1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 33 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 f(x)=2xv+3x2-12x+k，讨论 k 的取值对函数零点个数的影响2 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围3 设 f(x)在a ，+)上连续，在 (a，+)内可导，且 =f(a)求证：存在(a， +)，使 f()=04 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0求证：如果 f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在 (0，1)，使得 f()f()0 5 设 P(x)在区间0，+)上连续且为负值 y=y(x)在0，+)
2、上连续，在(0，+) 内满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加6 证明：7 设 x(0，1)，证明不等式 xln(1+x)+aretanx 2x8 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(-，+) 上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明存在 x0 使得 F(x0)=09 设 ba0 ，f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，b)使得10 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少存在一个 c，使得11 设 f(x)在a，b上连续，在(a
3、，b) 内二次可导，且 f(a)=f(b)=0，求证：存在 (a，b)，使 f()012 设 f(x)在a，+)有连续导数，且 f(x)k0 在(a，+)上成立，又 f(a)0，其中 k 是一个常数求证：方程 f(x)=0 在 内有且仅有一个实根13 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0) 存在求证：14 设 a0，试确定方程 e2=ax2 实根的个数及每个根所在的区间15 设生产某产品的固定成本为 c，边际成本 C(Q)=2aQ+b，需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q= (d-P)，其中 a，b，c，d，e 都是正的常数，且 db求：()产量 Q
4、 为多少时，利润最大?最大利润是多少?( )这时需求对价格的弹性是多少?()需求对价格的弹性的绝对值为 1 时的产量是多少?16 设某商品的需求量 Q 是单价 P(单位：元)的函数 Q=12000-80P；商品的总成本C 是需求量 Q 的函数 C=25000+50Q；每单位商品需要纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额17 求下列函数带皮亚诺余项型至括号内所示阶数的麦克劳林公式：()f(x)=excosx(3 阶)； ()f(x)=18 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：()f(x)= ()f(x)=xln(1-x2)19 确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：2
5、0 求下列极限：21 确定常数 a 和 b 的值，使得22 设 f(x)在点 x=0 处具有二阶导数，且 ，求 f(0)，f(0)与 f(0)23 设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导(n2)，且当 xa 时 f(x)是 xx-a 的 n 阶无穷小量求证：f(x)的导函数 f(x)当 xa 时是 x-a 的，n-1 阶无穷小量24 设 f(x)在点 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)=f(a)=0，但 f(4)(a)0求证：当 f(4)(a)0 时 f(a)是 f(x)的极小值；f (4)(a)0 时 f(a)是 f(x)的极大值25 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内
6、具有二阶连续导数求证：存在(a， b)，使得考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 33 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 f(x)=6x 2+6x-12=6(x+2)(x-1)，由 f(x)=0 得驻点 x1=-2，x 2=1，且 f(-2)为极大值，f(1)为极小值又 =+，函数的单调性与极值如下表：要使 f(x)只有一个零点，则需极大值小于零或极小值大于零，即 f(-2)=-16+12+24+k0 k-20；或 f(1)=2+3-12+k0 k7故当 k-20 或 k7 时，f(x)只有一个零点；当 k=-20 或 k=7 时，f(x) 有两个零
7、点；当-20k7 时，f(x)有三个零点【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 设 f(x)=kx+ -1(x0)，则 ()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又故 f(x)此时只有一个零点() 当 k0，由 f(x)=0，得 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当时，有 k= ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 若 f(x)=f(a)，则结论显然成立下设 f(x)f(a)，于是 ，使得 f(x0)f(a)为确定起见，无妨设 f(x0)f(a)( 否则用-f(x) 代替 f(x
8、)进行讨论)令m= f(a)+f(x0)，则 f(a)mf(x 0)由 f(x)+在a，x 0上连续知， (a，x 0)，使f(a)=m又因 ，使 f(x1)m ，由 f(x)在x 0，x 1上连续，且 f(x0)mf(x 1)知， (x0，x 1)，使 f()=m 综合可得，f(x)在区间， 上连续且可导，又 f()=f()，故由罗尔定理可知， (a，+)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 因 f()f()0是否在(0，1上有取正值的点因 f(x)在(0，1)上不恒等于零，从而必存在 x0(0，1)使 f(x0)0，即设 F(x)= ，则 F(x)在0 ，x 0上
9、连续，在 (0，x 0内可导，且F(0)=0，F(x 0)0由拉格朗日中值定理知【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 因 y+p(x)y0 设 F(x)= ，则 F(x) 0 当 x0 时成立，故 F(x)当 x0 时单调增加，即有 设x2x 10，由 F(x)单调增加 F(x2)F(x 1)这表明 y(x)当 x0 时单调增加【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 首先证明：当 x0 时 ln(1+x)x ln(1+x)-x0引入函数 f(x)=ln(1+x)-x， f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0，f(x)= 从而 f(x)在0，+)上单调减少， 必有f(x)f(0)
10、=0 ，即当 x0 时 ln(1+x)x 成立其次证明：当 x0 时引入函数 g(x)=，g(x) 在0，+)上可导，且 g(0)=0，g(x)=从而 g(x)在0，+)上单调增加，必有 g(x)g(0)=0即当 x0 时 x- ln(1+x) 成立综合即得【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 由于 x(0，1) ，所以欲证不等式可等价变形为令 f(x)=ln(1+x)+arctanx，则 f(0)=0由于对 (0，1)，f(x)在0，x 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有其中 (0，x)在0，1上的连续性与单调性可得故欲证不等式成立【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 显然
11、 F(0)= ，于是由罗尔定理知，存在 ，使得F(x1)=0又 F(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)2f(x)，对 F(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在 ，使得 F(x*0)=0注意到 F(x)以 2为周期，F(x)与 F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是存在 x0=2+x*0，即，使得 F(x0)=F(x*0)=0【试题解析】 首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为 2，于是只需证明存在 ，使得 F(x*0)=0 即可【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 因为 f(在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故
12、至少存在(a， b)，使令 g(x)=x2，由柯西中值定理知， (a，b) ，使将式代入式，即得【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 注意当 0x 1x 2 时，在区间x 1，x 2上对函数 F(x)=e-xf(x)与 G(x)=e-x 用柯西中值定理知， (x1，x 2)，使得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 由罗尔定理知因 f(x)在， 上满足拉格朗日中值定理的条件，于是 (，)，使最后，因 f(x)在区间， 上满足拉格朗日中值定理的条件，故 (a，b)，便【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 因 f(x)在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中
13、值定理可得由于 f(x)在区间由连续函数的介值定理知，使 f()=0，又由 f(x)0，f(x)在(a，+)上单调增加可知，f(x)在 内的零点唯一【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 当 x(-1，+) 时因为 ln(1+x)x，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 方程 e2x=ax2 ，函数 g(x)=x2e-2x 的定义域为(-，+)，且 g(x)=2x(1-x)e-2x，其驻点为 x=0 与 x=1，且 ，列表讨论g(x)的单调性与极值，可得由 y=g(x)的图像 (图 22)可知，当 即 0ae
14、2 时 g(x)= 有且只有一个负根 x1；当 恰有二根 x10 和 x2=1；当恰有三个根 x10，0x 21 及 x31【试题解析】 方程 e2x=ax2 有两个等价方程 ，以下解答中考察等价方程 g(x)= 的根的个数与每个根所在的区间【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 () 由题设可得总成本函数从而总利润函数 L(Q)=PQ-C(Q)=(d-eQ)Q-aQ-bQ-c=-(a+e)Q2+(d-b)Q-c，令 L(Q)=d-b-2(a+e)Q=0 可得出唯一驻点 ，且 L(Q0)=-2(a+e)0，可知上述驻点是 L(Q)的极大值点，而且 L(Q)也在该点取得最大值，故最大利润
15、 ()这时需求对价格的弹性【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 因 Q=12000-80P， C=25000+50Q=25000+50(12000-80P)=625000-4000P，故总利润函数 L=PQ-C-2Q=(P-2)Q-C=(P-2)(12000-80P)-625000+4000P =-80P2+16160P-649000，计算可得 由此可见当 P=101(元)时获利最大，且最大利润 maxL=L(101)=167080(元) 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 () 因为从而 f(0)=0，且令 x=0 即得(
16、)把 t=-x2 代入已知的麦克劳林公式【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 () 利用麦克劳林公式故 f(x)=ex-1-x- sinx 当 x0 时是 x 的三阶无穷小量()利用麦克劳林公式 cosx=可得故 f(x)=当 x0 时是 x 的四阶无穷小量.【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 () 由于当 x0 时分母是 x3 阶的无穷小量，而当 x0 时注意到当 x0时()由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 ln(1-2x+3x2)=-2x+3x2- (-2x+3x2)2+o(-2x+3x2)=
17、-2x+3x2-2x2+o(x2)=-2x+x2+o(x2)，于是 可此即得 a-2=0，b+1=6，故 a=2，b=5【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由题设可得 =3，从而当 x0 时必有把 f(x)当 x0 时的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x2+o(x2)代入就有 从而 f(0)=f(0)=0，f(0)=4 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由题设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导且 知，把 f(x)在x=a 的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式代入即得从而 f(a)=f(a)=f(a)=f(n-1)(a)=0，f (n
18、)(a)=n!A0 设 g(x)=f(x)，由题设知 g(x)在 x=a 处，n-1 阶可导，且 g(a)=f(a)=0，g(a)=f(a)=0 ，g (n-2)(a)=f(n-1)(a)=0， g (n-1)(a)=f(n)(a)=n!A0由此可得 f(x)=g(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 n-1 阶泰勒公式为故 f(x)当xa 时是 x-a 的 n-1 阶无穷小量【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由题设可得 f(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 4 阶泰勒公式为由极限的保号性质可得，存在 0 使得当 0x-a 时同号，即 f(x)-f(a)与 f(4)(a)同号 故当 f(4)(a)0 时就有 f(x)-f(a)0 在 0 x-a 中成立，即 f(a)是 f(x)的一个极小值；当 f4(a)0 时就有f(x)-f(a)0 在 0x-a 中成立，即 f(a)是 f(x)的一个极大值.【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 把函数 f(x)在 x= 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式可得令 x=a可得令 x=b可得 由闭区间上连续函数的性质可得，存在 1， 2 f(1)+f(2)，代入上式可知，存在 (a，b)，使得【知识模块】 一元函数微分学
