+3)故当 0 且 一 3 时，由克莱姆法则知方程组有唯一解，即此时 可由 1【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 1 与 2 线性无关，且 3=31+22，,秩 1， 2， 3=2，,秩1， 2， 3=2，行列式| 1 2 3|=0，a=3b，又 3 可由 1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由 bji=bij，知 B 对称 若 x1，x 2，x n 不全为 0，则cx1，c 2x2，c nxn 不全为零，此时，(x 1，x 2，x n)B(x1，x 2，【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 因为 A 正定，故存在正交阵 P，使 P-1AP=PTAP=diag(1， 2， n)且 i0(i=1，2，n)，故A=Pdiag(1， 2， n)PT=其中为正定阵【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 只证最大值的情形(最小值情形的证明类似)：必存在正交变换X=PY(P 为正交矩阵，Y=(y 1，y n)T)，使得=1y12+ nyn2n(y12+yn2)=n【知识模块】 线性代数
