1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3|，则导数 f(x)不存在的点的个数是 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设函数 f(x)，g(x) 具有二阶导数，且 g”(x)0若 g(x0)=a 是 g(x)的极值，则fg(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是( )（A）f(a) 0（B） f(A)0（C） f”(A)0（D）f”(A) 03 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f”(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，)，则
2、下列结论正确的是( )（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散4 函数 f(x)=(x2+x 一 2)|sin2x|在区间 上不可导点的个数是( )（A）3（B） 2（C） 1（D）05 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 f(x)=|x|sin2x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 f(x)=x2(x 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数为( )（A）0（B） 1（C
3、） 2（D）38 设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0,f”(x)0(x0)，又设 ba0，则axb 时，恒有 ( )（A）af(x) xf(a)（B） bf(x) xf(b)（C） xf(x) bf(b)（D）xf(x)af(a)9 设常数 k0，函数 f(x)= 在(0，+)内零点个数为( )（A）3（B） 2（C） 1（D）010 设 f(x)在(1，1+)内存在导数,f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则( )（A）在(1 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x（B）在 (1，1)和(1，1+)内均有 f(x)x（C）在 (1，1)有 f(x)x，在(
4、1，1+)内均有 f(x)x（D）在(1 ，1) 有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x11 若 f”(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1 ，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1 ，2) 内 ( )（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点12 设 f(x)具有二阶连续导数，且 f(1)=0， ，则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1,f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标（D）f(1)不是 f(x)的极值，(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标二、填空题
5、13 曲线 处的切线方程为_14 设函数 f(x)= =_15 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_16 设曲线 y=f(x)与 y=x2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 =_17 设 y=(1+sin)x,则 dy|x=_18 已知 ，则 y”=_19 设函数 ，则 y(n)(0)=_20 曲线 的拐点坐标为_21 已知22 设 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则 =_23 函数 y=x2x 在区间(0，1 上的最小值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 求函数 f(x)= 的单调区间与极值25 证明 4arcta
6、nx 一 x+ 恰有两个实根26 证明 一 1x127 设奇函数 f(x)在一 1， 1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：(1)存在 (0，1) ，使得 f()=1；(2)存在 (一 1，1)，使得 f”()+f()=128 设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P=(P 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：(1)该商品的边际利润；(2)当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义； (3)使得利润最大的定价 P29 设函数 f(x)在0，+)上可导,f(0)=0 且 证明(1) 存在 a0，使得 f(a)=1；(2)对(1)
7、中的 a，存在 (0，a)，使得 f()=30 求31 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意 x,f(x)都存在，并求 f(x)32 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数 (1)写出 f(x)在一 2，0)上的表达式； (2)问k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导33 求极限考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选
8、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 (x)=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，则 f(x)=|(x)|使 (x)=0 的点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 (x)在这些点的值 (x)=(x一 2)2(x 一 3)3+2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)3+3(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3，显然，(1)0，(2)=0，(3)=0 ，所以只有一个不可导点 x=1故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 fg(x)=fg(x).g(x)， fg(x)”=fg(x)g(x)=
9、f”g(x).g(x)2+fg(x).g”(x)， 由于 g(x0)=a 是 g(x)的极值，所以 g(x0)=0 所以fg(x 0)”=fg(x0).g”(x0)=f(a).g”(x0)，由于 g”(x0)0，要使fg(x)”0，必须有 f(a)0【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 本题依据函数 f(x)的性质选取特殊的函数数列，判断数列u n=f(n)的敛散性取 f(x)=x2，f”(x)=20， u1=14=u 2，而 f(n)=n2 发散，则可排除 C；故选 D事实上，若 u1 u2，则 =f(1)0而对任意 x(1，+)，由f”(x)0，所以 f(x)f(
10、1) 1(1，2)0，对任意 2(1，+)，f(x)=f( 1)+f(2)(x 一 1)+(x+) 故选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 设 g(x)=x2+x 一 2，(x)=|sin2x| ，显然 g(x)处处可导，(x) 处处连续，有不可导点 只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零(x)=|sin2x|的图形如图24 所示，在 只有不可导点 x=0， 1，其余均可导因为 g(0)=-20， g(1)=0，所以 f(x)=g(x)(x)在 x=0， 处不可导，在 x=1 可导，其余点均可导故选B【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析
11、】 对于曲线 y，有 y=2(x 一 1)(x 一 3)2+2(x 一 1)2(x 一 3)=4(x 一 1)(x一 2)(x 一 3)， y”=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2p)=8(x 一 1)(2x一 5)，令 y”=0，得 x1=1， 又由 y“=8(2x 一 5)+16(x 一 1)，可得因此曲线有两个拐点，故选 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(3)(0)不存在因此 n=2，故选 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗
12、尔定理知至少有 1(0，1)， 2(1，2)使f(1)=f(2)=0，所以 f(x)至少有两个零点 又 f(x)中含有因子 x，故 x=0 也是 f(x)的零点，故选 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 将 A，B 选项分别改写成 于是，若能证明 或 xf(x)的单调性即可又因 令 g(x)=xf(x)-f(x)，则 g(0)=0， g(x)=xf”(x)0(x0) ，那么 g(x)g(0)=0(x0)，【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)= 令 f(x)=0，得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无f(x)不存在的点，故
13、 f(x)在区间(0，e) 与(e，+)内都具有单调性 又 f(e)=k0，而， 所以 f(x)在(0，e)与(e，+)内分别有唯一零点，故选 B【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在(1 ，1+)严格单调减少，则 f(x)在(1，1+) 是凸的，因此在此区间上，y=f(x) 在点 (1，1) 处的切线 y 一 1=f(1)(x 一 1)，即 y=x 在此曲线的上方(除切点外) 因此 f(x)x(x(1 ，1+) ，x1) 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知，f(x)是一个凸函数，即 f”(x)0，且在点(1 ，1)处
14、的曲率 而 f(1)=一 1，由此可得， f”(1)=一 2 在1，2上，f(x)f(1)=一 10，即 f(x)单调减少，没有极值点 由拉格朗日中值定理 f(2)-f(1)=f()一 1，(1，2)，由 f(1)=10，因此 f(2) 0 由零点定理知，在1，2 上，f(x)有零点故应选 B【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊 f(x)满足:f”(x)= 则 f(x)满足题中条件，f(x)在 x=1 处取极小值，而其余均不正确故选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 在点 在曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的
15、切线方程为【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 4【试题解析】 =f(一 1)f(0)，而当 x1 时，f(x)=2，因此 f(一 1)=f(0)=2，代入可得【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 由题干可知，所求切线的斜率为 1由 得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为 y0=1.(x 一 1)，即 y=x 一 1【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 一 2【试题解析】 本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线根据已知条件有=一 2f(1)=一 2【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 一 dx【试题解析】 等式
16、转换为：y=(1+sinx) x=exln(1+sinx)，于是【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 易知【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (一 1，一 6)【试题解析】 x=一 1 时，y”=0，在 x=一 1 左右两侧的微小邻域内，y”异号；x=0 时，y”不存在，在 x=0 左右微小邻域内，y”0其中 y(一 1)=一 6，故曲线的拐点为 (一 1，一 6)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得其中
17、y=y(x)是由方程 xy=ex+y 所确定的隐函数【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 一 3【试题解析】 在方程 xy+ey=x+1 两边对 x 求导，有 y+xy+yey=1，得对 y+xy+yey=1 再次求导，可得 2y+xy”+y”ey+(y)2ey=0，得当 x=0 时，y=0 ，y(0)=1，代入(*)得【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 由 可得，x=0，1列表讨论如下：因此,f(x)的单调增加区间为( 一 1，0)及(1，+)，单调减少区
18、间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=f(一 1)=0，极大值为 f(0)=【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 故 f(x)0，而 f(0)=0，所以有 f(x)0，即得故 f(x)0，因此仍有 f(x)f(0)=0，即得【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (1)令 F(x)=f(x)一 x，F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一 1=0， 则由罗尔定理知，存在 (0，1)使得 F()=0，即 f()=1 (2)令 G(x)=exf(x)一 1，由(1) 知，存在 (0，1)，使 G()=0，又因为 f
19、(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，知 G(一 )=0，则存在 (一 ，) (一 1，1)，使得 G()=0，即 e (f()一 1)+ef”()=0,f“()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 已知 P=60 一 ，因此 Q=1000(60 一 P).由 总成本 C(P)=60000+20Q=126000020000P， 总收益尺(P)=PQ= 一 1000P2+60000P， 总利润L(P)=R(P)一 C(P)=一 1000P2+80000P 一 1260000 (1)边际效益 L(P)=一2000P+80000 (2)当 P=50 时的边际利润为 L(50)=
20、一 2000 50+80000=一 2000，其经济意义为在 P=50 时，价格每提高 1 元，总利润减少 2000 元 (3)由于L(P)在(0，40)递增，在(40，+)递减，故当 P=40 时，总利润最大【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 (1)设 F(x)=f(x)一 1，x0 因为 =2，所以存在 X0，当 xX 时,f(x)1，不妨令 x0X，则 f(x0)1，所以 F(x0)0 又因为 F(0)=一10，根据零点存在性定理，存在 a(0，x 0) (0，+) ，使得 F(a)=0，即 f(a)=1 (2)函数在0，a上连续，在(0，a)内可导，由拉格朗日中值定理，存在
21、 (0，a) 使得【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 其中sinx tanx，上式的前一项来自拉格朗日中值定理所以原式等于 6【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(0)=0，为证明 f(x)存在，则由导数的定义所以对任意x,f(x)都存在，且 f(x)=f(x)+aex 解此一阶线性方程，得 f(x)=edxaexe-dxdx+C=ex(ax+C)，又因 f(0)=0，得 C=0，所以 f(x)=axex【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 (1)当一 2x0，即 0x+22 时，则 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2一 4=kx(x+2)(x+4)， 所以 f(x)在一 2，0)上的表达式为 f(x)=kx(x+2)(x+4) (2)由题设知 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 先作变量替换并转化为 型未定式，然后用洛必达法则【知识模块】 一元函数微分学
