1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 可导函数 f(x)，对任意的 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(0)=1，则 f(x)等于( )（A）x+cosx（B） shx（C） ex（D）1e -x2 设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)在( 一，+)可导，x 00，(x 0,f(x0)是 y=f(x)的拐点，则( )（A）x 0 必是 f(x)的驻点（B） (一 x0，一 f(x0)必是 y=一
2、 f(一 x)的拐点（C） (一 x0，一 f(一 x0)必是 y=一 f(x)的拐点（D）对任意的 xx 0 与 xx 0，y=f(x)的凸凹性相反4 设函数 f(x)=|x3 一 1|(x)，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件5 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，则下述命题中正确的是( )（A）若 f(x)在(一，+) 上可导且单调增加，则对一切 x(一，+)，都有 f(x)0（B）若 f(x)在点 x0 处取得极值，则 f(x0)=0（C）若 f
3、”(x0)=0，则(x 0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点坐标（D）若 f(x0)=0,f”(x0)=0,f“(x0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点6 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， 则在点 x=0 处f(x)( )（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值7 设0， 4区间上 y=f(x)的导函数的图形如图 2 一 1 所示，则 f(x)( )（A）在0 ，2 单调上升且为凸的，在 2，4 单调下降且为凹的（B）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凹的，2，4是凸的（C）在 0，1，3 ，4
4、单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的8 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件9 函数 y=f(x)在(一，+)连续，其二阶导函数的图形如图 22 所示，则 y=f(x)的拐点的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， 则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(
5、0)是 f(x)的极小值（C） (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点11 设函数 f(x)满足关系式 f”(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点12 设 f(x)= ，则( )（A）f(x)在1，+)单调增加（B） f(x)在1，+)单调减少（C） f(x)在1，+)为常数 （D）f(x)在1，+)为常数
6、 0二、填空题13 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 确定的，则 y=y(x)的极值点是_14 设有界函数 f(x)在(c，+) 内可导，且 ，则 b=_15 函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_16 已知 y=lnlnlnx，则 y=_17 设 f(x)=3x2+Ax-3(x0)，A 为正常数，则 A 至少为 _时，有 f(x)20(x0) 18 函数 f(x)=|4x3 一 18x2+27|在区间0，2上的最小值为_，最大值为_19 20 21 设函数 f(x)= 则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤。22 设 g(x)= 其中 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=1 (1)a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续； (2)a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导23 设24 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：必存在， (a，b)使得 e-f()+f()=125 设函数 f(x)满足 f(1)=0,f(1)=2求极限26 设 f(x)为 一 a，a 上的连续偶函数且 f(x)0，令 F(x)=-aa|x 一 t|f(t)dt (1)证明 F(x)单调增加； (2) 当 x 取何值时， F(x)取最小值；
8、(3)当 F(x)的最小值为 f(a)一 a2 一1 时，求函数 f(x)27 证明函数恒等式，arctanx= x(一 1，1)28 设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件 |f(x)|a，|f”(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c 是(0，1)内任意一点证明|f(c)|29 设函数 f(x)在 x=0 处二阶可导，且满足 求 f(0),f(0)与 f”(0)30 设 f(x)在( 一 1，1)内具有二阶连续导数且 f”(x)0证明： (1)对于任意的 x(一1，0)(0，1)，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立；考研数学三（一元函数微分学
9、）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 在等式 f(x+y)=f(x)f(y)两端对 y 求导，得 f(x+y)=f(x)f(y)，令 y=0 得,f(x) =f(x)由此可得 f(x)=Cex由 f(0)=1 知，C=1，即 f(x)=ex【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x2|x|在 x=0 处的最高阶导数的存在性事实上，由 f(x)= ，可立即看出,f(x)在 x=0 处的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选 C【知识模块】 一
10、元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 从几何上分析，y=f(x)与 y=一 f(一 x)的图形关于原点对称x 00，(x 0,f(x0)是 y=f(x)的拐点那么(一 x0，一 f(一 x0)是 y=一 f(一 x)的拐点故选 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由于 由函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件为 f-(1)=f+(1)，可得一 3(1)=3(1)，即(1)=0，故选 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 若在(一，+)上 f(x)0，则一定有 f(x)在(一 ，+) 上单调增加，但可导函数 f(x)在(一，+
11、) 上单调增加，可能有 f(x)0例如 f(x)=x3 在(一，+)上单调增加，f(0)=0 故不选 A f(x) 若在 x0 处取得极值，且 f(x0)存在，则有 f(x0)=0，但当 f(x)在 x0 处取得极值，在 x0 处不可导，就得不到 f(x0)=0，例如 f(x)=|x|在 x0=0 处取得极小值，它在 x0=0 处不可导，故不选 B 如果 f(x)在 x0处二阶导数存在，且(x 0,f(x0)是曲线的拐点坐标，则 f”(x0)=0，反之不一定，例如f(x)=x4 在 x0=0 处,f”(0)=0，但 f(x)在(一 ，+)没有拐点，故不选 C由此选 D【知识模块】 一元函数微分
12、学6 【正确答案】 D【试题解析】 因当 x0 时， ，故极限条件等价于从而可取 f(x)=x2，显然满足题设条件而 f(x)=x2 在 x=0 处取得极小值，故选 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(0， 1)或(3，4)时,f(x) 0，那么 f(x)在0 ，1，3，4单调下降当 x(1，3)时 f(x)0，那么 f(x)在1，3单调上升又 f(x)在0，2 单调上升，那么 f(x)在0，2 是凹的f(x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4是凸的故选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 令 (x)=f(x)|sinx|，
13、显然 (0)=0由于而由 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件是 +(0)与 -(0)都存在且相等可知，若 f(0)=0，则必有 +(0)=-(0)；若 +(0)=-(0)，即有 f(0)=一 f(0)，从而 f(0)=0因此f(0)=0 是 (x)在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F(x)在 x=0 处可导的充分必要条件故选 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 只须考查 f”(x)=0 的点与 f”(x)不存在的点 f”(x 1)=f”(x4)=0，且在x=x1， x4 两侧 f”(x)变号，故凹凸性相反，则 (x1,f(x1)，(x 4，f(x 4)是
14、y=f(x)的拐点 x=0 处 f”(0)不存在，但 f(x)在 x=0 连续，且在 x=0 两侧 f”(x)变号，由此(0,f(0)也是 y=f(x)的拐点 虽然 f”(x3)=0，但在 x=x3 两侧 f”(x)0，y=f(x)是凹的(x 3，f(x 3)不是 y=f(x)的拐点因此总共有三个拐点故选 C【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 根据极限的保号性，由 可知，存在 x=0 的某邻域U(0)，使对任意 xU(0)，都有 即 f”(x)0从而函数 f(x)在该邻域内单调增加 于是当 x0 时，有 f(x)f(0)=0；当 x0 时，f(x)f(0)=0，由极
15、值的第一判定定理可知f(x)在 x=0 处取得极小值故选 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 在题设等式两端对 x 求导，得f“(x)+2f(x)f”(x)=1令 x=0 可得 f“(0)=1(因由上式可推得 f“(x)连续) 又 f”(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0 ，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点故选 C【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 按选项要求，先求 f(x)又 f(x)在1，+)连续，则 f(x)=常数=f(1)= 故选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x
16、 求导，可得 y(3y 2 一 2y+x) =xy (*) 令 y=0，有x=y，代入 2y3 一 2y2+2xyx2=1 中，可得 (x 一 1)(2x2+x+1) =0 那么 x=1 是唯一的驻点 下面判断 x=1 是否极值点： 对(*)求导得 y”(3y2 一 2y+x)+y(3y2 一 2y+x)x=1 一 y把 x=y=1，y(1)=0 代入上式，得 y”(1)= 故 y(x)只有极值点为x=1，它是极小值点【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 0【试题解析】 因 f(x)在(c，+)可导，则 f(x)在(c，+)内有界，故又因 所以 b=0【知识模块】 一元函数微分学15
17、 【正确答案】 一 2n(n 一 1)!【试题解析】 将 ln(1+t)按照泰勒展开式展开成级数的形式令 t=一 2x 代入第 n 项可得比较系数可得 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数为 y(n)(0)=一 2n(n 一 1)!(n=1，2，3，)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 64【试题解析】 要使 f(x)20，只需 3x5+A20x3，即 20x3 一 3x5A(x0) 设 g(x)=20x3 一 3x5，则 A 至少是 g(x)在(0，+) 内的最大值 由于所以 x=2 是 g(x)在(0，+)
18、 的最大值点，故 A 至少为 g(2)=64【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 (x)=4x3 一 18x2+27，则所以 (x)在0，2 单调递减，(0)=27，(2)=一 13，利用介值定理，则存在唯一 x0(0，2)，(x 0)=0且 f(0)=27,f(x0)=0,f(2)=13 因此 ,f(x)在0，2上的最小值为 0，最大值为 27【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则，则有【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 2【试题解析】 运用洛必达法则，【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题
19、解析】 当 x0 时，当 x=0 时，【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (1)故 b=一 1，a 为任意实数时， g(x)在 x=0 处连续 (2)若要 g(x)在 x=0 处可导，则必须g(x)在 x=0 处连续 (b=一 1)，且 g-(0)=g+(0)，所以【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 F(x)=exf(x)，由已知 f(x)及 ex 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ，(a ，b)，使得 F(b)一 F(a)=e
20、b(b)一 eaf(a) =F()(b 一 a) =ef()+f()(b 一 a) 及 e b 一 ea=e(b 一 a) 将以上两式相比，且由 f(a)=f(b)=1，则有 e -f()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 (1) F(x)= -aa|x 一 t|f(t)dt=-ax(x 一 t)f(t)dt+xa(t 一 x)f(t)dt =x-axf(t)dt-axtf(t)dt+xatf(t)dt 一 xxaf(t)dt =x-axf(t)dt-axtf(t)dtaxtf(t)dt+xaxf(t)dt， F(x)=
21、-axf(t)dt+xf(x)一 xf(x)-xf(x)+axf(t)dt+xf(x) =-axf(t)dtxaf(t)dt 所以 F”(x)=2f(x)0，因此F(x)为单调增加的函数 (2)因为 F(0)=-a0f(x)dx 一 0af(x)dx，且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0,又因为 F”(0) 0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也为最小值点 (3)由 20atf(t)dt=f(a)一 a21，两边求导得 2af(a)=f(a)一 2a， 于是 f(x) 一 2xf(x)=2x， 解得 f(x)=2xe -2xdxdx+Ce-2xdx= 在 20atf(t)dt=f
22、(a)一 a21 中令 a=0得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)=【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，g(x)= 要证 f(x)=g(x)在 x(一1，1)时成立，只需证明： (1)f(x)，g(x)在(一 1，1)内可导，且当 x(一 1，1) 时,f(x)=g(x)； (2)存在 x0(一 1，1)，使得 f(x0)=g(x0) 由初等函数的性质知,f(x)与g(x)都在(一 1，1)内可导，且容易计算得到即当x(一 1，1)时,f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)，即原等式成立【知
23、识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 对 f(x)在 x=c 处应用泰勒公式展开，可得其中=c+(xc)，01 在(*)式中令 x=0，则有【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由题设可知【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)由拉格朗日中值定理，对任意 x(1，一 1)，x0，存在(0，1) 使 f(x)=f(0)+xf(x)，( 与 x 有关) 又由 f“(x)连续且 f”(x)0，故 f”(x)在(1，一 1)不变号，所以 f(x)在(1，一 1)严格单调， 唯一 (2)由(1)中的式子，则有 由上式可得 的表达式，并令 x0 取极限得【知识模块】 一元函数微分学
