1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 94 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 A，B 的关系为( )（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P12 设向量组() ： 1 ， 2， ， s 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， 5 的秩为r2，且向量组( )可由向量组(I) 线性表示，则( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1 1， 2 2， s s 的秩为 r1 一 r2（C）向量组 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， 2， ，
2、s， 1， 2， s 的秩为 r13 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解4 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（
3、D）AB 的充分必要条件是 EAE 一 B5 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A= B中正确的命题个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则下列成立的是( )（A）A=O（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=O（D）若 A 可逆，则 A=E7 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为
4、一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值二、填空题8 设三阶方阵 A=A1，A 2，A 3，其中 Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A= 一 2，则行列式 A12A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1=_9 设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 =_10 设 A= ，B 为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(A)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=O，证明：A=O 12 设向量组 1= 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t
5、13 Ann=(1， 2， n)，B nn=(1+2， 2+3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组BX=0 是否有非零解?13 设 0 为 A 的特征值14 证明：A T 与 A 特征值相等；15 求 A2，A 2+2A+3E 的特征值；16 若A0，求 A1 ，A *，EA 1 的特征值17 ，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化17 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a 一 1)x12+(a 一 1)x22+2x32+2x1x2(a0)的秩为 218 求 a；19 用正交变换法化二次型为标准形20 计算 D2n= 21 设 A，B 分别为 mn 及 nS 阶矩阵，且 A
6、B=O证明：r(A)+r(B)n22 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 23 设齐次线性方程组 ，其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解? 在有无穷多个解时求出其通解23 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n24 证明 ；25 设 1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1， 2， r， 1， 2， s 线性无关26 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中 a，b 为常数27 设 A 为三阶方阵，A 的每行
7、元素之和为 5，AX=0 的通解为 ，求 AB28 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q考研数学一（线性代数）模拟试卷 94 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为
8、向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s，与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 p1 AP=B，于是 p1 (EA)P=E 一 p1 AP=E 一 B，即 E 一 AE 一 B；反之，若 E 一 AE 一 B，即存在可逆矩阵 P，使得 p1 (EA)P=EB，整理得 E 一 P1 AP=E 一 B，即P1 AP=B，即 AB，应选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试
9、题解析】 因为 A，B 的特征值为一 2，1，1 ，所以A=B= 一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A， B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 (B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2=A，所以 A(E 一 A)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E 一 A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E 一 A)=0，A=E，选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则E+A=0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为一 1，则 ，根据特征值特征向量的定义，一 1 为 A 的特
10、征值；若A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=X(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是XTATAX=2XTX，即( 2 一 1)XTX=0，而 XTX0，故 2=1，再由特征值之积为负得一 1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 12【试题解析】 由(一 A12A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1)=(A1，A 2，A 3) 得A12A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1=A 1，A 2，A 3 =一 2 =12【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA 1 =4A1 得 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】
11、 2【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=O，所以 r(A)=0，于是 A=O【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3=0，而 1， 2， 3= =(t+1)(t+5)，所以 t=一 1 或者 t=一5，因为任意两个向量线性无关，所以 t=一 5【知识模块】 线性代数
12、13 【正确答案】 方法一 B=(1+2， 2+3， N+1)=(1， 2， n) ，由r(A)=n 可知A0 ，而 B=A =A 1+(一 1)n1 ，当 n 为奇数时，B 0，方程组 BX=0 只有零解；当 n 为偶数时，B=0 ，方程组 BX=0 有非零解 当 n 为奇数时，B0，方程组 BX=0 只有零解；当 n 为偶数时，B =0，方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为E 一 AT= (E 一 A)T=EA，所以 AT 与 A 的特征值相等【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为 A=0(0)， 所以 A2=0A=02，(
13、A 2+2A+3E)=(02+20+3)， 于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为 02， 02+20+3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为A= 12 n0，所以 00，由 A=0得 A1 = ，由 A*A=A 得 A*= ，于是 A1 ，A *，EA 1 的特征值分别为 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 T=k，则 A2=kA， 设 AX=X，则 A2X=2X=KX，即 (一K)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0或 =k 由 1+ n=tr(A)且tr(A)=k 得 1= n1 =0， n=k 因为 r(A)=1，所以方程组 (0E 一 A)
14、X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量， 即 =0有 n 一 1 个线性无关的特征向量，故A 可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A= ，因为二次型的秩为 2，所以 r(A)=2，从而 a=2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A= ，由E 一 A=0 得 1=2=2， 3=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 D 2n=a2D2n2 b2D2n2 =(a2 一 b2)D2n2 =(a2 一 b2)n【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 B=(1， 2， s)，因为 AB=O，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组
15、 AX=0 的一组解而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 nr(A)，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 n 一 r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，A tA= ，r(A)=r(A TA)，向量组1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n 或A TA0 ，从而 1， 2， ， n 线性无关的充分必要条件是 0【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 D= =a+(n1)b(a 一 b)n1 (1)当 ab
16、，a(1 一 n)b 时，方程组只有零解；(2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为 x1+x2+xn=0，其通解为X=k1(一 1，1，0，0) T+k2(一 1，0，1，0) T+kn1 (一 1，0，0，1)T(k1，k 2， ，k n1 为任意常数)；(3)令 A= ，当 a=(1 一 n)b 时，r(A)=n 一 1，显然(1 ，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 n=r(CA+DB)= =n【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 =0 只有零解，从而方程
17、组 AX=0 与 BX=0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令 x11+x22+x33=，解得 x1=8，x 2=一 1，x 3=一 2，则A=8A1 一 A2 一 2A3=8A1=40 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为f=XTAX 其中 ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A的特征值为 1，1，4而E 一 A= 3 一(a+4) 2+(4ab2+2)+(一 3a 一2b+2b2+2)，所以有 3 一(a+4) 2+(4ab2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2)=(一 1)2(一 4)，解得 a=2，b=1当 1=2=1 时，由(EA)X=0 得 由 3=4 时，由(4E A)X=0得 3= ，显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数
