1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 85 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，已知 r(A)=2，并且 A 满足 A2 一 2A=0则下列各标准二次型 (1)2y 12+2y22 (2)2y12 (3)2y 12+2y32 (4)2y22+2y32 中可用正交变换化为 f 的是 ( )（A）(1)（B） (3)，(4)（C） (1)，(3)，(4) （D）(2)2 设（A）A 与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似3 设（A）A
2、与 B 既合同又相似（B） A 与 B 合同但不相似（C） A 与 B 不合同但相似（D）A 与 B 既不合同又不相似4 ，则( ) 中矩阵在实数域上与 A 合同二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 已知 n 阶矩阵 A 满足(A 一 aE)(A 一 bE)=0，其中 ab，证明 A 可对角化6 A 是 n 阶矩阵，数 ab证明下面 3 个断言互相等价：(1)(A 一 aE)(A 一 bE)=0(2)r(A 一 aE)+r(A 一 bE)=n(3)A 相似于对角矩阵，并且特征值满足( 一 a)( 一 b)=07 构造正交矩阵 Q，使得 QTAQ 是对角矩阵8 设 3 阶实对称矩
3、阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解 (1)求 A 的特征值和特征向量 (2)求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q TAQ=A (3)求 A 及A 一(32)E 69 正交矩阵 Q 使得 QTAQ 是对角矩阵，并且 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T求 a 和 Q10 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3， 1=(一 1，一 1，1) T 和 2=(1，一2，一 1)T 分别是属于 1 和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并且求 A11 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为
4、 1，2，一 2， 1=(1，一 1，1)T 是 A 的属于 1 的特征向量记 B=A5 一 4A3+E (1)求 B 的特征值和特征向量 (2)求 B12 设 B 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 1，1，一 2，并且 =(1，一 1，1) T 是 B 的特征向量，特征值为一 2求 B13 设 A 为反对称矩阵，则 (1)若 k 是 A 的特征值，一 k 一定也是 A 的特征值 (2)如果它的一个特征向量 的特征值不为 0，则 T=0 (3) 如果 A 为实反对称矩阵，则它的特征值或为 0，或为纯虚数14 用配方法化下列二次型为标准型 (1)f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x
5、1x2-2x1x3+2x2x3 (2)f(x1，x 2，x 3)=x1x2+x1x3+x2x315 已知二次型 2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)可用正交变换化为 y12+2y22+5y32，求 a和所作正交变换16 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x22 一 2x32+2bx1x3，(b0) 其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12 (1)求 a，b (2)用正交变换化 f(x1，x 2，x 3)为标准型17 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1a)x12+(1a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2 (1) 求a
6、 (2)求作正交变换 X=QY，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形 (3)求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解18 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 10y12 一 4y22 一 4y32，Q的第 1 列为 (1)求 A(2) 求一个满足要求的正交矩阵 Q19 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 的正惯性指数为 2，a 应满足什么条件?20 设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 Aij 是它的代数余子式二次型(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型 (2)f(x1，x 2， xn)的规范
7、形和 XTAX 的规范形是否相同? 为什么?21 判断 A 与 B 是否合同，其中22 二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x32x2x3 求 f(x1，x 2，x 3)的矩阵的特征值 如果 f(x1，x 2，x 3)的规范形为 y12+y22，求 a23 a 为什么数时二次型 x12+3x22+2x32+2ax2x3 可用可逆线性变量替换化为 2y12 一3y22+5y32?24 已知 A 是正定矩阵，证明|A+E| 125 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3) =x12+4x22+4x32+2x1x22x1x3+4x2x3 当 满足什么条
8、件时 f(x1，x 2，x 3)正定?26 已知二次型 f(x 1，x 2，x n) = (x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn+anx1)2 a1，a 2，a n 满足什么条件时 f(x1，x 2，x n)正定?27 设 (1)求作对角矩阵 D，使得 BD (2)实数 k满足什么条件时 B 正定?28 设 A 和 B 都是 mn 实矩阵，满足 r(A+B)=n，证明 ATA+BTB 正定29 设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A2+2A=0，并且 r(A)=2 (1)求 A 的特征值 (2)当实数 k 满足什么条件时 A+kE 正定?30 设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，
9、并且 A 正定证明： (1)存在可逆矩阵 P，使得 PTAP，P TBP 都是对角矩阵； (2)当|充分小时，A+B 仍是正定矩阵31 设 其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵证明 C 正定 A，B 都正定32 设 是正定矩阵，其中 A，B 分别是 m，n 阶矩阵记(1)求 PTDP(2) 证明 B 一 CTA-1C 正定33 二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY 下化为 y12+y22，Q 的第 3 列为求 A证明 A+E 是正定矩阵34 设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 85 答案与解析一、选择题下
10、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A 与 B 都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同此题中 A 的特征值和 B 的特征值都是 4，0，0，0，从而 A 与 B 既合同又相似【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 首先证明 A 的特征值只能是 a 或 b 设 是 A 的特征值，则( 一a)( 一 b)=0，即 =a
11、 或 =b 如果 b 不是 A 的特征值，则 A 一 bE 可逆，于是由(A 一 aE)(A 一 bE)=0 推出 AaE=0，即 A=aE 是对角矩阵 如果 b 是 A 的特征值，则|A 一 bE|=0设 1， 2， t 是齐次方程组(A 一 bE)X=0 的一个基础解系(这里 t=nr(A 一 bE)，它们都是属于 b 的特征向量取 A 一 bE 的列向量组的一个最大无关组 1， 2， k，这里 k=r(A 一 bE)则 1， 2， k 是属于 a 的一组特征向量则有 A 的 k+t=n 个线性无关的特征向量组1， 2， ， k； 1， 2， t，因此 A 可对角化【知识模块】 线性代数6
12、 【正确答案】 不妨设 a 和 b 都是 A 的特征值(因为如果 a 不是 A 的特征值，则3 个断言都推出 A=bE如果 b 不是 A 的特征值，则 3 个断言都推出 A=aE) (1)(2) 用关于矩阵的秩的性质，由(AaE)(A 一 bE)=0得到： r(A 一 aE)+r(A 一bE)n， r(A 一 aE)+r(A 一 bE)r(A 一 aE)一(A 一 bE)=r(b 一 a)E)=n， 从而 r(A一 aE)+r(A 一 bE)=n (2) (3) 记 ka，k b 分别是 a，b 的重数，则有 k anr(A 一aE) kbn 一 r(A 一 bE) 两式相加得 nka+kbn
13、r(A 一 aE)+nr(A 一 bE)=n，于是其中“”都为“=”，从而 和都是等式，并且 ka+kb=n k a+kb=n，说明 A 的特征值只有 a 和 b，它们都满足 ( 一 a)( 一 b)=0 和都是等式，说明 A 相似于对角矩阵 (3) (1) A 的特征值满足( 一 a)( 一 b)=0，说明 A 的特征值只有 a和 b设 B 是和 A 相似的对角矩阵，则它的对角线上的元素都是 a 或 b，于是(B一 aE)(B 一 bE)=0而(A 一 aE)(A 一 bE)相似于(B 一 aE)(B 一 bE)，因此(A 一 aE)(A 一 bE)=0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】
14、 (1)先求特征值A 的特征值为 0，2，6再求单位正交特征向量组属于 0 的特征向量是齐次方程组 AX=0 的非零解，得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1 ，1，一 1)T，单位化得 属于 2 的特征向量是齐次方程组(A 一 2E)X=0 的非零解， 得 AX=0 的同解方程组 求得一个非零解为(1，一 1，0) T，单位化得属于 6 的特征向量是齐次方程组(A 一 bE)X=0 的非零解，得 AX=0 的同解方程组A 的特征值为1，1，10再求单位正交特征向量组属于 1 的特征向量是齐次方程组(AE)X=0的非零解， 得(AE)X=0 的同解方程组x1+2x22x3=0， 显然
15、 1=(0，1，1) T 是一个解第 2 个解取为 2=(c，一 1，1) T(保证了与 1 的正交性!)，代入方程求出 c=4，即 2=(4，一 1，1) T再求出属于 10的特征向量是齐次方程组(A 一 10E)X=0 的非零解(1，2，一 2)T，令 3=3| 3|=(1，2，一 2)T3作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)则【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1)条件说明 A(1，1，1) T=(3，3，3) T，即 0=(1，1，1) T 是 A 的特征向量，特征值为 3又 1， 2 都是 AX=0 的解说明它们也都是 A 的特征向量，特征值为 0由于 1， 2 线性无关，特征值
16、 0 的重数大于 1于是 A 的特征值为3，0，0 属于 3 的特征向量：c 0，c0 属于 0 的特征向量：c 11+c22 c1，c 2 不都为 0 作 Q=(0， 1， 2)，则 Q 是正交矩阵，并且 (3)建立矩阵方程A(0， 1， 2)=(30，0，0) ，用初等变换法求解：A 一(32)E 6=(32) 6E【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 Q -1AQ=QTAQ 是对角矩阵，说明 Q 的列向量都是 A 的特征向量，于是(1 ，2，1) T 也是 A 的特征向量 (1，2，1) T 和(2，5+a，4+2a) T 相关，得 a=一 1，并且(1，2，1) T 的特征值为 2A
17、 的特征值为2，5，一 4下面来求它们的单位特征向量则Q=(1， 2， 3)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 属于 3 的特征向量和 1， 2 都正交，从而是齐次方程组的非零解解此方程组，得 3=(1，0，1) T 构成它的一个基础解系于是属于 3 的特征向量应为(k，0，k) Tk0 建立矩阵方程 A(1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，用初等变换法解得【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (1)记 f(x)=x5 一 4x3+1，则 B 的特征值为 f(1)=一 2，f(2)=1，f( 一2)=1 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的特征向量，则它也是 B
18、的特征向量，特征值一 2 B 的属于一 2 的特征向量为 c1，c0 B 也是实对称矩阵，因此 B 的属于特征值 1 的特征向量是与 1 正交的非零向量，即是 x1 一 x2+x3=0 的非零解求出此方程的基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(0，1，1) T，B 的属于特征值 1 的特征向量为 c 12+c23，c 1，c 2 不全为 0 (2)B( 1， 2， 3)=(一 21， 2， 3)解此矩阵方程求得【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 记 A=B 一 E，则 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值为 0，0，一 3，因此秩为 1A=c T，其中 c=一 3(，)=一 1，即 A=
19、一 T于是【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)若 k 是 A 的特征值，则 k 也是 AT 的特征值而 AT=一 A，于是一 k 是 A 的特征值 (2)设 的特征值为 ，则 A= T=TA=(AT)T=(一 A)T=一 T 不为 0，则 T=0 (3)A 为实反对称矩阵，则一A2=ATA 的特征值都是非负实数，从而 A2 的特征值都是非正实数设 是 A 的特征值，则 2 是 A2 的特征值，因此 20，于是 为 0，或为纯虚数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)f(x 1， x2，x 3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3 =x1+22x1x22x
20、1x3+(x2-x3)2一(x 2-x3)2+2x22+2x2x3 =(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3 一 x32 =(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3+4x32 一 5x32 =(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2 一 5x32 原二次型化为 f(x1，x 2，x 3)=y12+y22 一 5y32 从上面的公式反解得变换公式：(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换f(x1，x 2，x 3)=y12y22+2y1y3虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y 12 一 y22+2y1y3=(y1+y3)2 一 y22 一 y32【知识模块】
21、线性代数15 【正确答案】 原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似于是|A|=|B|=10而|A|=2(9a 2)，得 a2=4，a=2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2，5对这 3 个特征值求单位特征向量 对于特征值 1： 得(A 一 2E)X=0 的同解方程组得属于 2 的一个单位特征向量 2=(1，0，0) T 对于特征值 5：得(A 一 5E)X=0 的同解方程组得属于 5 的一个特征向量 3=(0，1，1) T，单位化得 3=令 Q=(1， 2， 3)，则正交变换 X=QY 把原二次型化为 y12+2y22+5y32【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由条件知，A
22、 的特征值之和为 1，即a+2+(一 2)=1，得 a=1特征值之积=一 12，即|A|=一 12，而得 b=2(b0) 则得 A 的特征值为 2(二重)和一 3(一重) 对特征值 2 求两个单位正交的特征向量，即(A 一 2E)X=0 的非零解 得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x12x3=0，求出基础解系 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T它们正交，单位化：1=1， 2= 方程 x12x3=0 的系数向量 3=(1，0，一 2)T 和 1， 2 都正交，是属于一 3 的一个特征向量，单位化得 作正交矩阵Q=(1， 2， 3)，则 作正交变换 X=QY，则它把 f 化为
23、Y 的二次型 f=2y12+2y22 一 3y32【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)此二次型的矩阵为 则 r(a)=2，|A|=0求得|A|= 一 8a，得 a=0得 A 的特征值为 2，2，0 对特征值 2 求两个正交的单位特征向量：得(A 一 2E)X=0 的同解方程组 x1 一x2=0，求出基础解系 1=(0，0，1) T， 2=(1，1，0) T它们正交，单位化： 1=1,方程 x1 一 x2=0 的系数向量 3=(1，一 1，0) T 和 1， 2 都正交，是属于特征值 0 的一个特征向量，单位化得 作正交变换 X=QY，则 f 化为 Y 的二次型 f=2y12+2y2
24、2. (3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 标准二次型 10y12 一 4y22 一 4y32 的矩阵为则 Q-1AQ=QTAQ=B，A 和 B 相似于是 A 的特征值是 10，一 4，一 4(1)Q 的第 1 列 是 A 的属于 10 的特征向量，其 1=(1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于是 A 的属于一 4 的特征向量和(1，2， 3)T 正交，因此就是方程 x 1+2x2+3x3=0 的非零解求出此方程的一个正交基础解系 2=(2，一 1，0) T， 3= 建立矩阵方程 A(1， 2， 3)
25、=(101，一42，一 43)，用初等变换法解得 则正交矩阵 Q=(1， 2， 3)满足要求【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 用其矩阵的特征值做f(x 1，x 2，x 3)的矩阵为A 的特征值为 0 和2 一(a+2)+2a 一 2的两个根于是正惯性指数为 2,2 一(a+2)+2a 一 2的两个根都大于 0 (a+2)和 2a 一 2 都大于 0(用韦达定理)于是得 a1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 Aij=Aji, ，并且 A-1 也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是 Aij|A| ，于是 f(x1，x 2，x n)=X
26、TA-1X (2)A -1 的特征值和 A 的特征值互为倒数关系，因此 A-1 和 A 的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A-1 和 A 合同，f(x 1，x 2，x n)和 XTAX 有相同的规范形【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 从特征值的正负性是否一致看B 的特征值是 2 正 1 负，看 A 的特征值是否也是 2 正 1 负 先求 A 的行列式于是 A 的 3 个特征值的乘积为一4，因此它们或是 2 正 1 负，或是 3 个负 再看 A 的迹 tr(A)=1+42=3，则 A 的3 个特征值之和为 3于是 A 的 3 个特征值不会
27、都是负的，一定是 2 正 1 负 于是A 与 B 特征值的正负性一致，它们合同【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)的矩阵为 求出 B 的特征多项式|E 一 B|=3+2 一 2=(+2)( 一 1)，B 的特征值为一2，0，1，于是 A 的特征值为 a 一 2，a ，a+1 因为 f(x1，x 2，x 3)的规范形为y12+y22，所以 A 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，于是 A 的特征值 2 个正，1个 0，因此 a=2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 就是看 a 为什么数时它们的矩阵合同写出这两个二次型的矩阵B 的特征值是 2 正 1 负又
28、看出 1 是 A 的特征值，于是 A 的另两个特征值应该 1 正 1 负，即|A|0求得|A|=6a 2，于是 a 满足的条件应该为：【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 A 的特征值为 1， 2， n，则 A+E 的特征值为1+1， 2+1， n+1 因为 A 正定，所以 i0， i+11(i=1 ，2，n)于是 |A+E|=(1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 用顺序主子式此二次型的矩阵 它的顺序主子式的值依次为 1，4 一 2，4(2 一 一 2)于是， 应满足条件 4 一 20，2一 20，解出 (一 2，1)时二次型正定【知识模块】 线性
29、代数26 【正确答案】 记 y1=x1+a1x2，y 2=x2+a2x3，y n=xn+anx1，则简记为 Y=AX 则 f(x1，x 2，x n)=YTY=XTATAX于是，实对称矩阵 ATA 就是 f(x1，x 2，x n)的矩阵.从而 f 正定就是 ATA 正定 A TA 正定的充要条件是 A 可逆计算出|A|=1+( 一 1)n-1a1a2an于是，f 正定的充要条件为 a1a2an(一 1)n【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)A 是实对称矩阵，它可相似对角化，从而 B 也可相似对角化，并且以 B 的特征值为对角线上元素的对角矩阵和 B 相似 求 B 的特征值： |EA|
30、=( 一 2)2，A 的特征值为 0，2，2，于是 B 的特征值为 k2 和(k+2) 2，(k+2) 2则 BD (2)当 k 为0 和一 2 的实数时，日是实对称矩阵，并且特征值都大于 0，从而此时 B 正定【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 显然 ATA，B TB 都是 n 阶的实对称矩阵，从而 ATA+BTB 也是 n阶实对称矩阵 由于 r(A+B)=n，n 元齐次线性方程组(A+B)X=0 没有非零解于是，当 是一个非零 n 维实的列向量时，(A+B)0，因此 A 与 B 不会全是零向量，从而 T(ATA+BTB)=TATA+TBTB=|A|2+|20根据定义，A TA+BTB
31、 正定【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)因为 A 是实对称矩阵，所以 A 的特征值都是实数 假设 是A 的一个特征值，则 2+2 是 A2+2A 的特征值而 A2+2A=0，因此 2+2=0，故=0 或一 2又因为 r(A0E)=r(A)=2，特征值 0 的重数为 3 一 r(A0E)=1，所以一 2 是 A 的二重特征值A 的特征值为 0，一 2，一 2 (2)A+kE 的特征值为k，k 一 2，k 一 2于是当 k2 时，实对称矩阵 A+kE 的特征值全大于 0，从而A+kE 是正定矩阵当 k2 时，A+kE 的特征值不全大于 0，此时 A+kE 不正定【知识模块】 线性代数
32、30 【正确答案】 (1)因为 A 正定，所以存在实可逆矩阵 P1，使得 P1TAP1=E作B1=P1TBP1，则 B1 仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使得 QTB1Q 是对角矩阵令 P=P1Q，则 P TAP=QTP1TAP1Q=E，P TBP=QTP1TBP1Q=QTB1Q因此 P 即所求 (2)设对 (1)中求得的可逆矩阵 P，对角矩阵 PTBP 对角线上的元素依次为1， 3， n，记 M=max| 1|，| 2|，| n| 则当|1M 时，E+P TBP 仍是实对角矩阵，且对角线上元素 1+i0，i=1 ，2，n于是 E+PTBP 正定，PT(A+B)P=E+PTBP，因此 A
33、+B 也正定【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 显然 C 是实对称矩阵 A，B 都是实对称矩阵于是 A，B 的特征值合起来就是 C 的特征值如果 C 正定，则 C 的特征值都大于 0，从而 A，B 的特征值都大于 0，A，B 都正定反之，如果 A，B 都正定，则 A，B 的特征值都大于 0，从而 C 的特征值都大于 0，C 正定【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 (1)(2)因为 D 为正定矩阵，P 是实可逆矩阵，所以 PTDP 正定B 一 CTA-1C 正定【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 条件说明 于是 A 的特征值为1，1，0，并且 Q 的第 3 列= 是 A 的特征
34、值为 0 的特征向量记1=(1， 0，1) T，它也是 A 的特征值为 0 的特征向量 A 是实对称矩阵，它的属于特征值 1 的特征向量都和 1 正交，即是方程式 x1+x3=0 的非零解 2=(1，0，一1)T， 3=(0，1，0) T 是此方程式的基础解系，它们是 A 的特征值为 1 的两个特征向量 建立矩阵方程 A( 1， 2， 3)=(0， 2， 3)，两边做转置，得A+E 也是实对称矩阵，特征值为 2，2，1，因此是正定矩阵【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 A=CCT，则AB=CCTB于是 C -1ABC=C-1CCTBC=CTBC 即 AB 相似于 CTBC而 CTBC 是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数
