1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =一 1，则在 x=a 处( )（A）f(x)在 x=a 处可导且 f(a)0（B） f(a)为 f(x)的极大值（C） f(a)不是 f(x)的极值（D）f(x)在 x=a 处不可导2 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，且 =一 1，则( ) （A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3 设 f(x)可导，则当x0
2、 时，y 一 dy 是 x 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小4 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 =1，则下列正确的是( )（A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点5 设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（A）a=1 ，b=2（B） a=一 1，b=一 2（C） a=0，b=一 3（D）a=0 ，b=36 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x
3、)0，则当axb 时，有 ( )（A）f(x)g(6) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)二、填空题7 y= ，则 y=_8 设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 ，则曲线y=f(x)在(一 3，f( 一 3)处的切线为_9 设 f(x)= 且 f(0)存在，则a=_，b=_，c=_。10 设 f(x)= ，则 f(n)(x)=_。11 曲线 y= 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)=|x 一 a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f(a
4、)的存在性13 设 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，求 y“(0)14 设 y=y(x)由 x 一 1x+yet2dt=0 确定，求15 设 f(x)连续，且对任意的 x，y (一 ，+) 有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2x 一 y，f(0)=1，求 f(x)16 设 f(x)连续，且 g(x)=0xx2f(x 一 t)dt，求 g(x)16 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)=17 求 g(x)；18 讨论 g(x)在 x=0 处的连续性19 设 f(x)= 验证 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理的条件，求(0，2) 内使得 f(2)一
5、f(0)=2f()成立的 20 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0f(t)dt+( 一 1)f()=021 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0， f()022 证明：当 x0 时，x 2(1+x)ln 2(1+x)23 证明：对任意的 x，yR 且 xy，有 24 设 k0讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点25 证明：当 0x1，证明：26 求 y=f(x)= 的渐近线考研数学三（一元函数微分学）模
6、拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=dy+0(x)，所以y 一 dy是x 的高阶无穷小，选(A)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 =1 得 f(0)=0，由 1=f“(0)得 x 一 0 为极小点，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一
7、 2，所以解得 a=0，b= 一 3，选(C) 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0 得0，从而 为单调减函数，由 axb 得 故 f(x)g(b)f(b)g(x)，应选(A) 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 lny=sin 2(2x+1)lnx，【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 一 2x 一 4【试题解析】 由 得 f(1)=2，再由得 f(1)=一 2，又 f(一 3)=f(一 4+1)=f(1)一 2，f(一 3)=f(一 4+1)=f(1)=一 2，故曲线 y=f(x)
8、在点(一 3，f(一 3)处的切线为 y 一 2=一 2(x+3)，即 y=一 2x 一 4【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 一 2【试题解析】 f(0+0)= =a，f(0)=2，f(0 一 0)=c，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0 一 0)，从而 a=2，c=2，即因为 f(x)在 x=0 处可导，即 f+(0)=f(0)，故 b=一 2【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 令解得A=3， B=一 2【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 x【试题解析】 由=0，得曲线 y一 x+ 的斜渐近线为 y=x【知
9、识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由 =一 g(a)得 f(a)=一 g(a)；由=g(a)得 f+(a)=g(a)，当 g(a)=0 时，由 f一 (a)=f+(a)=0 得 f(x)在 x=a 处可导且 f(a)=0；当 g(a)0 时，由 f一 (a)f+(a)得 f(x)在 x=a 处不可导【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 将 x=0 代入得 y=0，e y+6xy+x2 一 1=0 两边对 x 求导得将 x=0，y=0 代入得 y(0)=0两边再对 x 求导得将 x=0，y=0，y(0)=0 代入得y(0)=一
10、 2【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 x=0 时，y=1 对 x 一 1x+y+ye 一 t2dt=0 两边关于 x 求导得将 x=0，y=1 ，代入得 |x=0=e 一 1【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0对任意的 x(一，+) ，则 f(x)=x2+x+C，因为 f(0)=0，所以 C=0，故 f(x)=x+x2【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 g(x)=一 x20xf(x 一 t)d(x 一 t)一一 x20xf(u)du=x20xf(u)du， g(x)=2x0xf(u)du+x2f(
11、x)【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因为 =f(0)=g(0)，所以 g(x)在 x=0 处连续当 x0 时，g(x)= 当 x=0 时，由【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为所以 g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由 f(1 一 0)=f(1)=f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续得 f(x)在 x=1 处可导且 f(1)=一 1，从而 f(x)在(0， 2)内可导，故 f(x)在02上满足拉格朗日中值定理的条件f(2)一 f(0)= =一 1当 x(
12、0，1)时，f(x)=一x；当 x1 时，f(x)= 即 当 01 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得一 1=一 2，解得 = 当 12 时，由 f(2)一 f(0)一 2f()得一 1= 解得 =【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 (x)=x0xf(t)dt 一 0xf(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 而 (f)=f(t)dt+(x 一 1)f(x)，故 0f(t)dt+( 一 1)f()=0【试题解析】 由 0xf(t)dt+(x 一 1)f(x)=0，得 0xf(t)dt+xf(x)一 f(x)=0，从而 (x
13、0xf(t)dt一 0xf(t)dt)=0，辅助函数为 (x)=x0xf(t)dt 一 0xf(t)dt【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b) ，由微分中值定理，存在 (a，c)，(c， b)，使得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0;f(x)=2x 一 ln2(1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0;由得 f(x)0(x0)；由 得 f(x)0(x0)，
14、即 x2(1+x)ln 2(1+x)(x0)【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 f(t)=et，因为 f“(t)=et0，所以函数 f(t)=et 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 x，yR 且 xy，有【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 f(x)的定义域为(0 ，+)， 由f(x)一 lnx+1=0，得驻点为 x= 由 f“(x)= 0，得 x= 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点；(2)当 k=时，函数 f(x)在(0，+) 内有唯一零点 x= (3)当 0k 时，函数f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 与 内【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)1n(1+x)一 ，f(0)=0，f(x)=1n(1+x)+0(0x1) ，由 得当 0x1 时，f(x)0，故【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因为 =，所以 y=f(x)没有水平渐近线，由 =一得 x=0 为铅直渐近线，由 =得 x=2 为铅直渐近线，由=1，得 y=x+3 为斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学
