1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，A0 是非齐次线性方程组 Ab 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（A）若 A 0 仅有零解，则 Ab 有唯一解（B）若 A0 有非零解，则 Ab 有无穷多个解（C）若 Ab 有无穷多个解，则 A0 仅有零解（D）若 A b 有无穷多个解，则 A0 有非零解2 要使 都是线性方程组 A0 的解，只要系数矩阵 A 为( )（A）2 1 1（B）（C）（D）3 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()A 0 和()A
2、TA0，必有( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，( )的解不是()的解（C） ()的解是( )的解，( )的解不是()的解（D）() 的解不是 ()的解，()的解也不是()的解4 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n0 和()A n+10，现有四个命题 (1)() 的解必是() 的解； (2)()的解必是( )的解； (3)()的解不是()的解；(4)() 的解不是() 的解 以上命题中正确的是( )（A）(1)(2)（B） (1)(4)（C） (3)(4)（D）(2)(3)5 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)mn，I m 为
3、m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是 ( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C） A 通过初等行变换，必可以化为(I m O)的形式（D）非齐次线性方程组 Ab 一定有无穷多解6 非齐次线性方程组 Ab 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为r，则( )（A）rm 时，方程组 Ab 有解（B） rn 时，方程组 Ab 有唯一解（C） mn 时，方程组 Ab 有唯一解（D）rn 时，方程组有无穷多个解7 设 1， 2， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 3 个解向量，且 r(A)3， 1(1 ， 2，3，4) T， 2 3
4、(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ab 的通勰 ( )（A）（B）（C）（D）8 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)0( )（A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）当 mn 时，必有非零解二、填空题9 已知 1， 2 是方程组 的两个不同的解向量，则a_10 四元方程组 Ab 的三个解是 1， 2， 3，其中 1(1 ，1，1，1)T， 2 3(2，3，4，5) T，如果 r(a)3，则方程组 Ab 的通解是_11 设 (6 ， 1，1) T 与 (7，4，2) T 是线性方程组的两个解，那么
5、此方程组的通解是_12 齐次线性方程组 ，的一个基础解系为_13 设 A ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*0 的通解是_14 齐次方程组 有非零解，则 _15 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n2， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ab 的三个线性无关的解，则 Ab 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知方程组 有解， 证明：方程组无解17 已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 分别是 A 关于特征值 1，1，0 的三个特征向量，求矩阵 A18 设方程组(1) 与方程(2) 12 2 3a1 有公共解，求a 的值及所有公共解19 设 4 元
6、齐次线性方程组(1)为 而已知另一 4 元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 1(2 ，1，a2，1) T， 2(1，2，4，a8)T (1)求方程组(1) 的一个基础解系； (2)当 a 为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解20 已知 1， 2， 3 是齐次线性方程组 A0 的一个基础解系，证明1 2， 2 3， 1 3 也是该方程组的一个基础解系21 求线性方程组 的通解，并求满足条件 12 22 的所有解22 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解23 设线性方程组 已知(1， 1，1，1) T 是该方程组的一个
7、解，求方程组所有的解24 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解25 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵B (k 为常数)，且 ABO，求线性方程组 A0 的通解考研数学一（线性方程组）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 A0 的解的情况如何，即 r(A)n 或r(A)n，以此均不能推得 r(A)r(A b)， 所以选项 A、B 均不正确 而由Ab 有无穷多个解可知，r(A) r(A b)n 根据齐次线性方程组有非
8、零解的充分必要条件可知，此时 A0 必有非零解所以应选 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意， 1， 2 与 A 的行向量是正交的，对于选项 A，因 (2， 1，1) 10，( 2，1，1) 20， 而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 如果 是()的解，有 A0，可得 A TAA T(A)A T00， 即 是 ()的解故 ()的解必是()的解 反之，若 是()，的解，有 ATA0，用 T 左乘可得 T(ATA)( TAT)(A)(A) T(A) T00， 若设A (b1，b 2，b n)
9、，那么 (A)T(A)b 12b 22b n20 bi0(i1，2，n) 即 A0亦即 是()的解因此()的解也必是( ) 的解所以应选 A【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【试题解析】 若 An0，则 An+1A(A n)A00，即若 是()的解，则 必是()的解，可见命题 (1)正确 如果 An+10，而 An0，那么对于向量组，A 1，A 2，A n，一方面有： 若 kk 1A1k 2A2k nAn0，用An 左乘上式的两边，并把 An+10，A n+20代入，得 kA n0 由 An0 而知必有 k0类似地用 An-1 左乘可得 k10因此，A 1，A 2，A n 线性无关
10、但另一方面，这是 n1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾故An+1 0 时，必有 An0，即()的解必是()的解因此命题(2)正确 所以应选 A。【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B 显然不正确，将其中的“ 任意”都改为“存在”，结论才正确对于矩阵 A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型 (Im O)的，故 C 也不正确，故选 D 事实上，由于 A 有 m 行且 r(A)mn，因此 r(A b)r(A)m又 r(A b)minm，n 1 m， 故 r(A b)r(A)mn ，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解所以选项 D 正确【知识模块】
11、 线性方程组6 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，r(A)rm由于 r(A b)mr， 且 r(A b)minm，n1 minr，n1r， 因此必有(A b)r， 从而 r(A)r(A b)， 所以，此时方程组有解，所以应选 A 由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的结构性质，易知 21( 2 3)(2，3，4，5) T是 A0 的一个非零解，所以应选 C【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵，且r(AB)minr(A)，r(B)minm，n(矩阵越乘秩
12、越小 )，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确【知识模块】 线性方程组二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 因为 1， 2 是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于 3，对增广矩阵做初等行变换有因此 a2 时，系数矩阵和增广矩阵的秩相等且均为 2故 a2【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 (1，1，1，1) Tk(0，1，2，3) T【试题解析】 根据( 2 3)2 1( 2 1)( 3 1)(2，3，4，5)T2(1，1，1，1) T(0，1，2，3) T，因此可知(0，1
13、，2，3) T 是 A0 的解又因为 r(A)3，n r(A)1，所以 Ab 的通解为(1，1，1，1) Tk(0，1，2，3) T【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (6，1，1) Tk(13，5，1) T(k 为任意常数)【试题解析】 一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ab 的两个不同的解，因此一定有 r(A)r(A)3另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 10 因此一定有 r(A)2，因此必有 r(A)r( )2 则 nr(A)321，因此，导出组 A0 的基础解系由一个解向量所构成，根据解的性质可知 1 2(6，1，1) T(7，4，2) T(13， 5，1) T
14、， 是导出组 A0 的非零解，即基础解系，那么由非齐次线性方程组解的结构可知(6，1，1)Tk(13，5，1) T(k 为任意常数)是方程组的通解【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 【试题解析】 A ，得同解方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k 1(1，4，7) Tk 2(2，5，8) T【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以A0，因此 A*AA E O ，所以 A 的列向量为 A*0 的解，又由已知条件得 r(A*)1，因此 A*0 的通解是k1(1，4，7) Tk 2(2，5，8) T【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 3 或1【试题解析】 系数矩阵的
15、行列式A( 24 3)(3)( 1)，所以当 3 或 1 时，方程组有非零解【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 1k 1(2 1)k 2(3 1)，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ab 的三个线性无关的解，则2 1， 3 1 是 A0 的两个解，且它们线性无关，又 nr(A)2，故2 1， 3 1 是 A0 的基础解系，所以 Ab 的通解为 1k 1(2 1)k 2(3 1)，k 1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 用 A1， 和 A2， 分别表示方程组()与()
16、的系数矩阵和增广矩阵，则 A2 (或 A 2T)已知方程组()有解，故 r(A1)r( ) 又由于(b1，b 2，b m，1) 不能由(a 11a21，a m1，0)， (a12，a 22，a m2，0)，(a 1n，a 2n，a mn， 0)线性表示，则即 r(A1T)r()，由已知可得 r(A1T)r(A 1)r( )r(A 2T)r(A 2)，则 r(A2)r( )，即方程组()无解【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对增广矩阵作初等变换，有由于方程组有无穷多解，故a1 或 a0 当 a1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意舍去； 当 a0 时三个特征向量 线性无关，是 A 的
17、特征向量，故 a0 令 P ，有 P-1AP A ，那么 APAP -1【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立，得方程组(3) 则方程组(3)的解就是方程组(1) 与(2)的公共解 对方程组(3) 的增广矩阵作初等行变换，有 则方程组(3)有解，即(a 1)(a2)0 当 a1 时， 此时方程组(3)的通解为 k(一1，0，1) T(k 为任意常数)，即为方程组(1)与(2) 的公共解 当 a2 时，此时方程组(3)有唯一解(0，1，1) T，这也是方程组(1)与(2)的公共解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1)对方程组(1) 的系数矩阵作初等行
18、变换，有由于 nr(A)422，基础解系由 2个线性无关的解向量所构成，取 3， 4 为自由变量，得 1(5，3，1，0)T， 2(3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解系 (2)设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 k 11k 22l 11l 22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数 由 k11k 22l 11l 220，得齐次方程组(3) 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有当 a1 时，则(3) 那么方程组(3) 只有零解，即 k1k 2l 1l 20，于是 0，不合题意 当 a1 时，方程组(3)同解变形为 解得 k1l 14l 2，k 2l
19、17l 2于是 (l 14l 2)1(l 17l 2)2l 11l 22 所以当a1 时，方程组 (1)与(2)有非零公共解，且公共解是 l 1(2，1，1，1)T l2(1，2 ，4，7) T，l 1，l 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 根据 A(1 2)A 1A 2000 可知， 1 2 是方程组A0 的解同理可知 2 3， 1 3 也是 A0 的解 假设 k1(1 2)k 2(2 3)k 3(1 3)0，则 (k 1k 3)1(k 1 k2)2(k 2k 3)30， 因为1， 2， 3 是基础解系，它们是线性无关的，因此 由于此方程组系数行列式 D 20，则有后
20、。k 1k 2k 30，所以1 2， 2 3， 1 3 线性无关 根据题设，A0 的基础解系含有 3 个线性无关的向量，所以 1 2， 2 3， 1 3 也是方程组 A0 的基础解系【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 30， 40 得21， 12，即 (2 ，1，0，0) T 导出组的解： 令 31， 40 得23， 11，即 1(1 ，3，1，0) T； 令 30， 41 得 20， 11，即2(1，3， 1，0) T 因此方程组的通解是： (2，1，0，0) Tk 1(1，3，1，0)T k2(1，0 ，0，1) T 如果要求通解满足 12
21、 22，则有(2k 1k 2)2(13k 1)2，那么 2k 1k 213k 1 或 2k 1k 2(13k 1)，即 k212k 1 或 k234 1 所以(1 ，1，0，1) Tk(3，3，1，2) T 或(1，1，0，3) Tk(3，3，1，4) T(k 为任意常数)是满足 12 22 的所有解【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有(1)当 a0 且 b3 时，方程组有唯一解 (2)当 a0 时，对任意的 b，方程组均无解 (3)当 a0，b3 时，方程组有无穷多解(，1，0) T k(0，3，2) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组23 【正确
22、答案】 将(1，1，1，1) T 代入方程组可得 对增广矩阵作初等行变换，可知(1)当 A 时， 因为 r(A)r( )24，所以方程组有无穷多解其通解为( ，1，0，0) Tk 1(1，3，1，0) Tk 2(1，2，0，2) T(其中 k1k2 为任意常数) (2)当 时， 因 r(A)r( )34，所以方程组有无穷多解，其通解为(1，0，0，1)T k(2，1， 1，2) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a0 时，r(A)1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 1 2 n0， 由此得基础解系为 1(1，1，0
23、，0) T， 2(1，0，1，0) T， n-1(1 ，0，0，1) T， 于是方程组的通解为 k 11k n-1n-1，其中k1，k n-1 为任意常数 当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有可知 a时，r(A)n1 n，故方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 (1，2，n) T，于是方程组的通解为k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由 ABO 知，B 的每一列均是 A0 的解，且 r(A)r(B)3 (1)若 k9，则 r(B)2，于是 r(a)1，显然 r(a)1，故 r(a)1可见此时 A0 的基础解系所含解向量的个数为 3r(a)2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 A0 的通解为 (k1，k 2 为任意常数) (2)若k9，则 r(B)1，从而 1r(a)2 若 r(A)2，则 A0 的通解为：k 1 (k1 为任意常数) 若 r(A)1，则 A0 的同解方程组为：a1b 2c 30，不妨设 a0，则其通解为 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组
