1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=x23x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（A）|k|1（B） |k|1（C） |k|2（D）k22 设 f(x)连续，且 =一 2，则( )（A）f(x)在 x=0 处不可导（B） f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值3 设 f“(x)连续，f(0)=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f
2、(x)的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点4 若 f(一 x)=一 f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f(x) 0，则在( 一 ，0)内( ) （A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x)05 设 f(x)在( 一，+)上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B）一 x0 为一 f(一 x)的极小值点（C）一 x0 为一 f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)6 当 x0，1时，f“(x)0，则 f(0)，f(1)
3、，f(1) 一 f(0)的大小次序为( )（A）f(0)f(1)一 f(0)f(1)（B） f(0)f(1)f(1)一 f(0)（C） f(o)f(1)f(1)一 f(0)（D）f(0)f(1)一 f(0)f(1)二、填空题7 则 y=_8 设函数 y=y(x)由 e2x+y 一 cosxy=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 处的法线方程为_9 设 f(x)= 可导，则 a=_，b=_10 设 f(u)可导，y=f(x 2)在 x0=一 1 处取得增量x=005 时，函数增量 y 的线性部分为 015，则 f(1)=_。11 设 f(x)连续，则 0xtf(x 一 t)dt=_
4、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f(0)13 设 y=y(x)由 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，求14 设(x)= ，求 (n)(x)15 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明：15 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有|f(x)一 f(y)|M|x一 y|k16 证明：当 k0 时，f(x)在a ，b上连续；17 证明：当 k1 时，f(x)=常数18 设 f(x)= 求 f(x)并讨论其连续性19 设 f(x)= 求 f(x)20 设 f(x)在a，
5、b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得21 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)证明：存在 ， (a，b)，使得22 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(o)=f(1)，又|f“(x)|M，证明：|f(x)| 23 设 PQ 为抛物线 y= 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值24 求 f(x)=01|x 一 t|dt 在0，1上的最大值、最小值25 证明：当 x1 时，26 求曲线 y= 的上凸区间27 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f()=一 f()cot27 设
6、 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又存在，证明：28 存在 (1，2)，使得29 存在 (1，2)，使得 12(t)dt=( 一 1)f()ln2考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由 =1 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时， 0，从而 f“(x)0，于是 f(x)在(一 ，)内单调增加，再由
7、f(0)=0，得当 x(一 ，0)时，f(x)0，当 x(0，) 时，f(x)0，x=0 为 f(x)的极小值点，选 (B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(一，0)内有 f(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(一 ，0)内 f(x)0，选(C)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x0，为f(一 x)的极大值点，从而一 x0 为一 f(一 x)的极小值点，选(B) 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】
8、 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c1)，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f(c) f(1) ，即 f(0)f(1)一 f(0)f(1) ，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 cotxsec 2x 一【试题解析】 y=1ntanx 一 ln(x2+1)y=cotxsec 2x 一【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 x+1【试题解析】 当 x=0 时，y=1对 e2x+ycosxy=e 一 1 两边关于 x 求导得 e2x+y(2+)+sin(xy)(y+ )=0，将 x=0，y=1 代入得
9、=一 2故所求法线方程为y 一 1= (x 一 0)，即 y= x+1【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 3；一 2【试题解析】 f(1 一 0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为 f(x)在 x=1 处连续，所以a+b=1又因为且 f(x)在 x=1 处可导，所以 a=3故 a=3，b= 一 2【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由 dy=2xf(x2)x 得 dy|x=1=一 2f(l)005= 一 01f(1) ，因为y 的线性部分为 dy，由一 0 1f(1)=015 得 f(1)=【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 f(x)【试
10、题解析】 0xtf(x 一 t)dt 0x(x 一 u)f(u)(一 du)=0x(x 一 u)f(u)du=x0xf(u)du一 0xuf(u)du，于是 tf(x 一 t)dt=0xf(u)du，故 0xtf(x 一 t)dt=f(x)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 f(0)= (x+2)(x+100)=1001【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 x=0 代入 ln(x2+y)=x3y+sinx 得 y=1，对 ln(x2+y)=x3y+sinx 两边关于 x 求导，得 =3x2y+x3y+cosx，将 x=0，
11、 y=1 代入得 |x=0=1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令由A(2x+1)+B(x 一 2)=4x 一 3 得 ，解得 A=1，B=2，【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 对任意的 x0a，b，由已知条件得 0|f(x)一 f(x0)|M|x 一 x0|k，=f(x0)，再由 x0 的任意性得 f(x)在a ， b上连续【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 对任意的 x0a，b，因为 k1，所以0 M|x 一 x0|k 一 1，由夹逼定理得 f(x0)=0，因为 x0 是任意
12、一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 当 x0 时，f(x)= 当 x0 时，f(x)=cosx，由 f一 (0)=1，f +(0)= =1，得 f(0)=1，则容易验证 =1=f(0)，所以 f(x)连续【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 当|x|1 时，f(x)= 当 x一 1 时，f(x)=一 1；当x1 时，f(x)=1；又=0，则f(x)在 x=一 1 处不连续，故也不可导，由 f(1+0)=f(10)=f(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续因为所以 f(x)在 x=1 处也不可导，故【知识模块】 一元函数微分学20
13、 【正确答案】 由 一f(x)lnx+f(x)lna=0，或f(b)lnx 一 f(x)lnr+f(x)lna=0，辅助函数为 (x)=f(b)lnx 一 f(x)lnr+f(x)lna令 (x)=f(b)lnx 一 f(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=f(b)lna，由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0而 (x)= 一 f(x)Inx+f(x)lna，所以 f(b)一 f()一 f()(ln 一 lna)=0，即 =f()【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 F(x)=x2，F(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得再由微分中值定理
14、，存在 (a，b)，使得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f(x)0 一 x)+ (0 一 x)2，(0，x)，f(1)=f(x)+f(x)(1 一 x)+ (1 一 x)2，(x，1)，两式相减得 f(x)= f“()x2 一f“()(1 一 x)2，取绝对值得|f(x)| c2+(1 一 x)2，因为 x2x，(1 一 x)21 一 x，所以 x2+(1 一 x)21，故|f(x)|【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 因为 y= 关于 y 轴对称，不妨设 a0y(a)= 过 P点的法线方程为 设 因为 Q 在法线上，所以PQ
15、的长度的平方为 L(a)=(b 一 a)2+(b2 一 a2)=4a2(1+ )3，由 L(a)= 为唯一驻点，从而为最小点，故 PQ 的最小距离为【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 f(x)= 01|x 一 t|dt=01(x 一 t)dt+01(t 一 x)dt=x2 一 一 x(1一 x)=x2 一 x+ 由 f(x)=2x 一 1=0 得 x= 因为 f(0)=所以 f(x)在0 ，1上的最大值为 ，最小值为【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)一xlnx0令 f(x)=(1+x)ln(l+x)一 xlnx，f(1)=
16、2ln2 0，因为 f(x)=1n(1+x)+1 一 lnx一 1=1n(1+ )0(x1) ，所以 f(x)在1，+) 上单调增加，再由 f(1)=2ln20 得当x1 时，f(x)0，即【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由有y“ 0 得 (x 一 3)210，解得 2x4，故曲线 y= 的上凸区间为(2，4)【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx，则 (0)=()=0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=一 f()cot【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 h(x)=1nx，F(x)= 1xf(t)dt，且 F(x)=f(x)0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由 得 f(1)=0，由拉格朗日中值定理得 f()=f()一f(1)=f()( 一 1)，其中 1 ，故 12f(t)dt=( 一 1)f()ln2【知识模块】 一元函数微分学
