1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有齐次线性方程组 Ax=0 及 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有以下 4 个命题若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则 R(A)R(B)；若 R(A)R(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 R(A)=R(B)；若 R(A)=R(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的是( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。2 某五元齐次线性方程组经初等变换将系数矩阵化为 ，自由变量可取为(1)x 4，x
2、5 (2)x3，x 5 (3)x1，x 5 (4)x2，x 3 那么，正确的共有 ( )（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。3 设 1， 2， 3， 4 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是( )（A） 1-2， 2+3， 3-4， 4+1。（B） 1+2， 2+3+4， 1-2+3。（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1。（D） 1+2， 2-3， 3+4， 4+1。4 已知方程组 有两个不同的解，则 =( )（A）-1 。（B） 10。（C） 1。（D）2。5 设 A 为 mn 矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 A 中
3、有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解。（B）若 A 中有 n 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解。（C）若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=0 仅有零解。（D）若 A 中有 m 阶子式不为零，则 Ax=b 必有唯一解。6 设 i=(ai，b i，c i)T，i=1 ，2，3，=(d 1，d 2，d 3)T，则三个平面 a 1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0 a 3x+b3y+c3z+d3=0， 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是( )（A）R( 1， 2， 3)=1，R( 1， 2， 3，)=2 。（B） R(1， 2， 3)=2，R( 1
4、， 2， 3，)=3。（C） 1， 2， 3 中任意两个均线性无关，且 不能由 1， 2， 3 线性表示。（D） 1， 2， 3 线性相关，且 不能由 1， 2， 3 线性表示。7 要使 1=(1，0，2) T， 2=(0，1，-1) T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，那么系数矩阵为( )8 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，存在 BO，使得AB=O，则( )（A）=-2 且B=0。（B） =-2 且B0 。（C） =1 且B =0。（D）=1 且B0 。9 设 1， 2， 3， 4 是 4 维非零列向量组， A=(1， 2， 3， 4)，A *是 A 的伴随矩阵，已知方程组 Ax=0
5、的基础解系为 (1，0，2，0) T，则方程组 A*x=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3。（B） 192， 2+3，3 3。（C） 2， 3， 4。（D） 1， 2， 2+3， 3+4， 4+1。10 a=-5 是齐次方程组 有非零解的( )（A）充分必要条件。（B）充分不必要条件。（C）必要不充分条件。（D）既不充分也不必要条件。11 设矩阵 A 是秩为 2 的四阶矩阵，又 1， 2， 3 是线性方程组 Ax=b 的解，且1+2-3=(2，0，-5，4) T， 2+23=(3，12，3，3) T， 3-21=(2，4，1，-2) T，则方程组 Ax=b 的通解 x=( )12 非
6、齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则 ( )（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解。（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解。二、填空题13 已知方程组 有无穷多解，那么 a=_。14 设 A=(aij)是三阶正交矩阵，其中 a33=-1，b=(0，0，5) T，则线性方程组 Ax=b 必有的一个解是_。15 已知非齐次线性方程组()与() 同解，其中则 a=_。16 已知方程组 无解，则 a=_。17 设 A 为 n 阶方阵，任何 n 维
7、列向量都是方程组的解向量，则 R(A)=_。18 A= ，其中ai0， i=1，2，m，b j0，j=1 ，2，n。则线性方程组 Ax=0 的基础解系含有解向量的个数是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。20 已知齐次方程组为 其中 ai0。讨论当 a1，a 2，a n 和 6 满足何种关系时：()方程组仅有零解；()方程组有非零解，在此情形条件下写出一个基础解系。21 解齐次方程组22 已知齐次线性方程组() 和()同解，求 a，b，c 的值。23 设齐次线性方程组 的系数矩阵为 A=设 Mi(i
8、=1，2，n)是 A 中划去第 i 列所得到的 n-1阶子式。证明：()(M 1， -M2，(-1) n-1Mn)是方程组的一个解向量；()如果 A的秩为 n-1，则方程组的所有解向量是(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)的倍数。24 设 A= ，3 阶矩阵 BO，且有 AB=O，求 。25 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中()当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；() 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。26 讨论 a，b 为何值时，方程组 无解? 有解?有解时写出全部解。27 设线性方程组 ()证明当 a1，a 2，a 3， 4 两两不相等时，方程组无解；(
9、) 设 a1=a3=k，a 2=a4=-k(k0)，并且 1=(-1，1，1) T 和 2=(1，1，-1)T 是两个解。求此方程组的通解。28 讨论方程组的解，并求解。29 已知 4 阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其2， 3， 4 线性无关， 1=22-3，若 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解。30 设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a-1 (2)有公共解，求 a 的值及所有公共解。31 设 A= ，已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。()求 ，a；() 求方程组 Ax=b 的通解。32 已知平面上三条不同直线
10、的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。33 是否存在平面二次曲线 y=ax2+bx+c，其图像经过以下各点： (0，1)，(-2，2)，(1，3)，(2，1)。34 已知线性方程组 ()当 a，b，c 满足什么关系时，方程组只有零解?()当 a，b，c 满足什么关系时，方程组有非零解?并求通解。35 设 A 为 n 阶方阵证明：R(A *)=R(An+1)。36 设四元线性方程组(1)为 又已知齐次线性方程组(2)的通解为k1(0，1 ，1，0) T+k2(-1
11、，2，2，1) T。 ()求方程组(1)的基础解系； () 问线性方程组(1)，(2)是否有非零公共解 ?若有，则求出所有非零公共解；若没有，说明理由。37 已知 A=(1， 2， 3， 4)是四阶矩阵， 1， 2， 3， 4 是四维列向量，若方程组Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2 ，4，0) T，又 B=(3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx=31+52-3 的通解。38 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解。()证明方程组系数矩阵 A 的秩 R(A)=2；()求 a，b 的值及方程组的通解。39 已知线性方程组 有解(1，-1，1，-1)T。 () 用导出组
12、的基础解系表示通解； ()写出 x=x 时的全部解。40 已知 1=(1，2，1，1，1) T， 2=(1，-1，1，0， 1)T， 3=(2，1，2，1，2) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，且 R(A)=3，试写出该齐次线性方程组 Ax=0。考研数学一（线性方程组）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)。因为中条件保证了 n-R(A)n-R(B)，所以 R(A)R(B)。而进一步易知正确，而、均不能成立。【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 R(A)=3，则
13、 n-R(A)=5-3=2，故应当有 2 个自由变量。由于去掉 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，其秩与 R(A)不相等，故 x4，x 5 不是自由变量。同理，x 3，x 5 也不能是自由变量。因为行列式都不为 0，故 x1，x 5 与 x2，x 3 均可以是自由变量。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件，Ax=0 的基础解系是由四个线性无关的解向量构成的，而选项(B) 中仅三个解向量，不符合要求，故选项(B)不是基础解系。 选项(A)和选项(C)中，都有四个解向量，但因为 ( 1-2)+(2+3)-(3-4)-(4+1)=0， ( 1+2)-(2+3)
14、+(3+4)-(4+1)=0， 说明(A)、(C)中的向量组均线性相关，因而选项(A) 、(C)也不是基础解系。 用排除法可知选项 (D)正确。或者由 (1+2， 2-3， 3+4， 4+1)=(1， 2， 3， 4) 而 知 1+2， 2-3， 3+4， 4+1 线性无关，又因 1+2， 2-3， 3+4， 4+1 均是Ax=0 的解，且解向量个数为 4，所以选项(D)是基础解系。【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 线性方程组 Ax=b 有两个不同的解 Ax=b 有无穷多解 R(A)=A(A，b)n 。由于本题的系数矩阵含有参数，故可以由A =0 来进行求解。=(-1)
15、2(10-)，由A=0，可得 =1 或 =10，故可排除(A)与(D)。 当 =1 时，有因为 R(A)= 3，所以 =1时方程组有无穷多解，且经验证 =10 不满足条件，故选(C) 。【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 A【试题解析】 A 是 mn 矩阵，若 A 中有 n 阶子式不为零，而 A 中又不存在 n+1阶子式，故必有 R(A)=n。同理，若 A 中有 m 阶子式不为零，则必有 R(A)=m。 对于(A)，因为 R(A)=n，而 Ax=0 是 n 个未知数的齐次方程组，所以 Ax=0 必只有零解。故(A) 正确。 对于(B) ，当 R(A)=n 时，增广矩阵 A 的秩有可能是
16、n+1，所以Ax=b 可能无解，因此(B)不正确。例如： 有 R(A)=2， =3，方程组无解。 对于(C) 和(D)，R(A)=m，即 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 =m。因此，方程组 Ax=b 必有解，但未必有唯一解，Ax=0也未必只有零解。例如， 有无穷多解。仅当 m=n 时，选项(C)、选项(D)才正确。【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 中由 R(1， 2， 3)=1，知三个平面的法向量平行，从而三个平面相互平行(或重合) ，又由 R(1， 2， 3，)=2，可知三个平面没有公共交点，因而这三个平面两两平行，至多有两个重合。 当三
17、个平面两两相交成三条平行直线时，必有 R(1， 2， 3)=2，R( 1， 2， 3，)=3，但当 R( 1， 2， 3)=2， R(1， 2， 3，)=3 时，有可能其中两个平面平行，第 3 个平面和它们相交，所以(B) 是必要不充分条件。 而(D) (A)或(B)，亦知 (D)是必要不充分条件。 1， 2， 3 中任意两个均线性无关 任何两个平面都不平行，且相交成一条直线，而 不能由 1， 2， 3 线性表示 三个平面没有公共点。故应选(C) 。【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2 对应的元素不成比例，所以 1， 2 是 Ax=0 的两个线性无关的解，故 n-
18、R(A)2。 由 n=3 知，R(A)1。 (A)选项，矩阵的秩为 1；(B)和(C)选项，矩阵的秩为 2；(D) 选项，矩阵的秩为 3，故知应选 (A)。【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 C【试题解析】 存在 BO，使 AB=O，说明齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，故A= =(1-)2=0， 解得 =1，而当 =1 时，R(A)=1，由矩阵的秩的性质知，R(A)+R(B)3，则 R(B)2，故B=0。【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 C【试题解析】 由 Ax=0 的基础解系仅含 1 个解向量，知A =0 且 R(A)=4-1=3，所以 R(A*)=1，那么 A*x=0 的
19、基础解系应含 3 个解向量，故排除 (D)。 又由题设有(1， 2， 3， 4)(1，0，2，0) T=0，即 1+23=0，亦即 1， 3 线性相关，所以排除(A)、(B)，故选择(C)。【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【试题解析】 由 n 个方程 n 个未知数组成的齐次方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是A=0。于是由A= =(a+5)(a-3)， 可知 a=-5 时，A=0，但A=0 并不一定有 a=-5。因而 a=-5 是充分不必要条件。故应选(B)。【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 A【试题解析】 由于 nR(A)=4-2=2，由非齐次线性方程组解的结构
20、可知，方程组Ax=b 的通解形式应为 +k11+k22，故可排除(C)、(D)。由已知条件，(2+23)=b，A( 3-21)=-b，所以(A) 中(1，4， 1，1) T 和(B) 中(-2，-4，-，2) T 都是方程组 Ax=b 的解。 (A)和(B)中均有(2，2，-2，1) T，因此可知它必是 Ax=0 的解。 又由于 3(1+2-3)-(2+23)=3(1-3)+2(2-3)，且由非齐次线性方程组的解与对应齐次线性方程组的解之间的关系知，3( 1-3)+2(2-3)是 Ax=0 的解，所以(3，-12，-18，9) T 是 Ax=0 的解，那么(1，-4 ，-6，3) T 也是 A
21、x=0 的解。故应选(A)。【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 A【试题解析】 (A，b)是 m(n+1)矩阵，当 r=m 时， R(A，b)m=r=R(A)。再由R(A)R(A，b)，可得 R(A)=R(A，b)，所以方程组 Ax=b 有解，故选(A)。【知识模块】 线性方程组二、填空题13 【正确答案】 3【试题解析】 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 R(A)= ，而有无穷多解的充分必要条件是 R(A)= n。对增广矩阵作初等行变换，有由于 R(A)=2，所以 6-2a=0，解得 a=3。 所以，方程组有无穷多解的充分必要条件是 a=3。【知识模块】 线性方程组14 【
22、正确答案】 (0，0，-5) T【试题解析】 由克拉默法则，对于 Ax=b，有 x=A-1b，因为 A 是正交矩阵，则 A-1=AT，故 x=A Tx=(5a31，5a 32，-5) T， 而又 a312+a322+a332=1，故知 a31=0，a 32=0。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 1【试题解析】 方程组()与() 同解，即()的解全是( )的解，()的解也全是()的解。对 ()求出其通解为 (3，2，0) T+k(3，-1，1) T，于是把 x1=3+3k，x 2=2-k，x 3=k 代入方程组 ()，有 整理得因为 k 为任意常数，故 a=1。此时方程组()的解全是方
23、程组( )的解。且当 a=1 时，方程组()为 由方程组()的系数矩阵 A2= 得秩 R(A2)=2，则根据非齐次线性方程组解的结构知 ()的通解形式为 +k。易知 =(3，2，0) T 是 Ax=b 的一个特解，=(3，-1，1) T 是A2x=0 的一个非零解。 所以()与()必同解。【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 -1【试题解析】 方程组的增广矩阵当 a=-1 时，=3R(A)=2，此时方程组无解。【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 0【试题解析】 已知任何 n 维列向量都是此方程组的解，故 n 维基本单位向量组 1=， 2= ， n= 也是它的解，即 A(1， 2，
24、 n)=AE=O，故有A=O，所以 R(A)=0。【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 n-1【试题解析】 因为 ai0(i=1，2，m) ， j0(j=1，2，n) ，所以因此 R(A)=1，故线性方程组 Ax=0 的基础解系含 n-1 个解向量。【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x 1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1)T，于是方程组
25、的通解为 x=k 11+kn-1n-1，其中 k1，k n-1 为任意常数。 当 a0时，对矩阵 B 作初等行变换，有当 a=时，r(A)=n-1n，方程组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 对齐次线性方程组的系数矩阵 A 作初等变换，即()当 b0 且 b ai 时，R(A)=n，原方程组只有零解。()当 b=0 或 b= ai时，R(A) n，原方程组有非零解。当 b=0 时，R(A)=1，原方程组与 a1x1+a2x2+anxn=0 同解。因为 ai0，所以 a1，
26、a 2，a n 不全为 0。不失一般性，设 an0，则原方程组的一个基础解系(含 n-1 个线性无关的解向量)为 (a n，0，0，-a 1)T， (0，a n，0，-a 2)T，(0，0，a n，-a n-1)T。当 b= ai 时，因为ai0，所以R(A)=n-1，原方程组的基础解系(含 1 个线性无关的解向量)为 (1，1，1，1) T。【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由 n-R(A)=4-2=2，基础解系由 2 个向量组成，每个解中有 2 个自由变量。 令x2=1， x4=0，解得 x3=0，x 1=2。 令 x2=0，x 4=2，解得
27、x3=15，x 1=-22。 得到1=(2，1，0，0) T， 2=(-22，0，15，2) T，因此通解是 k11+k22，k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 因为方程组()中方程个数小于未知数个数，()必有无穷多解，所以( )必有无穷多解，因此() 的系数行列式必为 0，即有对()的系数矩阵作初等行变换，有，于是求出方程组()的通解是 k(-1，-1，1) T。 由题意知，(-1，-1，1) T 亦是方程组()的解，故有 解得 b=1，c=2或 b=0，c=1。 当 b=0，c=1 时，方程组()为 因其系数矩阵的秩为 1，则方程组() 与方程组() 的
28、系数矩阵的秩不相等，从而()与( )有不同的解，故 b=0， c=1 应舍去。 经验证，当 a=2，b=1，c=2 时，()与()同解。【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 () 作 n 阶行列式Di= ，i=1，2，n-1。因为 Di 的第一行与第 i+1 行是相同的，所以 Di=0。 D i 的第一行元素的代数余子式依次为 M1，-M 2，(-1) n-1Mn，将 Di 按第一行展开，得 ai1M1+ai2(-M2)+ain(-1)n-1Mn=0，(i=l，2，n-1)，这说明 (M1，-M 2，(-1) n-1Mn)满足第 i(i=1，2，n-1)个方程，故它是方程组的一个解。 (
29、) 因为 R(A)=n-1，所以方程组的基础解系所含解向量的个数为n-(n-1)=1，同时因为 R(A)=n-1，说明 A 中至少有一个(n-1)阶子式0，即M1，M 2，M n 不全为 0，于是(M 1，-M 2， (-1)n-1Mn)是方程组的一个非零解，它可作为方程组的一个基础解系。故方程组的解都是(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)的倍数。【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 由 AB=O 可知，B 的列向量均为方程组 Ax=0 的解，再由 BO 可知方程组 Ax=0 有非零解，所以有 A=0 ，即 =5-5=0。从而可得=1。【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由
30、数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式A =D n=(n+1)an。() 当 a0 时，D n0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为=Dn-1=nan-1，所以由克拉默法则得 x1=Dn-1 Dn= ()当 a=0 时，方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n-1，所以方程组有无穷多解，其通解为 x=(0 ，1，0) T+k(1，0，0) T，其中k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即可见，当 a1 时，R(A)R(A，b)，方程组无解。当 a=1 且 b-1 时，R(A)=R(A，b)=3，方程组有唯一
31、解，由 得唯一解为x1=3， x2=1， x3=0。 当 a=1 且 b=-1 时，R(A)=R(A，b)=23，方程组有无穷多解。由 得同解方程组为选 x3 为自由变量，对应的齐次线性方程组的基础解系为 =(-1，1，1) T，方程组的一个特解为 =(3，1，0) T，所以方程组的通解为 x=+k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 () 增广矩阵的行列式是一个范德蒙德行列式，其值等于=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a2)，于是，当 a1，a 2，a 3，a 4 两两不同时，增广矩阵可逆，秩为 4，而系数矩阵的秩为
32、。因此，方程组无解。()由题设条件，则此时方程组为 1 和 2 都是特解，1-2=(-2，0， 2)T 是导出组的一个非零解。由 1(或 2)是解看出 k0，从而系数矩阵 的秩为 2，因此可知导出组的基础解系由一个非零向量构成，则 1-2 是导出组的基础解系。于是通解为 1+c(1-2)，c 为任意常数。【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 方程组系数矩阵的行列式=a2(a-1)。当A=0 时，a=0 或 1。 (1)当 a=0 时，对增广矩阵 作初等行变换。R(A)=2 =3，故方程组无解。 (2)当 a=1 时，对增广矩阵 作初等行变换，对应齐次线性方程组的基础解系为=(-1，2，1
33、) T，方程组的一个特解为 =(2，-9 ，0) T。因此，方程组的通解为+k，其中 k 为任意常数。 (3) 当 a0 且 a1 时， A0，方程组有唯一解。由克拉默法则得【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 由 2， 3， 4 线性无关，且 1=22-3，知 R(A)=3，从而 Ax=0 的基础解系只含有一个解向量。由 1-22+3+04=0，知(1，-2，1，0) T 为 Ax=0 的一个基础解系。 又 =1+2+3+4，即( 1， 2， 3， 4) =，知(1，1，1，1) T 为Ax= 的一个特解。因此，Ax= 的通解为(1，1，1，1) T+k(1，-2，1，0) T，其中
34、k为任意常数。【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立，得方程组 则方程组(3)的解就是方程组(1) 与(2)的公共解。对方程组(3) 的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(a-1)(a-2)=0 。当 a=1 时， ，此时方程组(3)的通解为k(-1，0，1) T(k 为任意常数)，此即为方程组(1) 与(2) 的公共解。当 a=2 时，此时方程组(3)有唯一解(0，1，-1) T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 () 因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r(A)= n。于是 A= =
35、(+1)(-1)2=0。解得 =1 或 =-1。当 =1时，r(A)=1， =2，此时线性方程组无解。当 =-1 时，若 a=-2，则 r(A)= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =-1，a=-2。()当 =-1，a=-2 时，所以方程组 Ax=b 的通解为 +k(1，0，1)T，其中 k 是任意常数。【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 必要性：设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则其线性方程组有唯一解，故系数矩阵 A= 与增广矩阵 的秩均为 2，于是 =0。因为=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-
36、a)2，但根据题设可知(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)20，故 a+b+c=0。 充分性：由 a+b+c=0，则从必要性的证明中可知， =0，故 3。由于故 r(A)=2。于是 r(A)= =2。因此方程组(*)有唯一解，即三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点。【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 二次曲线 y=ax2+bx+c 经过这四个点，则将以上各点坐标值代入曲线方程并组成方程组，于是该问题转化为对该方程组的求解。即将其增广矩阵经初等行变换化为阶梯形：由阶梯形矩阵可知增广矩阵的秩为 4，而系数矩阵的秩为 3，故方程组无解。所以，不存在经过所给四个点的平面二次曲线。【知识
37、模块】 线性方程组34 【正确答案】 方程组系数矩阵 A 的行列式A= =(b-a)(c-a)(c-b)。(范德蒙德行列式)()当 ab，ac，bc 时，有A0，且 R(A)=3，所以方程组只有零解 x1=x2=x3=0。()对方程组有非零解的情形分四种情况讨论。 1当 a=bc时， R(A)=23，方程组有非零解，此时同解方程组为 选 x2 为自由变量，则方程组的通解为 x=k1 ，k 1 是任意常数。2当 a=cb 时，R(A)=23，方程组有非零解。此时同解方程组为 选 x3 为自由变量，则方程组的通解为 x=k2 ，k 2 是任意常数。3当 b=ca 时，R(A)=23，方程组有非零解
38、，此时同解方程组为 选 x3 为自由变量，则方程的通解为 x=k3 ，其中 k3 是任意常数。4 当 a=b=c 时，R(A)=13，方程组有非零解。此时同解方程组为 x 1+x2+x3=0，选 x2，x 3 为自由变量，则方程组的通解为 x=k4，其中 k4，k 5 是任意常数。【知识模块】 线性方程组35 【正确答案】 本题可转化为方程组 Anx=0 与 An+1x=0 同解的证明。 若 Anx=0，则 An+1x=0，因此 Anx=0 的解必为 An+1x=0 的解； 反之，当 An+1x=0 时，如果Anx0，设 k0，k 1，k n 使 k0x+k1Ax+knAnx=0，依次用 An
39、，A n-1，A 乘该式，即得 k0=k1=kn=0，故这 n+1 个向量线性无关，这显然与 n+1 个 n 维向量必线性相关矛盾，所以 Anx=0，于是可知 Anx=0 与 An+1x=0 同解，故 R(An)=R(An+1)。【知识模块】 线性方程组36 【正确答案】 () 方程组(1) 的同解方程组为 基础解系为1= ， 2= ，故通解为 C1(0，0，1，0)T+C 2(-1，1，0，1) T，其中 C1、C 2为任意常数。 () 方令 C1(0，0，1，0)+C 2(-1，1，0，1)=k 1(0，1，1，0)+k 2(-1，2，2，1) 。则有 (k1，k 2，C 1，C 2 为未
40、知数)。系数矩阵那么同解方程组为 令 k=C2，则方程组的解为 k(-1，1，1，1) T，即方程组(1)、(2)的所有非零公共解是 k(-1，1，1，1) T，k0。【知识模块】 线性方程组37 【正确答案】 由方程组 Ax= 的通解表达式可知 R(A)=R( 1， 2， 3， 4)=4-1=3， 且 1+22+23+4=， 1-22+43=0， 则 B=(3， 2， 1，- 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，且 1， 2， 3 线性相关，故 R(B)=2。 又因为(3， 2， 1， -4) =31+52-3，故知(-1，5，3，0) T 是方程组 Bx=31+52-3 的一个解。
41、( 3， 2， 1， 1+22+23) =43-22+1=0，( 3， 2， 1， 1+22+23) =1-22+43=0， 所以(4，-2，1，0)T， (2，-4,0 ，1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解。 故 Bx=31+52-3 的通解为 (-1，5，3，0) T+k1(4，-2 ，1，0) T+k2(2，-4，0，1) T 其中 k1，k 2 是任意常数。【知识模块】 线性方程组38 【正确答案】 () 设 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，其中则有 A(1-2)=0，A( 1-3)=0，即 1-2， 1-3是对应齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性
42、无关。 (否则，易推出 1， 2， 3 线性相关，与假设矛盾。) 所以有 n-R(A)2，即 4-R(A)2 R(A)2。又矩阵 A 中的一个 2 阶子式 =-10，所以 R(A)2。因此 R(A)=2。( )对矩阵 A 作初等行度换，即又 R(A)=2，则 对原方程组的增广矩阵 作初等行变换， 故原方程组的同解方程组为 选 x3，x 4 为自由变量，则故所求通解为 x=k1 +k2 ，k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性方程组39 【正确答案】 将(1，-1，1，-1) T 代入第 1 个方程，可得 =。 ()已知方程组的一个特解为(1，-1 ，1，-1) T，因此只需求出导出组的
43、基础解系即可写出通解。 对系数矩阵作初等行变换：如果 2-1=0，则于是得(1，-3，1，0) T 和( ，-1，0，1) T 为导出组的基础解系，因此通解为(1，-1，1，-1) T+c1(1，-3，1，0) T+c2(，-1 ，0，1) T，c 1，c 2 是任意常数。如果 2-10，则即得(-1， ，1)T 为导出组的基础解系，此时通解为(1，-1，1，-1) T+c(-1， ，1) T，c 是任意常数。 () 当 2-1=0 时，由已知条件 x2=x3 及()中结论，则有 -1-3c 1-c2=1+c1，从而 c2=-2-4c1，此时通解为 (2，1，1，-3) T+c1(3，1，1，-4) T。 当 2-10 时，由()中结果，并结合已知条件 x2=x3，则有 得 c=2，此时通解为(-1，0，0，1) T。【知识模块】 线性方程组40 【正确答案】 由于 1， 2， 3 是 5 维列向量，故方程组 Ax=0 有 5 个变量，而R(A)=3，因此 Ax=0 的基础解系包含 5-R(A)=2 个线性无关的解向量。又显然1， 2 线性无关 (对应元素不成比例) ，故可作为 Ax=0 的基础解系。由( 1， 2)=(1-2， 2)= 可得 Ax=0 的同解方程组为(x 4，x 5 为自由变量)【知识模块】 线性方程组
