1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：( )f(x) 在 x=0 处三阶可导，且()f(x)在 x=0 邻域二阶可导，f(0)=0 ，且 f(x)-xf(x)=ex-1，则下列说法正确的是（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值2 设函数 f(x)有二阶连续导数，且 =-1，则（A）f(x)在 x=0 处取极大值
2、（B） f(x)在 x=0 处取极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且 =-1，则 x=1 是f(x)的（A）不可导点（B）可导点，但非驻点（C）驻点，但非极值点（D）驻点，且为极值点4 设函数 y(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值，其图形在 x=1 处的切线与直线6x+2y+5=0 平行，则 y(x)的极大值与极小值之差为（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设函数 f(
3、x)在a，+)上连续， f(x)在(a ，+) 内存在且大于零记 F(x)=证明：F(x)在(a，+)内单调增加6 设 f(x)在(a ，b)四次可导，且存在 x0(a，b)使得 f(x0)=f(x0)=0，又设当 axb时 f(4)(x)0，求证 f(x)的图形在(a，b) 是凹的7 求函数 的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线8 作函数 y= 的图形9 设 f(x)在(a ，b)内可导，且(如图 212)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点10 求证：方程 在(0，+)内只有两个不同的实根11 就 a 的不同取值情况，确定方程 lnx=xa(a0)实根的个数12 讨论曲线 y=2
4、lnx 与 y=2x+ln2x+k 在(0，+ao)内的交点个数(其中 k 为常数) 13 某商品的需求价格弹性为E p，某人的收入为 M，全部用于购买该商品，求他的需求收入弹性14 设某厂商生产某种产品，其产量与人们对该产品的需求量 Q 相同，其价格为p试利用边际收益与需求价格弹性之间的关系解释：当E p1 时价格的变动对总收益的影响15 设 f(x)在(a，b)可导，且 求证：存在 (a，b)使得f()=016 设 f(x)在a，b可导，且 f+(a)与 f-(b)反号，证明：存在 (a，b)使 f()=017 设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x2f(
5、x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得 F(c)=018 设 f(x)在0，1上连续，且满足 ，求证：f(x)在(0， 1)内至少存在两个零点19 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证：存在 (0，1)使得20 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，又 ba 0求证：存在 ， (a，b)使21 设 a0，求 f(x)= 的最值22 求函数 f(x)= 的最大值与最小值23 在椭圆 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小24 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ (元) 问：()要使平均
6、成本最小，应生产多少件产品?() 若以每件 500 元的价格出售该产品，要使利润最大，应生产多少件产品?25 设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=a-bQ， C= -7Q2+100Q+50，其中常数 a0，b 0 待定已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 Ep= 时总利润最大求总利润最大时的产量，并确定 a，b 的值考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 () 由条件=f(0)=0用洛必达法则得因 =f(0)，若 f(0)0，则 J=，与 J=1 矛盾，故必有 f(0)=0再
7、由f(0)的定义知因此，(0，f(0)是拐点选 (C)()已知 f(0)=0，现考察 f(0)由方程得利用当 x0 时的等价无穷小关系 ，并求极限即得又f(x)在 x=0 连续，故 f(0)=30因此 f(0)是 f(x)的极小值应选(B)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 利用 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式可得从而必有 f(0)=a，f(0)=0 ，f(0)=-2，所以 f(x)在 x=0 处取得极大值故应选(A)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 又由 f(x)连续性知 f(1)=0，故，即 f(x+1) 0=f(1)从而可知 x
8、=1 为极小值点，故选(D) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 先确定三次函数 y(x)表达式中的常数 a，b ，c 由 y(x)=3x2+6ax+3b及已知 x=2 是极值点，可得 y(2)=3(4+4a+b)=0 又由在 x=1 处的斜率为 y(1)=-3，得 3(1+2a+b)=-3 由、 可得 a=-1，b=0 故三次函数 y(x)=x3-3x2+c 由 y(x)=3x(x-2)得函数 y(x)有驻点 x=0 与 x=2又由 y(x)=6x-6 知 y(0)0 与 y(2)0故 y(x)的极大值为 y(0)=c， 极小值为 y(2)=-4+c 于是 y(0)
9、-y(2)=4故应选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 (1)证明 F(x)0(x a)由题设条件，有由拉格朗日中值定理知，存在 (ax)使得由 f(x)0，可知 f(x)在(a ，+) 内单调增加因此，对于任何满足 ax 的 x和 ，有 f(x)f()又 x-a0，从而由 可知 F(x)0，于是 F(x)是单调增加的(2)由式有 ，其中 (x)=f(x)(x-a)-f(x)+f(a)(x a)，(a)=0由 (x)=f(x)(x-a)0，可知 (x)在(a，+)上单调上升，从而当 xa 时，(x)(a)=0，于是 F(x)=
10、，所以 F(x)单调上升【试题解析】 要证 F(x)在(a ，+)内单调增加，只需证 F(x)0，为此需先求出F(x)条件“f”(x)在(a，+) 内存在且大于零”隐含着 f(x)在(a ，+)上单调上升，因此要充分利用这一信息来证明 F(x)0【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 由当 x(a，b)时 f(4)(x)0，知 f(x)在(a，b)单调增加又因 f(x0)=0，故 从而 f(x)在x 0，b)单调增加，在 (a， 0单调减少 又f(x0)=0，故当 x(a，b)且 xx0 时 f(x)0，因此 f(x)的图形在(a ，b)是凹的【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】
11、 函数 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y，y 和它们的零点及不存在的点因此得 单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+)，zx=1 是极小值点，凹区间是 是拐点最后求渐近线因 ，所以无垂直渐近线由于因此只有斜渐近线 y=x【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 1 定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数2求y， y和它们的零点 由 y=0 得三个驻点 x=0， 由 y=0 得 x=0，用这些点及间断点 x=1 把函数的定义域分成六个区间由此可列出函数如下分段变化表：3求渐近线有两个间断点 x=1，由 x=1 为垂直渐近线又 即 y=x 是斜渐近线，无水平渐近
12、线 综上所述，作函数图形在 x0 部分如图 211(由于奇函数图形关于原点对称，所以只作右半平面的图形，列表也可以只列右半部分)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 由(x0，b)使f(x2)0 又 f(x0)0，则 f(x)在(x 1，x 0)与(x 0，x 2)内各至少存在一个零点因 f(x)0( (a，x 0)，从而 f(x)在(a，x 0)单调增加；f(x)0( (0，b)，从而 f(x)在(x0，b)单调减少因此，f(x) 在(a，x 0)，(x 0，b) 内分别存在唯一零点，即在 (a，b)内恰有两个零点【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 即证 f(x)= 在(
13、0，+)只有两个零点先考察它的单调性： 由于f(x)在(0，e)与(e，+)分别单调上升与下降，又 f(e)= ，故只需证明： (e，+)使 f(x2)则 使 f(x2)0，因此 f(x)在(0 ，e) 与(e， +)内分别只有一个零点，即在(0，+) 内只有两个零点【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 令 f(x)=lnx-xa，即讨论 f(x)在(0，+)有几个零点用单调性分析方法求 f(x)的单调区间则当 0xx 0 时，f(x)单调上升；当 xx0 时，f(x) 单调下降；当 x=0 时，f(x)取最大值 f(x0)= 从而 f(x)在(0，+) 有几个零点，取决于 y=f(
14、x)属于图 213 中的哪种情形方程 f(x)=0的实根个数有下列三种情形：()当 时，恒有 f(x)0 ( (0，+) ，故 f(x)=0 没有根()当 f(x0)= 时，由于 x(0，+)，当 xx0=ee 时，f(x) 0，故 f(x)=0 只有一个根，即 x=x0=ee()当 f(x0)=故方程 f(x)=0 在(0，x 0)，(x 0，+) 各只有一个根因此 f(x)=0 在(0，+)恰有两个根【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 令 f(x)=2x+ln2x+k-2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 令 f(x)=0，可解得唯一驻点
15、 x0=1(0，+)当 0x1 时 f(x)0，f(x)单调减少；而当x1 时 f(x)0，f(x)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+) 内唯一的极小值点，且为(0 ，+) 上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关当 f(1)0 即 k=-2 时 f(x)在(0 ，+) 内恒为正值函数，无零点当 f(1)=0 即k=-2 时 f(x)在(0，+)内只有一个零点 x0=1当 f(1)0 即 k-2 时，需进一步考察f(x)在 x0 +与 x+的极限：由连续函数的零点定理可得， (0，1)与 x2(1，+) 使得 f(x1)=f(x2)=0，且
16、由 f(x)在(0，1)与(1 ，+) 内单调知 f(x)在(0，1)内与(1 ，+)内最多各有一个零点，所以当 k-2 时，f(x)在(0，+) 内恰有两个零点 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 设 Q 为需求量，由于 0因此 当某人的收入 M 全部用于购买该商品时，M=pQ由需求收入弹性 EM 的定义知道 EM=在 M=pQ 时，两边求微分可得 dM=pdQ+Qdp因此【试题解析】 设 Q 为需求量，则E p=，找出 EM 与E p的关系即可【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设总收益为 R，则 R=pQ，边际收益因此由 dp=p，知道收益的微分 当p 充分小时，
17、RdR，因此 提价 p0，从而R0，说明总收益增加；降价p0，从而 R0，说明总收益减少【试题解析】 设收益为 R，利用关系 R=pQ 就可以找出边际收益 MR= 与需求价格弹性E p= 与 MR 之间的关系及近似公式RdR【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (1)设 g(x)= 则 g(x)在a ，b上连续，在(a， b)内可导，且 g(a)=g(b)，把罗尔定理用于 g(x)即知存在 (a，b)使得 g()=f()=0(2)若 f(x)A( (a， b)，结论显然成立否则，必 (a，b)使得 f(x0)A不妨设 f(x0)A，由极限的不等式性质知， 使得 a+b- 且当x(a，
18、a+或 xb-，b)时都有 f(x)f(x 0)，于是 f(x)在a+，b-有最小值，且必在(a+，b-)内某点 取到由费马定理知 f()=0对 f(x0)A 的情形可类似证明【试题解析】 这是罗尔定理的推广与罗尔定理比较，两者的不同在于本题中没有假设 f(x)在a，b上连续 (1)的思路是利用 f(x)在 a 和 b 单侧极限存在，补充定义 f(x)在 a 和 b 两点的函数值就可转化为闭区间的情形(2)的思路是利用极限的不等式性质把问题转化到(a，b)内的一个闭区间上讨论 (2)的好处是适用于证明(a，+) ，(-，6)或(- ，+) 上的相应问题【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答
19、案】 (1)由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 a+b-，且于是 f(a+)f(a)，f(b-)f(b)这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a ，b)内某点取到，即存在 (a，b)使得 f()= 由费马定理知 f()=0(2)f(x)在a，b必有最大值若最大值在 x=a(或 x=b)取到，由最值点处的导数性质知，f +(a)0(f-(b)0)，这与已知矛盾因此 f(x)在a，b的最大值不能在 x=a 及 x=b 取到，即，x= 是 f(x)的极值点，f()=0 【试题解析】 因 f(x)在a，b 上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么
20、这些点的导数值必为零，从而证明了命题注意，由于题设条件中未假设 f(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明证明时不妨设 f+(a)0 且 f-(b)0.【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由于 F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1 可导，故存在 1(0，1)使得 F(1)=0又 F(x)=x2f(x)+2xf(x)，于是由 F(0)=0，F( 1)=0 及 F(x)在0 ，1可导知，存在2(0， 1)使得 F(2)=0又因 F(x)=x2f(x)+4xf(x)+2f(x)，于是由 F(0)=F(2)=0及 F(x)在0，1可导知，存在 c(0， 2) (0，1)使得 F(
21、c)=0【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 F(x)= ，显然 G(c)在0，1可导，G(0)=0，又 对 C(x)在0，1上用罗尔定理知， (0，1)使得 G(c)=F(c)=0 现由 F(x)在0，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c ，1对 F(x)用罗尔定理知， (0，c)，2(c， 1)，使得 F(1)=f(1)=0，F( 2)=f(2)=0，即 f(x)在(0，1)内至少存在两个零点【试题解析】 为证 f(x)在(0 ，1)内存在两个零点，只需证 f(x)的原函数 F(x)=在0，1 区间上有三点的函数值相等由于 F(0)=0，F(1)=0，故
22、只需再考察 F(x)的原函数 G(x)= ，证明 G(x)的导数在(0，1) 内存在零点【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因此F(x)在0 ，1上连续，在(0 ，1) 内可导由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知，(0，1)使 f()=0因此，F()=F(1)=0 ，对 F(x)在，1上利用罗尔定理得，(，1) 使得【试题解析】 即证在(0， 1)存在零点【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 记 g(x)=lnx，由柯西中值定理知，存在 (a，b)使得由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b) 使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)，代入即得【试题解析】 把要证的结
23、论改写成 ，并逐次用柯西与拉格朗日中值定理即可【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 利用可得函数 f(x)的分段表达式 从而函数 f(x)在(-，+)上连续，且分别在(-，0)，(0，a) ，(a，+)三个区间内可导，其导函数是由此得 x(-，0)时f(x)0，故 f(x)在(-，0单调增加；x(0，+) 时 f(x)0，故 f(x)在a ，+)单调减少从而 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(-，+)上的最大值 当 x(0，a)时，由由于 f(x)在(-，0) 上单调增加，在(a ，+) 上单调减少，又 f(x)在0，a上的最小值，因此 f(x)在(-，+)上无最小值【知识
24、模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 的大小由于从而 f(0)=0 是最小值【试题解析】 f(x)的定义域是(-，+) ，由于它是偶函数，故只需考虑x0，+)求 f(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性由于需要考察 f(0)是否为最值，还需求极限值 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 过椭圆上任意点(x 0，y 0)的切线的斜率 y(x0)满足分别令 y=0 与 x=0，得x，y 轴上的截距： 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 214)为问题可进一步
25、化为求函数 f(x)=x2(a2-x2)在闭区间0，a上的最大值点由 f(x)=2x(a2-2x2)=0(x(0，a)得 a2-2x2=0，x=x 0= 注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0)0，故 x0= 是 f(x)在0，a的最大值点因此为所求的点【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 () 生产 x 件产品的平均成本在其唯一驻点 x=1000 处取得最小值即应生产 1000 件产品才可使平均成本最小( )若该产品以每件 500 元的价格售出，则生产 x 件产品可获利润(单位：元)由边际利润 ML=L(x)=300- ，可得 x=6000 是总利润函数 L(x)的唯一驻点，又因
26、 L(x)0，从而 L(x)在该点取得最大值即当产品单价为 500 元时，生产 6000件产品可获利润最大【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 总利润函数 L(Q)=R-C=Q.AR-C= +(7-b)Q2+(a-100)Q-50，从而使总利润最大的产量 Q 及相应的 a，b 应满足 L(Q)=0，MR=67 及 Ep=由此得到两组可能的解：a=111，b= ，Q=3 与 a=111，b=2 ，Q=11 把第一组数据中的 a，b 代人得总利润函数 虽然 L(3)=0，L(3)0，即 L(3)确实是 L(x)的最大值，但 L(3)0，不符合实际，故应舍去 把第二组数据中的 a，b 代人得总利润函数 L= +5Q2+11Q-50，也有L(11)=0，L(11) 0，即 L(11)= 是 L(x)的最大值，故 a=111，b=2，是所求常数的值，使利润最大的产量 Q=11【试题解析】 平均收益函数 AR=a-bQ 其实就是价格 P 与销售量 Q 的关系式，由此可得总收益函数 R=Q.AR=aQ-bQ 22，需求函数(它是 P=a-bQ 的反函数)Q= (a-P)，进而可得需求价格弹性 利用以上结果不难解决本题【知识模块】 一元函数微分学
