1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导且 f(x)0(x(0，1)，则( )（A）当 0x1 时 0xf(t)dt 01xf(t)dt（B）当 0x1 时 0xf(t)dt=01xf(t)dt（C）当 0x时 0xf(t)dt 01=xf(t)dt（D）以上结论均不正确2 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是 ( )3 设 f(x)为可导函数，且满足条件 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2（B）一 1（C）（D）一
2、24 设 则( )（A）f(x)在 x=x0 处必可导且 f(x0)=a（B） f(x)在 x=x0 处连续，但未必可导（C） f(x)在 x=x0 处有极限但未必连续（D）以上结论都不对5 设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数 f(x)在点x0 处( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少6 设某商品的需求函数为 Q=1602P，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（A）10（B） 20（C） 30（D）407 设 f(x)可导且 则
3、当 x0 时，f(x)在 x0 点处的微分 dy 是( )（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小8 设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（A）f(a)=0，且 f(a)=0（B） f(a)=0，且 f(a)0（C） f(a)0，且 f(a)0（D）f(a)0 ，且 f(a)09 已知 f(x，y)= ，则( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在（B） fx(0， 0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0， 0)存在，f y(0，0)不存在（D）f x(0
4、，0),f y(0，0)都不存在10 设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，b)，有 f(x)一 f()=0（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f()=0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)一 f(a)=f()(ba)11 设 f(x)在a，b可导,f(a)= ，则( )（A）f +(a)=0（B） f+(a)0（C） f+(a) 0（D）f +(a)012 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，下面不等式 f(a)(b 一 a) abf(x)d
5、x(ba) 成立的条件是 ( )（A）f(x)0，f”(x) 0（B） f(x)0，f”(x)0（C） f(x)0，f”(x)0（D）f(x)0，f”(x) 013 曲线（A）既有垂直又有水平与斜渐近线（B）仅有垂直渐近线（C）只有垂直与水平渐近线（D）只有垂直与斜渐近线二、填空题14 设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=ex(1-y)确定，则15 已知 f(x)= 则 f(x)=_16 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_17 已知 f(ex)=xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_18 设某商品的收益函数为 R(p
6、)，收益弹性为 1+p3，其中 p 为价格，且 R(1)=1，则R(p)=_19 若函数 f(x)= 在 x=1 处连续且可导，那么a=_，b=_20 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b=_.21 设 f(x)= ，则 f(x)=_22 曲线 的斜渐近线方程为_23 曲线 在点(0，0)处的切线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 假设函数 f(x)和 g(x)在 a，b上存在二阶导数，并且 g”(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内 g(x)0；(2) 在开区间(a，b)内至少存在一点
7、，使25 设某商品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量(1)求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0) ；(2)推导 =Q(1 一 Ed)(其中 R 为收益)，并用弹性Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加26 设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性27 证明当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)228 求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值29 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)f(0)0
8、，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)=o(h)，试求 a，b 的值30 设 eabe 2，证明 ln2b 一 ln2a31 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=,f(1)=1证明：(1)存在 (0，1) ，使得 f()=1 一 ；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=132 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f”()=g”()33 (1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a
9、，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)-f(a)=f()(b 一 a) (2) 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 =A,则 f+(0)存在，且 f+(0)=A考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 记 F(x)=01f(t)dt 一 01xf(t)dt，则 F(x)=f(x)一 01f(t)dt 在0，1连续，且 F“(x)=f(x)0(戈(0，1)，因此 F(x)在0，1上单调下降 又 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在 (0，
10、1)，使故 F(x)0(x(0，1)，故选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx ， 又 f”(x) =cosx 一 xsinx，应选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 将题中极限条件两端同乘 2，得由导数定义可知,f(1)=一 2，故选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左右导数 f-(x0)，f +(x0)与在 x=x0 处的左右极限 区分开但不能保证 f(x)在 x0 处可导，以及在 x=x0，处连续和极限存在但是不
11、存在，因此 f(x)在 x=0 处不连续，不可导 故选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点将 x=x0 代入方程，得 y”(x0)一 2y(x0) +4y(x0)=0 考虑到 y(x0)=f(x0)=0， y”(x0)=f“(x0)，y(x 0)=f(x0)0，因此有 f”(x0)=一 4f(x0)0，由极值的第二判定定理知，f(x)在点 x0 处取得极大值，故选 A【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 商品需求弹性的绝对值等于 因此得 P=40，故选 D【知识模块】 一元函数微
12、分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 点处可导及微分的定义可知于是 ，即当x0 时，dy 与x 是同阶的无穷小，故选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，由复合函数求导法则有因此排除 C 和 D(当f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0 时，|f(x)| 在 x=a 点可导) 当 f(a)=0 时，上两式分别是|f(x)|在 x=a 点的左右导数，因此，当 f(a)=0 时，|f(x)|在 x=a 点不可导的充要条件是上两式不相等，即 f(a)0 时，故选 B【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 故fx
13、(0，0)不存在所以 fy(0，0)存在故选 B【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f(x)在闭区间a ，b 上有定义，而 A、C 、D 三项均要求 f(x)在a， b上连续，故三个选项均不一定正确，故选 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 f+(a)= ，故选 D【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，要使上面不等式成立，需要过点(a,f(a)平行于 x 轴的直线在曲线 y=f(x)的下方，连接点(a,f(a)和点(b,f(b)的直线在曲线
14、y=f(x)的上方，如图 25 所示 当曲线 y=f(x)在a，b是单调上升且是凹时有此性质于是当 f(x)0，f“(x)0 成立时，上述条件成立，故选 C【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为(一，一 3)(0， +)，且只有间断点 x=一 3，又，因此 x=一 3 是垂直渐近线x0 时，【知识模块】 一元函数微分学二、填空题14 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1对方程两边求导得 y一 1=ex(1-y)(1yxy)，将x=0，y=1 代入上式，可得 y(0)=1 所以【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析
15、】 当 x0 时，f(x)=cosx；当 x0 时,f(x)=1；可知 f-(0)=f+(0)=1，故 f(0)=1因此【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由题设知，f(x)=e f(x)，两边对 x 求导得 f”(x)=e f(x)f(x)=e2f(x)， f“(x)=2e2f(x)f(x)=2e3f(x) 又 f(2)=1，故 f“(2)=2e3f(x)=2e3【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 令 ex=t，则 x=lnt，于是有 f(t)= 两边积分得由 f(1)=0 得 C=0，故 f(x)=【知识模块】 一元函数微分学18
16、 【正确答案】 【试题解析】 由弹性的定义得：【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 a=2，b=一 1【试题解析】 因 f(x)在 x=1 处连续，则 ，即1=a+b要函数 f(x)在 x=1 处可导，必须有 f-(1)=f+(1) 由已知可得因此可得 a=2，b=一 1【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 3【试题解析】 本题考查已知拐点坐标来确定曲线方程中的一个参数已知y=x3+ax2+bx+1，则 y=3x2+2ax+b，y”=6x+2a令 y”=0，得 =一 1，所以a=3又因为曲线过点(一 1，0)，代入曲线方程，得 b=3【知识模块】 一元函数微分学21 【正确
17、答案】 (1+3x)e 3x【试题解析】 因为 f(x)= ，因此有 f(x)=e3x+x.e3x.3=(1+3x)e3x【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y=ax+b因为于是所求斜渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 (1+y) =ey.y，因此，点(0，0)处的切线方程为 y0=(一 2).(x 一 0)，即 y=一 2x【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 (1)利用反证法假设存在 c(a，b)，使得 g
18、(c)=0，则对 g(x)在a， c和 c，b上分别应用罗尔中值定理，可知存在 1(a，c) 和 2(c，b)，使得 g(1)=g(2)=0 成立 接着再对 g(x)在区间 1， 2上应用罗尔中值定理，可知存在3(1， 2)，使得 g”(3)=0 成立，这与题设条件 g”(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内 g(x)0 (2)构造函数 F(x)=f(x)g(x)一 g(x)f(x)，由题设条件得，函数 F(x)在区间a ，b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(a)=F(b)=0根据罗尔中值定理可知，存在点 (a，b)，使得 F()=0 即 f()g”() 一 f”()g()
19、=0， 因此可得【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (2)由 R=PQ，得又令 得P=10当 10P 20 时， Ed1，于是 ，故当 10P 20 时，降低价格反而使收益增加【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 在方程两边对 x 求导得再对 y等式两边求导得所以 y=y(x)在点 (1，1)处是凸的【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x)=(x2 一 1)lnx(x 一 1)2，易知 f(1)=0 又可见，当 0x1 时,f“(x)0，当1x+时，f“(x)0因此，当 0x+ 时，f”(x)f”(1)=20 又由 f(x)是单调增函数，且 f(1)=
20、0，所以当 0x1 时,f(x)0；当 1x+ 时，f(x) 0 因此，由 f(x)f(1)=0(0 x+) ，即证得当 x0 时， (x2 一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2+y2+z2 一 10)【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由题设条件知由于 f(0)0，故必有 a+b1=0又由洛必达法则 因 f(0)0，则有 a+2b=0 综上，得 a=2，b=一 1【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 对函数 y=ln2 x 在a ，b上应用拉格朗日中值定理，得当 te 时，(t)0，
21、所以 (t)单调减少，从而有 () (e2)，即【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 (1)令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在 0，1上连续，且 F(0)=一10，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1 一 (2)在0 ，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点(0，)， (，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0又 f(x)，g(x)在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x1x2，x 1，x 2
22、(a，b)使得若 x1=x2，令 c=x1，则 F(c)=0 若 x1 x2，因 F(x1)=f(x1)一 g(x1)0，F(x 2)=f(x2)一 g(x2)0，从而存在cx1，x 2 (a，b)，使 F(c)=0 在区间a，c ，c，b上分别利用罗尔定理知，存在 1(a，c) ， 2(c，b) ，使得 F( 1)=F(2)=0再对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理知，存在 (1， 2) (a，b)，有 F”()=0，即 f”()=g”()【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 (1)作辅助函数 (x)=f(x)一 f(a)一 ，易验证(x)满足：(a)=(b)；(x) 在闭区间a ，b上连续，在开区间 (a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使()=0，即 所以 f(b)-f(a)=f()(b 一 a) (2)任取x0(0，)，则函数 f(x)满足在闭区间0，x 0上连续，开区间(0，x 0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得故 f+(0)存在，且 f+(0)=A【知识模块】 一元函数微分学
