1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在|x| 内有定义且 |f(x)|x2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可微（C）可微且 f(0)=0（D）可微但 f(0)02 设 y=y(x)由 x 一 1x+ye 一 t2dt=0 确定，则 y“(0)等于( )（A）2e 2（B） 2e 一 2（C） e2 一 1（D）e 2 一 13 设函数 f(x)= 则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续4 设 f(x)在
2、x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( )5 设 f(x)=|x31|g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件6 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 =2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值二、填空题7 xy 一 yx，则 y=_8 设 f(x)为偶函数，且 f(一 1)=2，则=_9 设 f(x)在 x=2 处可导，且 =2，则 f(2)=_，f(2)=_。1
3、0 设 f(x)=1n(2x2 一 x 一 1)，则 f(n)(x)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 y= ，求 y12 设 y= ，求 y13 由方程 sinxy+ln(y 一 x)=x 确定函数 y=y(x)，求14 求 xf(x 一 t)dt15 设 f(x)= 讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性16 证明曲线 上任一点的切线的横截距与纵截距之和为 217 设 f(x)= 处处可导，确定常数 a，b，并求 f(x)18 设函数 f(x)在区间0， 3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1证明：存在 (0，3)，
4、使得 f()=019 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0，f(a) 0证明：存在 (a，b)，使得 f()=f()20 设 ba 0，证明：21 证明不等式：xarctanx (1+x2)22 证明：当 0x1 时，e 一 2x23 设 f(x)= ，讨论 f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线24 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得 f()一f()=f(2)一 2f(1)25 当 0x 时，证明： sinxx26 证明：当 x0 时，26 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0
5、)=02f(t)dt=f(2)+f(3)证明：27 1， 2(0， 3)，使得 f(1)=f(2)=028 存在 (0，3)，使得 f“()一 2 f()=029 设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数，考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 (A)2e 2(B)2e 一 2(C)e2 一 1(D)e 一 2 一 1 当 x=0 时，由 =0得 y=1，应选(A)【知识模块】 一
6、元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续；由=0，得 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0；当 x0 时，f(x)=3x 2sin当 x0 时，f(x)=2x，因为 =f(0)，所以 f(x)在 x=0 处导数连续，选 (D)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)=0，而 f(x)在x=0 处不可导，(A)不对；即 存在只能保证 f(x)在 x=0 处右可导，故(B)不对；因为于是 存在不能保证 f(x)在 x=0 处可导，故(D) 不对；，选(C)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案
7、】 C【试题解析】 设 g(1)=0，f(1)= (x2+x+1)g(x)=0，f+(1)= (x2+x+1)g(x)=0，因为 f一 (1)=f+(1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 x=1 处可导，f 一 (1)=(x 2+x+1)g(x)=一 3g(1)，f +(1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1)，因为 f一 (1)=f+(1)=0，所以g(1)=0，故 g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由 =2 得 f(0)=0，由极限保号性，存在 0，当0|x| 时， 0，从而 f(x)
8、0=f(0)，由极值的定义得 f(0)为极小值，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由 xy 一 yx，得 ylnx=xlny，两边求导数得 ylnx+解得 y=【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 一 8【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)=一 2，【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 2；8【试题解析】 因为 再由 f(x)在 x=2 处的连续性得 f(2)=0由f(2)=2，得 f(2)=8【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 (一 1)n 一 1(n 一 1)！【试题解析】 f
9、(x)=1n2x+1)(x 一 1=1n(2x+1)+ln(x 一 1)，f(x)=f(n)(x)= =(一 1)n 一 1(n 一 1)！【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 将 x=0 代入 sinxy+ln(y 一 x)=x 得 y=1，对 sinxy+ln(y 一 x)=x 两边关于 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得|x=0=1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 因为
10、 0|f(x)|=|x| =0=f(0)，故f(x)在 x=0 处连续，因为 f一 (0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 对 两边关于 x 求导得切线方程为 Y 一 y=令 Y=0 得 X=x+ 则X+Y=x+ =2【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0由 f(x)在 x=0处可导，得 a=2，所以【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1
11、)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2 ，使得 f(c)=1因为 f(x)在c ，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0， 0，令(P(x)=e 一 xf(x)，则(x)=e 一 xf(x)一 f(x)因为 (a)0， 0，(b)0，所以存在 1， 2 ，使得 (1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得 ()=0，即 e 一 f()一 f()=0，因为 e 一 0，所以 f()=f()【知识模块】
12、 一元函数微分学20 【正确答案】 等价于 b(lnb 一 lna)b 一 a，令 1(x)=x(lnx 一 lna)一(x 一 a)， 1(a)=0， 1(x)=1nx 一 lna0(xa)由 得1(x)0(xa)，而 ba，所以 1(b)0，从而 ln ，同理可证【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 f(x)=xarctanx 一 (1+x2)，f(0)=0 令 f(x)= +arctanx一 =arctanx=0，得 x=0，因为 f“(x)= 0，所以 x=0 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，而 f(0)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即 xarctanx (
13、1+x2)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 e 一 2x 等价于一 2xln(1 一 x)一 ln(1+x)，令 f(x)=1n(1+x)一 ln(1 一 x)一 2x，则 f(0)=0，f(x)= 0(0x1)，由 得 f(x)0(0 x1)，故当 0x1 时，e 一 2x【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因为 f(x)= 0，所以 f(x)在(一，+)上单调增加因为f“(x)= ，当 x 0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x) 0，则 y=f(x)在(一，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0 ，+)内是凸的，(0，0)为 y=f(x)的拐点因为f(一 x
14、)=一 f(x)，所以 f(x)为奇函数由为曲线 y=f(x)的两条水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)，由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0，而 (x)= ，故 f()一 f()=f(2)一 2f(1)【试题解析】 由 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)得从而 =0，辅助函数为 (x)=【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 f(x)=x 一 sinx，f(0)=0 ，f(x)=1 一 cosx0(0x )，由得 f(x)0(0 x )，即当 0x
15、时，sinxx；令g(x)=sinx 一 由 g“(x)=一 sinx0(0x )得 g(x)在(0，)内为凸函数，由 得 g(x)0(0x )，即当0x sinx，故当 0x sinxx【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 (t)=1n(x+t)，由拉格朗日中值定理得【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 F(x)=01f(t)dt，F(x)=f(x)， 02f(t)dt=F(2)一 F(0)=F(f)(2 一 0)=2f(c)，其中 0c 2因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值m 和最大值 M， 由介值定理，
16、存在 x02，3，使得 f(x0)= ，即 f(2)+f(3)=2f(x0)，于是 f(0)=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在 1(0，c) (0，3)， 2(f，x 0) (0，3)，使得 f(1)=f(2)=0【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 (x)=e 一 2xf(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 3)，使得 ()=0，而 (x)=e2xf“(x)一 2f(x)且 e 一 2x0，故 f“()一 2f()=0【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)且 x1x2，取 x0= ，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+ (x 一 x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)，“=”成立当且仅当“x=x 0”，从而两式相加得 f(x0)由凹函数的定义，f(x)在(a， b)内为凹函数【知识模块】 一元函数微分学
