1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 ( )（A）一 3（B）一 1（C） 0（D）32 设 等于 ( )（A）c -2m（B） m（C） cm（D）c 3m3 设 1,2,3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1,2,3， 1=m， 1， 2， 2， 3=n，则 4 阶行列式 3， 2， 1， 1+2等于 ( )（A）m+n（B）一 (m+n)（C） n 一 m（D）m 一 n4 线性方程组 则有 ( )（A）若方程组无解，则必有系数行列式A=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式A0（C）系数行列式
2、A=0，则方程组必无解（D）系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件5 线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解6 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（A）（B）（C）（D）7 设 A 是 n 阶矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（A）AB=0A=0（B） BTAB=0A=0（C） AX=0A=0（D）X TAX=0A=08 设 n 维行向量 矩阵 A=E 一 Ta，B=E+2 Ta，则
3、AB= ( )（A）0（B）一 E（C） E（D）E+ Ta9 A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)-1=(A-1)2（B） (A+B)-1=A-1+B-1（C） (A+B)(AB)=A2 一 B2（D）(kA) -1=kA-1 (k0)10 已知 A，B，A+ -1，A -1+B-1 均为 n 阶可逆阵，则 (A-1+B-1)-1 等于 ( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B （D）(A+B) -1二、填空题11 12 设 a，b， a+b 均非 0，则行列式13 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特
4、征值，B=2，则行列式14 设 n 阶矩阵 则A =_15 设 A=1,2,3是 3 阶矩阵，A=4 ，若 B=13 2+23， 22 3，2 2+3，则B =_16 设 =1， 0，1 T，A= T，n 是正数，则E 一 An=_17 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且则C=_18 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，A0，则AE=_19 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 则B=_20 设 ，A= T，则 An=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算行列式22 计算行列式23 计算24 已知 n(n3)阶实矩阵 A=(
5、ij)nn 满足条件：(1) ij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij是 ij 的代数余子式；(2)a ij0求A25 A是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值26 计算27 计算行列式28 设 试证明： ，使得 f()=029 计算 其中 n230 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 aij 的代数余子式，试证明：(1)，且A=1；(2) ，且A = 一 1考研数学一（线性代数）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】
6、【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 3,2,1,1+2= 3,2,1,1+ 3,2,1,2 = 1,2,3,1 1,2,3,2 = 1,2,3,1 1,2,2,3 =nm 应选C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解A=0(反证，若A 0 ，用克拉默法则，方程组必有解)；B 方程组有解，A可能为零，也可能不为零； CA=0，方程组也可能有解；DA0方程组有唯一解，但方程组有唯一解，A 一定不为零【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 当 a=0 或 b=0 或
7、c=0 时，方程组均有解，且系数行列式当 abc0 时，由克拉默法则知，方程组有解，且abc=0 时也有解，故 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 D 不正确， 但A=1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 X，有 XTAX=0，可推出 AT=一 A，不能推出 A=0例对任意的x 1，x 2T，均有 但【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E 一 T)(E+2T)=E+T 一 2TT=E+T 一 2T(T)，其中【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 A 一 1=(A
8、A)一 1=A 一 1A 一 1=A2B 不成立，例： B=一 A，A+B 不可逆C 中，ABBA ，BA AB0D 中， 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 直接计算(A 一 1+B 一 1)一 1=B 一 1(BA 一 1+E)一 1=B 一 1(B+A)A 一 1一1=A(A+B)一 1B【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 (x 2 一 y2)(b2 一 c2)【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 一 2(a3+b3)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1 倍加到第 2，
9、3 列，得到【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，A = B =2 ，且123=A =2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12，(2B)*= 22B* =43B *=4 3B 2=256，故【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (一 1)n-1(n 一 1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 B= 13 2+23， 223，5 3 =5 13 2+23， 223， 3 =5 132， 2，
10、 3 =5 1,2,3 =20【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 a 2(a 一 2n)【试题解析】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 0【试题解析】 AE=A 一 AAT=A(E 一 AT)=A (EA)T=AE A由于 AAT=ATA=E，可知A 2=1又由于A 0，可知A=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故EA=一(AE)=一AE，故有AE= 一A E，可知AE =0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA 得 B=6A(E-A)-1=dia
11、g(3，2，1)，【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 3 n-1A【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 按第一列展开，得【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 把原行列式表示成如下形式再利用“拆项” 性质，将 Dn 表示成 2n 个 n阶行列式之和，可以看出 Dn 中第 i 列的第 2 子列和第 i+1 列的第 1 子列成正比，因此 2n 个行列式中只有 n+1 个不为零，即各列都选第 1 子列，或者由第 i 列起(i=n，n 一 1，1)以后都选第 2 子列，而前 i 一 1
12、 列都选第 1 子列，最后得Dn=n+n-1+n-22+ n-1+n【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由已知 ij=Aij，所以 A*=AT，且 AA*=AAT=AE两边取行列式得AA T=A T=A 2=AE= A n从而A=1 或 A=0由于 a110，可知A=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20于是A =1.【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 不失一般性，设【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 按第一行展开得到递推公式 D5D4=一x(D4 D3)=一 x3(D2D 1) 容易推出 D5=一 x5+x4 一 x3+D2=一 x5+x
13、4 一 x3+x2 一 x+1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 =(a2+b2+c2+d2)4故原式=(a 2+b2+c2+d2)2【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 f(x)显然在0 ，1上连续，在(0，1) 上可导而可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 ，使得 f()=0【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得当 x0时，再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 Dn 化成了上三角行列式当 x=0 时，显然有Dn=0，所以总有 Dn=(1) n-1(n1)x n-2【知识模块】 线性代数30 【
14、正确答案】 (1)当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=A E 由于 A 为 n阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以 而 tr(AAT)=tr(A E)=nA，这说明A0在 AAT=AE 两边取行列式，得A n-2=1， A=1 反之，若 ATA=E 且A=1，则 A*A=AE=E 且 A 可逆，于是，A TA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij(2)当 aij=一 Aij 时，有 AT=一 A*，则 ATA=一A*A=一AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以在 ATA=一AE 两边取行列式得A=一 1反之，若 ATA=E 且A=一 1，由于 A*A=AE= 一 E，于是，A TA=一 A*A进一步，由于 A 可逆，得 AT=一 A*，即 aij=一 Aij【知识模块】 线性代数
