1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y= 的渐近线有( )（A）l 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 设 f(x)= ，其中 g(x)为有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，y=f(x+ x)一 f(x)，其中 x0，则( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy04 设 f(x)= 则在 x=1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但
2、不可导（C）可导但不是连续可导（D）连续可导5 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=1（C） a=2，b=1（D）a= 一 2，b=一 16 设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)=( )7 设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(O，a)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、填空题8 设 y=x5+5x 一 tan(x
3、2+1)，则 y=_9 设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则 =_10 设 f(x)在 x=a 处可导，则 =_11 设 f(x)二阶连续可导，且=_。12 设 (x)=(x2 一 t)f(t)dt，其中 f 连续，则 “(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求下列函数的一阶导数：13 y=14 y=15 y=x(sinx)cosx16 设 y= ，且 f(x)= ，求 y17 设函数 y=y(x)由 2xy=x+y 确定，求 dy|x=018 设 y=x2lnx，求 y(n)19 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)0
4、，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求20 举例说明函数可导不一定连续可导21 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x21)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性22 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x) 0，试证明存在 (a，b)使23 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=024 设 f(x)在a，b上满足|f“(x)|2 ，且 f(x)在(a，
5、b)内取到最小值证明：|f(a)I+|f(b)|2(b 一 a)25 求 y=0x(1 一 t)arctantdt 的极值26 证明：27 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 28 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在，(1 ，2)，使得29 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(x)1，证明：2x 一|f(t)dt=1 在(0，1)有且仅有一个根30 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 22 答案与解析一、
6、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 (x2+x+1)=3=f(1)，所以f(x)在 x=1 处连续因为 =3，所以 f(x)在 x=1 处可导当 x1 时，f(x)=2x+1，因为 limf(x)=3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续可导，选(D) 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由 y 一 x2+ax+b 得 y=2x+a，2y=xy
7、3 一 1 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 y= 因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以应选(B)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=f(lnx)(lnx)一 ，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0)= 所以由极限的保号性，存在0，当 0 |x| 时， 0，当 x(一 ，0)时，f(x) f(0)；当 x(0，) 时，f(x)f(0)，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 5x 4+5xln5 一 2xsec2(x2+1)【试题解析】 y=5x 4+5xln5
8、一 2xsec2(x2+1)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 10f(a)f(a)【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是=2f(a)5f(a)=10f(a)f(a)【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 由 =1 得 f(0)=0，f(0)=1，于是【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 f(t)dt+4x2f(x2)【试题解析】 (x)=x 2 (x)=2x f(t)dt+2x3f(x2)一2x3f(x2)= “(x)= f(t)dt+4x
9、2f(x2)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 lny=1nx+cosxlnsinx，两边对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 ，对 2xy=x+y 两边关于 x 求导，得 2xyln2将 x=0，y=1 代入得 |x=0=1n2 一 1，故 dy|x=0=(ln2 一 1)dx【知识模块】 一元函数微分学18 【正
10、确答案】 y (n)=Cn2x2(lnx)(n)+Cn22x(lnx) (n 一 1)+Cn22(lnx) n 一 2【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y 一 f(x)=f(x)(X 一 x)，令Y=0，则 U(x)=X=x 一 则【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 当 x0 时，f(x)=，当 x=0 时，f(0)= 即因为 不存在，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，但 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 当 x一 1，0 时，f(x)= (x+1)(x2+2
11、x)，因为 f(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x)xbf(t)dt，(x)在区间a，b上连续，在区间(a ，b)内可导，且 (x)=f(x)xbg(t)dt 一 f(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)xaf(t)df=f(x)xbg(t)dt+g(x)xaf(t)dt，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即f()bg(x)dt+g()af(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a ，b) 内必有 g(x)0，从而就有 g(
12、t)dt0，于是有【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 存在 使得因为 f(0)=f(1)，所以 f()=一f()，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)=0由微分中值定理得其中 (a，c)，(c ，b) ，两式取绝对值得两式相加得|f(a)|+|f(b)|2(b 一 a)【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 y=(1 一 x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y“=一 arctanx+因为 y“(0)=1
13、0 ，y“(1)= 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)=01(1 一 t)arctantdt=01arctantdt 一 01tarctantdt【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 ，f(0)=0 则 x=0 为 f(x)的最小值点，而最小值为 f(0)=0，故 f(x)0，即 1+【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 (x)=(b 一 x)af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，由 (x)=(b 一x)a 一 1(b 一
14、x)f(x)一 af(x)得(b 一 )a 一 1(b 一 )f()一 af()且(b 一 )a 一 10，故 f()=【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 F(x)=1nx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 ln2 一 ln1= ，其中 (1，2)，f(2)一 f(1)=f()(21)=f()，其中 (1，2) ，故【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令(x)=2x 一 01f(t)dt 一 1，(0)=一 1，(1)=1 一 01f(t)dt， 因为f(x)1，所以 01f(t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得(c)=0 因为 (x)=2 一 f(x)0，所以 (x)在0 ，1上单调增加，故方程 2x 一0xf(t)dt=1 有且仅有一个根【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 f(x)=arctanx 一 ax，由 f(x)=由 f“(x)=为 f(x)的最大点，由 =一，f(0)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+) 内有且仅有唯一实根，位于内【知识模块】 一元函数微分学
