1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)是定义在( 1，1)内的奇函数，且 =a0，则 f(x)在 x=0 处的导数为 ( )（A）a（B） a（C） 0（D）不存在2 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x 同阶但非等
2、价的无穷小（B）与 x 等价的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比x 低阶的无穷小4 已知函数 f(x)=lnx1，则 ( )5 函数 y= +6x+1 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是( )（A）(1，0)（B） ( ，0)（C） (1，0)（D）( ，0)6 函数 f(x)= 在 x= 处的 ( )7 设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则 f(n)(x)= ( )（A）nf(x) n+1（B） n！f(x) n+1（C） (n+1)f(x)n+1（D）(n+1) ！ f(x)n+18 函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f(0)=0 ，当
3、 x0 时，f(x)0，f(x) 则它的图形是 ( )二、填空题9 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_10 设函数 f(x)= 且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)=_11 曲线 y=x+ 的凹区间是_12 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过( 2，44)，x=2 为驻点，(1，10)为拐点，则a，b，c，d 的值分别为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)=x3+4x23x1，试讨论方程 f(x)=0 在(，0)内的实根情况14 求 的反函数的导数15 设 ，a，
4、b，c 是三个互不相等的数，求 y(n)16 设函数 f(y)的反函数 f 1(x)及 ff1 (x)与 ff 1(x)都存在，且 f1 f1 (x)0证明：17 求函数 y= 的导数18 设 y= ，求 y19 设 y=y(x)是由 siny= +1 确定的隐函数，求 y(0)和 y(0)的值20 设 y=f(1nx)ef(x)，其中 f 可微，计算 21 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，计算 f(n)(2)22 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n，0)，计算 23 曲线 y= 的切线与 x 轴和 y
5、轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?24 设 (x)= ，又 f(x)在点 x=0 处可导，求 F(x)=f(x)的导数25 证明：不等式 1+xln(x+ )，x+ 26 讨论方程 2x39x 2+12xa=0 实根的情况27 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况28 设 fn(x)=x+x2+xn，n=2，3，(1) 证明：方程 fn(x)=1 在0，+)有唯一实根xn；(2)求 考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
6、案】 A【试题解析】 由于 f(x)为( 1，1)内的奇函数，则 f(0)=0于是故f (0)=f+(0)=a，得 f(0)=a，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 =f(0)=0，f(x)在 x=0 点连续由于所以 f (0)=0又故 f+(0)=0，从而 f(0)存在，且(0)=0，应选 (D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，而 dy x=x0=f(x0)x=x，因而 =1，即dy 与x 是等价无穷小，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝对值函数写
7、成分段函数， 当x1 时，f(x)= ；当 x1 时，f(x)= 即得(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以 f(0)=6故过(0，1)的切线方程为y1=6x ，因此与 x 轴的交点为( ，0)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为：因此 f(x)在 x= 处不可导，但有 f+()=【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=f(x)2 得 f(x)=f(x)=(f(x) 2=2f(x)f(x)=2f(x)3， 这样n=1，2 时f (n)(
8、x)=n！f(x) n+1 成立假设 n=k 时，f (k)(x)=k！f(x) k+1 则当n=k+1 时，有 f(k+1)(x)=k！(f(x) k+1=(k+1)！f(x) kf(x)=(k+1)！f(x) k+2， 由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在
9、一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则， =b，由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 y= 当 x0 时， y0，曲线是凹的；当 x0时，y0，曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 1，3，24，16【试题解析】 由条件 解方程可得a=1，b=3，c=24，d=16【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明
10、、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 f(5)= 110，f(1)=50，f(0)=10，所以 f(x)在5， 1及 1，0上满足零点定理的条件，故存在 1(5，1)及 2(1，0)，使得 f(1)=f(2)=0，所以方程 f(x)=0 在(，0)内存在两个不等的实根又因为f(1)=10，同样 f(x)在0 ， 1上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点 3，使得 f(3)=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程 f(x)=0在( ，0) 内只有两个不等的实根【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 先求 yx，令 u= ，所以 y=【知识模块
11、】 一元函数微分学15 【正确答案】 运用高阶导数公式，得：【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 设 x=f(y)则其反函数为 y=f1 (x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得，0= +1，故 y(0)=e2将方程两边对 x求导数，得 cos(xy)(y+xy)= 将 x=0，y(0)=e 2 代入，有e2= ，即 y(0)=ee 4将式两边再对 x 求导数，得sin(xy)(y+xy)2+cos(xy)(2y
12、+xy)= 将 x=0，y(0)=e 2 和 y(0)=ee 4 代入，有 2(ee 4)= 故 y(0)=e3(3e34)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 =f(1nx)ef(x)+f(1nx)ef(x)=f(lnx) ef(x)+f(lnx)ef(x)f(x)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边求导数得 f(x)=e f(x)f(x)=e2f(x)， 两边再求导数得 f(x)=e2f(x)2f(x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f (4)(x)=2e3f(x)3f(x)=3！e 4f(x)， 由以上规律可得 n 阶导数 f (n)
13、(x)=(n1)！e nf(x)， 所以 f(n)(2)=(n1)！e n【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率 k=f(1)=nxn1 x=1=n，所以切线方程为 y=1+n(x1)，令 y=1+n(x1)=0 解得 xn=1 ，因此【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 先求曲线 处的切线方程所以切线斜率 k= ，切线方程为切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0)，B(0， )，于是AOB 的面积为 当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时，有 =+；当切点沿 Y 轴正向趋于无穷远时，有 =0【知识
14、模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 F(x)=f(x)= 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，(0)=0，(0)= =0又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F(0)=f(0)(0)=0所以 F(x)=【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设 f(x)=1+xln(x+ ，则 f(x)=令 f(x)=0，得驻点为 x=0，由于 f(x)= 0，知 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(，+) ，有 f(x)0，即有 1+xln(x+，x+【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答
15、案】 令 f(x)=2x39x 2+12xa，讨论方程 2x39x 2+12xa=0 实根的情况，即讨论函数 f(x)零点的情况显然， ，所以，应求函数 f(x)=2x39x 2+12xa 的极值，并讨论极值的符号由 f(x)=6x2 18x+12=6(x1)(x2)得驻点为 x1=1，x 2=2，又 f(x)=12x18，f(1)0，f(2) 0，得 x1=1 为极大值点，极大值为 f(1)=5a；x 2=2 为极小值点，极小值为 f(2)=4a 当极大值 f(1)=5a0，极小值 f(2)=4a0，即 4a 5 时，f(x)=2x39x 2+12xa 有三个不同的零点，即方程 2x39x
16、2+12xa=0 有三个不同的实根当极大值 f(1)=5a=0 或极小值 f(2)=4a=0，即 a=5 或 a=4 时，f(x)=2x3 9x2+12xa 有两个不同的零点，即方程 2x39x 2+12xa=0 有两个不同的实根当极大值 f(1)=5a0 或极小值 f(2)=4a0，即 a5 或 a4 时，f(x)=2x3 9x2+12xa 有一个零点，即方程 2x39x 2+12xa=0 有一个实根【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x)=axex+b，因为 ，求函数 f(x)=axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值f(x)=ae x+axex=aex(
17、1+x)，驻点为 x= 1，f(x)=2ae x+axex=aex(2+x)，f(1)0，所以，x=1 是函数的极小值点，极小值为 f(1)=b 当 b (0)时，函数 f(x)无零点，即方程无实根；当 b= (0)时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根；当 0b 时，函数 f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；当 b0 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 (1)f n(x)连续，且 fn(0)=0，f n(1)=n1，由介值定理， xn(0，1)，使 fn(xn)=1，n=2 ，3，又 x0 时，f n(x)=1+
18、2x+nxn1 0，故 fn(x)严格单增，因此 xn 是 fn(x)=1 在0，+)内的唯一实根(2) 由(1)可得，x n(0，1)，n=2，3 ，所以 xn有界又因为 fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，所以xn+xn2+xnn=xn+1+xn+12+xn+1n+xn+1n+1，即(x n+xn2+xnn)(x n+1+xn+12+xn+1n)=xn+1n+10，因此 xnx n+1，n=2，3，即x n严格单调减少于是由单调有界准则知 存在，记 =A，由 xn+xn2+xnn=1 得 =1因为0x nx 21，所以 =0，于是 =1，解得 A= 【知识模块】 一元函数微分学
