1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在|x| 内有定义且 |f(x)|x2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可微（C）可微且 f(0)=0（D）可微但 f(0)02 设 其中 g(x)为有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设 y=y(x)由 确定，则 y“(0)等于( )（A）2e 2（B） 2e-2（C） e2 一 1（D）e -214 设函数 则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不
2、连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续二、填空题5 设 则 f(x)=_6 设 f(a)存在，则7 设 y=y(x)满足： 且 y(1)=3，则 y(x)=_8 设 2xy+3x=y，则|dy| x=0=_9 曲线 ex+y 一 sin(xy)=e 在点 (0，1)处的切线方程为 _10 设y=x 5+5x 一 tan(x2+1)，则 y=_11 则 y=_12 f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f(x)=_13 y=xsin2(2x+1)，则 y=_14 xy=yx，则 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求下列导数：15 16 16 求
3、下列导数：17 设 xy=yx，求18 19 设 且 f(0)存在，求 a，b20 设 讨论 f(x)在 x=0 处的可导性21 设 y=ln(4x+1)，求 y(n)22 设 f(x)=g(a+bx)一 g(a 一 bx)，其中 g(a)存在，求 f(0)23 (1)设 f(x)=|x 一 a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f(a)的存在性 (2)讨论在 x=0 处的可导性 (3)设讨论 f(x)在 x=0 处的可导性24 设 求 y25 设 且 求 y26 设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f(0)27 设 y=ln(2+3-x)，求 dy|x
4、=028 (1)设 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，求 y“(0) (2)设 y=y(x)是由 exy 一x+y 一 2=0 确定的隐函数，求 y“(0)29 (1)由方程 sinxy+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 (2)设函数 y=y(x)由2xy=x+y 确定，求 dy|x=0 (3) 设由 e-y+x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0) (4) 设y=y(x)由 确定，求30 (1)求 (2)设 求 df(x)|x=1 (3)设求 F“(x)31 设 y=x2lnx，求 y(n)(n3)考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷
5、34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，且 所以 f(x)在 x=0 处连续 又由|f(x)|x 2得 根据夹逼定理得 即 f(0)=0，选(C)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以 f(x)在 x=0 处连续； 因为 f+(0)=f-(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 当 x=0 时，由 得 y=1， 两边对 x 求导得 选(A)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解
6、析】 因为 所以 f(x)在 x=0 处连续； 由得 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0； 当 x 0 时， 当 x0 时，f(x)=2x， 因为 所以 f(x)在 x=0 处导数连续，选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 由y(1)=3 得 C=3，故【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 ， 2 xy+3x=y 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入得 故dy|x=0=(ln2+3)dx【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】
7、 e x+y 一 sin(xy)=e 两边对 x 求导得 e x+y(1+y)一 cos(xy)(y+xy)=0，将 x=0，y 一 1 代入得 所求的切线为【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 y=5x 4+5xln52xsec2(x2+1)【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 由 f(sinx)=cos2x+3x+2，得 f(sinx)=1 一 2sin2x+3x+2， f(x)=1 一2x2x+3arcsinx+2，【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 则 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由 x
8、y=yx，得 ylnx=xlny，两边求导数得 解得【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y=e tanx.ln(1+x2)，则 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由 xy=yx 得 ylnx=xlny，两边对 x 求导得 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 两边对 x 求导得 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 f(0 一 0)=b，f(0)=f(0+0)=0，由 f(x)在 x=0 处连续得
9、 b=0； 因为 f(0)存在，所以 f-(0)=f+(0)，故 a=2【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 则 f-(0)=1，f +(0)=0，因为 f-(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 y“=42(一 1)(4x+1)-2，y“=4 3(一 1)(一 2)(4x+1)-3， 由归纳法得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1)由得 f-(a)=-g(a)； 由得 f+(a)=g(a) 当 g(a)=0时，由 f-(a)=f+(a)=0 得 f(x)在 x
10、=a 处可导且 f(a)=0； 当 g(a)0 时，由 f-(a)f+(a)得 f(x)在 x=a 处不可导 (2)因为所以 f(x)在x=0 处连续 则即 f(x)在处可导. 由 f(0-0)=f(0+0)=f(0)得 f(x)在 x=0 处连续； 因为 f-(0)=f+(a)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 方法一 由 f(x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一1)(x 一 99) 得 f(0)=(
11、一 1)2(一 3)100=100! 方法二 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 (1)将 x=0 代入得 y=0， e y+6xy+x2 一 1=0 两边对 x 求导得将 x=0，y=0 代入得 y(0)=0 将 x=0，y=0，y(0)=0 代入得y“(0)=一 2 (2)当 x=0 时，y=1， e xyx+y 一 2=0 两边对 x 求导得 e xy(y+xy)一1+y=0，解得 y(0)=0； e xy(y+xy)一 1+y=0 两边对 x 求导得 e xy(y+xy)2+exy(2y4-xy“)+y“=0，解得 y“(0)
12、=一 1【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 (1)将 x=0 代入 sinxy+ln(yx)=x 得 y=1， 对 sinxy+ln(yx)=x 两边关于 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得(2)当 x=0 时， y=1， 对 2xy=x+y 两边关于 x 求导，得将 x=0，y=1 代入得 故 dy|x=0=(ln21)dx (3)x=0 时，y=0 对 e-y+x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得 一 e-yy+yx+x(y一 1)=1，将 x=0，y=0 代入得 y(0)=一 1； 对一 e-yy+yx+x(y一 1)一 1 两边关于x 求导，得 e -y(y)2 一 e-yy“+2(y一 1)+xy“=0，将 x=0,y=0,y(0)=一 1 代入，得 y“(0)=-3 (4)x=0 时， y=1 对 两边关于 x 求导得将 x=0，y=1 ，代入得【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)由得 (2)由得 f(x)=(x+1)e x，从而 f(1)=2e，故 df(x)|x=1=2edx (3)【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 y (n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x(lnx)n-1+Cn22(lnx)n-2 由得 【知识模块】 一元函数微分学
