1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C ，D 是 n 阶矩阵，a i，b i，c i，d i(i=1，2)是数，则下列各式中正确的是( )2 设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则AA *为( )（A）A 2（B） A n（C） A 2n（D）A 2n-13 设 A，B 均为 n 阶正交矩阵，则下列矩阵中不是正交矩阵的是 ( )（A）AB -1（B） kA(k=1)（C） A-1B-1（D）A-B4 下列命题中，不正确的是( )（A）如果 A 是 n 阶矩阵，则(A-E)(A+E)=(A+
2、E)(A-E) （B）如果 A，B 均是 n1 阶矩阵，则 ATB=BTA（C）如果 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=0，则(A+ B) 2=A2+B2（D）如果 A 是 n 阶矩阵，则 AmAk=AkAm5 设 1=(1，0 ，-1 ，2)， 2=(2，-1，-2，6)， 3=(3，1，t，4)，=(4，-1，-5，10)，已知 不能由 1， 2， 3 线性表示，则 t=( )（A）-3 （B） 3（C） -4（D）46 设 A，B 均是 3 阶非零矩阵，满足 AB=0，其中 B= ，则( )（A）a=-1 时，必有 R(A)=1（B） a-1 时，必有 R(A)=2，（C） a=2 时
3、，必有 R(A)=1（D）a2 时，必有 R(A)=27 设向量 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，向量 2 不能由1， 2， 3 线性表示，则对任意常数 k 必有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关8 设 n 维向量组() 1， 2， s 线性无关，() 1， 2， t 线性无关，且 i不能由() 线性表示 (i=1，2，s)， j 不能由( )线性表示(j=1 ，2，t)，则向量组 1， 2， ， s， 1， 2
4、， t( )（A）一定线性相关（B）一定线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）既不线性相关，也不线性无关9 已知 1， 2， 1， 2 均是 n 维(n2)向量，则( )（A） 1， 2 线性无关， 1， 2 线性无关，必有 1+1， 2+2 线性无关（B） 1， 2 线性相关， 1， 2 线性相关，必有 1+1， 2+2 线性相关（C） 1， 2 线性无关， 1， 22 线性相关，必有 1+1， 2+2 线性无关（D） 1， 2 线性相关， 1， 2 线性无关，则 1+1， 2+2 可能线性相关，也可能线性无关10 齐次线性方程组 的基础解系中有( )（A）一个解向量（B）两个解向
5、量（C）三个解向量（D）四个解向量11 设 A 为 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则( )（A）A 的列向量组线性无关（B）方程组 AX=b 有无穷多解（C）方程组 AX=b 的增广矩阵 的任意 4 个列向量构成的向量组线性无关（D）A 的任意 4 个列向量构成的向量组线性无关12 设 A，B 为 3 阶非零方阵，B 的每个列向量均为 AX=(1，0，0) T 的解，则( )（A）R(AB)=1（B） R(A)=1（C） R(B)=1. （D）R(A)+R(B)=113 设 A 为 n(n1) 阶矩阵， A0，A *为 A 的伴随矩阵，若 A 有一个特征值为，则(A *)2+2E 必
6、有一个特征值等于( )14 若 n 阶可逆矩阵 A 的属于特征值 的特征向量是 ，则在下列矩阵中， 不是其特征向量的是( )（A）(A+E) 2（B） -3A（C） A*（D）A T15 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一特征值为( )（A）43（B） 34（C） 12（D）1416 在以下的矩阵中，相似的矩阵为( )其中 a，b，c均非零（A）A 与 B（B） B 与 C（C） C 与 D（D）A 与 D17 下列各矩阵中是正定矩阵的是( )18 若实对称矩阵 A 与 B= 合同，则二次型 XTAX 的规范形为( )（A）y 12+y22-y32（B） y12+y22+y
7、32（C） y12-y22-y32（D）-y 12-y22-y32二、填空题19 计算 n 阶行列式：D n= =_20 设 A= ，若存在秩大于 1 的 3 阶矩阵 B，使得 AB=0，则An=_21 设 3 阶矩阵 A= ，若伴随矩阵 A*的秩 R(A*)=1，则 a=_22 向量 1=(1，1，2，3) T， 2=(-1，1，4，-1) T 的施密特正交规范化向量是_23 已知 2 个四元方程组成的线性方程组的基础解系为 1=1，-2 ，3，4 T， 2=-1，1，2，-3 T，则原方程组的表达式为_24 A 为 4 阶方阵，R(A)=3 ，则 A*X=0 的基础解系所含解向量的个数为
8、_25 设方程 有无穷多个解，则 a=_26 设 A 是 3 阶矩阵，已知A+iE=0(i=1 ，2，3)，则A+4E=_(E 是 3 阶单位矩阵)27 设 4 阶方阵 有特征值 =2，=1，则a=_，b=_考研数学一（线性代数）模拟试卷 66 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A 应为对于选项B、C 考查分块矩阵的行列式，即 A，B 为方阵：对于选项 D 按照第一列展开【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 为 n 阶方阵，所以AA *=A nA *=A nA n-1=A 2n-1，故
9、应选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A， (AB -1)TAB-1=(B-1)TATAB-1=(B-1)TEB-1=(BT)TBT=BBT=E，AB -1 是正交矩阵；选项 B，(kA) T(kA)=k2ATA=E，kA(k=1)是正交矩阵；选项 C， (A -1B-1)TA-1B-1=(B-1)T(A-1)TA-1B-1=BAA-1B-1=EA -1B-1 是正交矩阵，所以排除 A、B、C因 (A-B) T=AT-BT=A-1-B-1 故 (A-B) T(A-B)=(A-1-B-1)(A-B)=2E-B-1A-A-1BE， 故选 D【知识模块】 线性代数4
10、【正确答案】 C【试题解析】 在 A 中，由乘法的分配律，等式两边的乘积均是 A2-E；对 D，由乘法的结合律，等式两边的乘积都是 Am+k，故 A、D 都正确 关于 B，由于ATB，B TA 都是 11 矩阵，而 1 阶矩阵的转置仍是其自身，故 ATB=(ATB)T=BTA亦正确在 C 中，AB=0 不能保证必有 BA=0，例如A= ，则因此，C 不正确，选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以由线性表示的定义得到x11+x22+x33= 无解 R(1， 2， 3，)R( 1， 2， 3)，即( 1T， 2T， 3T， T)=
11、 所以只有当 t=-3 时，R( 1T， 2T， 3T， t)=3R(1T， 2T， 3T)=2，即3=R(1， 2， 3，)R( 1， 2， 3)=2，所以选择 A【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 是非零矩阵，故 R(A)0又 AB=0，所以 R(A)+R(B)3，R(A)3-R(B)，由 B0 得 R(A)3同理可得 R(B)3 对矩阵 B 做初等行变换得当 a=-1 时，R(B)=1 R(A)=1 或 2，A 不成立当 a-1 时，必有 a=2，R(B)=2 R(A)=1，B 不成立当 a2 时，必有 a=-1，R(B)=1 R(A)=1 或 2，D 不成
12、立所以，由排除法应选 C或当 a=2 时，R(B)=2 R(A)=1，故应选 C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件知： 1， 2， 3， 1 线性相关， 1， 2， 3， 2 线性无关，且 k 任意 取 k=0，可排除 B、C 取 k=1，若 1， 2， 3， 1+2 线性相关，则由于 1， 2， 3 线性无关， 1+2 必可由 1， 2， 3 线性表示；又 1 可由1， 2， 3 线性表示，所以 2 可由 1， 2， 3 线性表示，与题设矛盾，可排除D，所以选择 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 如设() ： 1=(1，0，0)， 2=
13、(1，1，0)，()： 1=(0，0，1)，2=(0，1，1)，则() 、()各自线性无关，但 1， 2， 1， 2 线性相关(向量组所含向量的个数大于维数)，又如 1， 2 及 1 也满足所给条件，但 1， 2， 1 线性无关【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 A 反例： 1= 线性无关， 1= 线性无关，但 1+1= 线性相关，A 不成立；B 反例： 1= 线性相关， 1= 线性相关，但 1+1= 2+2= 线性无关，B 不成立；(C)反例： 1= 线性无关， 1= 线性相关，但1+1= 2+2= 线性相关，C 不成立由排除法，得 D 成立【知识模块】 线性代数10 【
14、正确答案】 B【试题解析】 对系数矩阵做初等行变换：故 R(A)=2，而此方程组为四元方程组，故基础解系含两个解向量【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 A 的行向量组线性无关，则 R(A)=4，而未知数的个数 n=54，故方程组 AX=b 中含一个自由未知数，它有无穷多组解对于选项 A，因为 R(A)=4，而 A 的列向量组中含有 5 个向量，所以列向量组线性相关，故排除对于选项 C，增广矩阵中线性无关的列向量应为其对应的极大无关组，而极大无关组要由 4 个线性无关的向量组成，并非任意 4 个都能满足，所以排除 C，类似可排除选项 D【知识模块】 线性代数12 【正确答案
15、】 A【试题解析】 因为 B 的每个列向量均为 AX=(1， 0，0) T 的解，所以 AB=，即 R(AB)= =1，故选 A【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 C【试题解析】 由A0 知，A 是可逆矩阵，且 A-1= A*，从而 A*=S A -1现 A 有一个特征值 ，则 A*有一个特征值为 ，从而(A *)2+2E 有一个特征值为【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 D【试题解析】 因 A=，所以 (A+E) 2=(A2+2A+E)=(2+2+1)=(+1)2又 -3A=-3， A *=AA -1= 由定义知 是 A、B、C 中所列矩阵的特征向量，故选 D【知识模块】 线性代
16、数15 【正确答案】 B【试题解析】 =3(A2)-1，因 =2 是 A 的特征值，则 2=22 是 A2 的特征值，(A2)-1 的特征值是 ，3(A 2)-1 的特征值是 .【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 D【试题解析】 由相似的必要条件，相似矩阵的秩相等，而这几个矩阵的秩分别为1，2，1，1，所以矩阵 B 不和 A，C，D 相似，从而排除 A、B；从特征值来看依次为 a，0，0；a，0，0；a，0，0；0，0，a，矩阵 C 的特征值与矩阵 A，D 的特征值不同，所以排除 C选择 D 事实上，对于矩阵 A，因为 R(0E-A)=1 n-R(0E-A)=2 (0E-A)X=0 有两
17、个线性无关的解，从而特征值 0 有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 可相似对角化，即 A ，同理 D 因此矩阵 A 与矩阵 D 相似，故 D 正确【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，D 3= =1，D 1=1，即 A 中矩阵的各阶顺序主子式均大于零，故其为正定矩阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 与 B 合同，所以 A 与 B 有相同的正负惯性指数又 B 的特征值为 1，3，-2，所以 B 的正负惯性指数分别为 2 和 1，故二次型 XTAX 的规范形为 y12+y22-y32【知识模块】 线性代数二、填空题19 【正确
18、答案】 x+(n-1)y(x-y) n-1【试题解析】 将第 1 行的1 倍加到第 2，3，n 行，然后将其余各列加到第1 列，得=x+(n-1)y(x-y)n-1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=0，有 R(A)+R(B)3，又因为 R(B)2，所以 R(A)=1，于是，a=-2，b=-3，c=-2 则 A=(2 -1 3)，而(2 -1 3) =9，因此 An=9n-1A=9n-1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 由伴随矩阵秩的公式 R(A*)=1 R(A)=n-1，知 R(A)=2，那么A=0，即 =12(a-1)2(2a+1)=0解
19、得 a=1 或 a= 当 a=1 时，A= ，故 R(A)=1，所以 a1当 a= 时，经验证 R(A)=2，因此 a=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 先正交化 1=1=(1，1，2，3) T，再单位化，有【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【试题解析】 将原方程组的基础解系作新的方程组的系数矩阵的行向量，求解新方程组，则新方程组的基础解系即为原方程组系数矩阵的行向量设新方程组为可求得基础解系为 1=(7， 5，1，0) T， 2=(-2，1， 0，1) T故原方程组为【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 3【试题解析】 因 R(A)=3，由矩阵和伴随矩阵的关
20、系可得 R(A*)=4-3=1，又方程组A*X=0 是四元方程组，故它的基础解系含 4-1=3 个解向量【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 -2【试题解析】 因为 所以当 a=-2 时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩都等于 2，而未知数个数为 3，从而原方程组有无穷多个解【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 6【试题解析】 由A+iE =0(i=1，2，3) 知，A 有特征值 i=-i(i=1，2，3)，故A+4E 有特征值 i+4，即 1，2，3，故A+4E= (i+4)=123=6【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 6，2【试题解析】 =(-a)(-1)+4(-6)(+1)+2，当 =1 时，(1-b).2+2=0，得 b=2；当 =2 时，(2-a)+4=0，得 a=b【知识模块】 线性代数
