1、考研数学一（综合）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3 的规范形为( )（A）2y 12+y22+y32 （B） y12-y22-y32（C） 2y12-y22-y32（D）y 12+y22+y322 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是( ) （A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换必可化为(E m，0)的形
2、式 3 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、反面各出现一次，A 4正面出现两次 ，则事件( ) （A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x12-4x2x3 的正惯性指数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设向量组() ： 1=(11， 21， 31)T， 2=(12， 22， 32)T， 3=(12， 23， 33)T， 向量组( )： 1=(11， 2
3、1， 31,41)T， 2=(12， 22， 32,42)T， 3=(12， 23， 33,43)T，则 ( )（A）若()相关，则( )相关（B）若 ()无关，则( ) 无关（C）若 ()无关，则( ) 无关（D）() 无关当且仅当 () 无关 6 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有 2 个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列温度值，则事件 E等于( )（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0（D）T (4)t0 二
4、、填空题7 连续投掷一枚均匀硬币 10 次，求其中有 3 次是正面的概率三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 一串钥匙，共有 10 把，其中有 4 把能打开门，因开门者忘记哪些能打开门，便逐把试开，求下列事件的概率：8 第 3 把钥匙才打开门9 最多试 3 把钥匙就能打开门9 商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂产品每箱装100 个，废品率为 006，乙厂产品每箱 120 个，废品率为 00510 任取一箱，从中任取一个产品，求其为废品的概率11 若将所有产品开箱混装，任取一个其为废品的概率11 四名乒乓球运动员1，2，3，4 参加单打比赛，在第
5、一轮中，1 与 2 比赛，3 与 4 比赛然后第一轮中的两名胜者相互比赛决出冠亚军，两名败者也相互比赛决出第三名和第四名于是比赛的一种最终可能结果可以记作 1324(表示 1 胜2，3 胜 4，然后 1 胜 3，2 胜 4)12 写出比赛所有可能结果构成的样本空间 ；13 设事件 A 表示运动员 1 获得冠军，写出 A 中所包含的所有可能结果；14 设事件 B 表示运动员 1 进入冠亚军决赛，写出 B 中所包含的所有可能结果；14 基金公司为其客户提供几种不同的基金：一个货币市场基金，三种债券基金(短期债券、中期债券和长期债券)，两种股票基金(适度风险股票和高风险股票)以及一个平衡基金在所有只
6、持有一种基金的客户中，持有各基金的客户比例分别为货币市场 20 高风险股票 18短期债券 15 适度风险股票 25中期债券 10 平衡基金 7长期债券 5在持有一种基金的客户中随机选取一位客户，求15 他持有平衡基金的概率；16 他持有债券基金的概率；17 他不持有股票基金的概率17 投掷一枚硬币三次，观察三次投掷出现正反面情况，比如一种可能结果为HTT(表示第一次出现的是正面，第二次和第三次出现的都是反面)18 写出所有可能结果构成的样本空间 ；19 事件 A 表示恰好出现两次正面，写出 A 中所包含的所有可能结果；20 事件 B 表示三次中出现过正面，写出 B 中所包含的所有可能结果；20
7、 已知向量组 1=(t，2， 1)， 2=(2，t，0) ， 3=(1，-1，1)，试讨论：21 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关?22 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性无关?23 有 k 个坛子，每一个装有 n 个球，分别编号为 1 至 n，今从每个坛子中任取一球，求 m 是所取的球中的最大编号的概率24 已知 P(A)=04，P(B)=025，P(A-B)=025，求 P(AB)，P(AB)，P(B-A)25 将 13 个分别写有 A、A、A、C、E、H、I、I、M、M 、N 、T、T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率考研数学一
8、（综合）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 综合2 【正确答案】 C【知识模块】 综合3 【正确答案】 C【知识模块】 综合4 【正确答案】 C【知识模块】 综合5 【正确答案】 B【知识模块】 综合6 【正确答案】 C【试题解析】 T (1)t0(或T (2)t0)表示至少有 4 个(或 3 个)温控器不低于临界温度t0，故排除(A)，(B)，而T (4)t(0)至少有一个温控器不低于临界温度 t0，故排除(D)，而由 E 包含于T (3)t0)，T (3)t0包含于 E 得 E=T(3)t0，故答案为(C
9、)【知识模块】 综合二、填空题7 【正确答案】 P(10 次有 3 次是正面)=C 103/210【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 综合8 【正确答案】 P(第 3 把钥匙才打开门)=(654)/(1098)=1/6【知识模块】 综合9 【正确答案】 P(最多试 3 把钥匙就能打开门)=P(第 1 把钥匙就打开门)+P( 第 2 把钥匙才打开门)+P(第 3 把钥匙才打开门)=4/10+(64)/(109)+1/6=5/6【知识模块】 综合【知识模块】 综合10 【正确答案】 0.056【知识模块】 综合11 【正确答案】 将所有产品开箱混装，则
10、共有产品 10030+12020=5 400 个，废品数为 10000630+12000520=300 个，则P(B)=300/5 400=1/18【知识模块】 综合【知识模块】 综合12 【正确答案】 =1324，1342，3124，3142，1423，1432，4123，4132，2314，2341，3214，3241，2413，2431，4213，4231；【知识模块】 综合13 【正确答案】 A=1324，1342，1423，1432 ；【知识模块】 综合14 【正确答案】 B=1324，1342，3124，3142，1423，1432，4123，4132 ；【知识模块】 综合【知识模
11、块】 综合15 【正确答案】 根据题意，一位客户持有平衡基金的概率为 7；【知识模块】 综合16 【正确答案】 由于持有短期、中期、长期债券的客户比例分别为15、10、5，故一位客户持有债券基金的概率为 15+10+5=30 ；【知识模块】 综合17 【正确答案】 由于持有高风险股票、适度风险股票的客户比例为 18、25，故不持有股票基金的概率为 1-18-25=57 【知识模块】 综合【知识模块】 综合18 【正确答案】 =HHH，HHT，HTH，THH， TTH，THT，HTT ，TTT；【知识模块】 综合19 【正确答案】 A=HHT，HTH，THH；【知识模块】 综合20 【正确答案】
12、 B=HHH ，HHT ，HTH，THH，TTH，THT，HTT；【知识模块】 综合【知识模块】 综合21 【正确答案】 当 t-2，3 时， 1， 2， 3 线性无关；【知识模块】 综合22 【正确答案】 当 t=-2 或 t=3 时， 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 综合23 【正确答案】 每次取球编号有 n 种可能，k 次取球共有 nk 种可能，而“取得号码不超过 m”的可能取法有 mk，类似地，“取得号码不超过 m-1”的可能取法有(m-1)k，故“m 为最大号码” 的取法有 mk- (m-1)k 种，则 P(m 为最大号码)=m k-(m-1)k/nk【知识模块】 综合24 【正确答案】 利用概率性质 P(A-B)=P(A)-P(AB)，有P(AB)=P(A)-P(A-B)=04-0 25=015；根据加法公式，得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=04+0 25-015=05；根据减法公式，有P(B-A)=P(B)-P(AB)=025-015=0 1；【知识模块】 综合25 【正确答案】 P(13 个卡片排成单词“MATHEMATICIAN”)=(3!1112!2!12!)/13!=48/13!【知识模块】 综合
