1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 (x)在 x=x0 的某邻域内有定义，并设 又设 f(x)=|xx0|(x)则 f(x)在 x=x0 处 ( )（A）存在极限但不连续（B）连续但不可导（C）可导（D）是否可导与 A 的值有关2 设 f(x)在 x=a 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充要条件是 ( )（A）f(a)=0，f(a)=0（B） f(a)=0，f(a)0（C） f(a)0，f(a)=0（D）f(a)0，f(a)03 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x
2、=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导4 设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则 f(n)(x)= ( )（A）nf(x) n+1（B） n!f(x)n+1（C） (n+1)f(x)n+1（D）(n+1)!f(x) n+15 若 f(x)在点 x0 处至少二阶可导，且 则函数 f(x)在 x=x0 处 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有极值6 设函数 f(x)= ，则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x
3、2 时，必有 f(x1)f(x 2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)7 设 a 为常数， f(x)=aex 一 1 一 x 一 则 f(x)在区间(一 ，+)内 ( )（A）当 a 0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（B）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点（C）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（D）当 a 0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点8 设周期函数
4、f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 29 两曲线 与 y=ax2+b 在点 处相切，则 ( )10 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sin x|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)一 f(0)=011 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= 0x(x2 一 t2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B）
5、 2（C） 3（D）412 设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 f(x)= 则 f(x)在x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导函数不连续（D）可导，导函数连续13 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条14 设函数 f(x)=(ex-1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)的值为( )（A）(一 1)n-1(n 一 1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!15 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，
6、且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )16 在区间0 ，8 内，对函数 罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，且 f(2)=0（C）成立，且 f(4)=0（D）成立，且 f(8)=0二、填空题17 若函数 f(x)=asin x+ 在 处取得极值，则 a=_18 曲线 全部的渐近线为_19 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+(x2)(x0)，则 p(x)=_20 设 ，则 y=_21 设 则 y=_22 设 则 y|x=0=_.23 设 则 f“(0)=_24 设 则 f(99)(0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25
7、设26 设 y=f(ln x)ef(x)，其中 f 可微，求27 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1 ，计算 f(n)(2)28 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x，0)，n=1，2，3，计算29 求下列函数关于 x 的导数：(1) (2)y=ef(x).f(ex)，其中 f(x)具有一阶导数；(3)y= 其中 f(x)=arctanx2，并求 (4)设 f(t)具有二阶导数， ，求 ff(x)，ff(x)30 设 (a0，b0) ，求 y31 求证：当 x0 时，不等式 成立32 利用导数证明：当 x1 时33
8、 求 的反函数的导数34 设 a，b，c 是三个互不相等的实数，求 y(n)35 设函数 f(y)的反函数 f-1(x)及 ff-1(x)与 f”f-1(x)都存在，且 f-1f-1(x)0证明：36 求函数 的导数考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 所以 (x)在 x=x0 的某邻域内有界，于是|x 一 x0|(x)=0，此外又有 f(x0)=0.(x0)=0所以 f(x)在 x=x0 处连续再看是否可导所以 f(x0)存在的充要条件是 A=一 A，即 A=0所以选(D)【
9、知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，则存在 x=a 的某邻域 U，在该邻域内 f(x)与 f(a)同号，于是推知，若 f(a)0，则|f(x)|=f(x)(xU)；若 f(a)0，则|f(x)|=-f(x)总之，若 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处总可导若 f(a)=0，则从而知其中xa +时，取“+” ，xa -时，取“一”，所以当 f(a)=0 时，|f(x)|在 x=a 处可导的充要条件是|f(a)|=0，即 f(a)=0 所以当且仅当 f(a)=0，f(a)0 时，|f(x)|在 x=a 处不可导，故应选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】
10、 D【试题解析】 显然 =f(0)=0，f(x)在点 x=0 处连续所以 f-(0)=0故 f+(0)=0，从而f(0)存在，且 f(0)=0，应选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=f(x)2 得 f“(x)=f(x)=f(x) 2=2f(x)f(x)=2f(x)3， 故当n=1，2 时 f(n)(x)=n!f(x)n+1 成立假设 n=k 时，f (k)(x)=k!f(x)k+1 成立，则当 n= k+1 时，有 f (k+1)(x)=k!f(x)k+1=(k+1)!f(x)kf(x)=(k+1)!f(x)k+2，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)
11、【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 =一 10，知存在 0，当 0|x 一 x0| 时，由于(x-x 0)20，于是 f(x)一 f(x0)0，所以 f(x0)f(x)，即 x0 为极大值点故选(A) 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( 一，3)(3，+)，f(x)= f(x)在区间(一 ，3)及(3，+)上均是单调减少的【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题令 g(x)=f(x)e-x= 由于 e-x0，所以 g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 g(x)= ，且
12、仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增加，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f(一)0，f(+) 0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)恰有一个零点当 a0，f(x)e -x= 0，f(x)无零点【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，所以曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1 ，f(1) 处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数又即 f(1)=一 2，所以所求斜率为一
13、2【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点 故相交于该点将 x=2， 代入y=ax2+b 中得 =4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以=2ax|x=2，解得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 由于 同理，F+(0)= =f-(0)-f(0)F(x)在 x=0 处可导要求 F+(0)=F-(0)，可得 f(0)=0，选(A) 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 用洛必达法则， =f(0)0，所以k=3，选 C【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 =g(0)=0=f(0)，所以 f(x)
14、在 x=0 处连续又所以 f(x)的导函数在 x=0 处连续【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 y=f(x)有铅直渐近线 x=0 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在(0， 1)，使得xf(x)| x=0，即 f()+f()=0，有 f()= ，所以选(A) 选项(B)，(C)，(D)可用反例 y=1 一 x 排除【知识模块】 微积分16 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8
15、上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在08上满足罗尔定理条件令 f(x)= =0，得 x=4，即定理中 可以取为 4【知识模块】 微积分二、填空题17 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acos x+cos 3x，因 为极值点，则得 a=2此时 f“(x)=一 2sin x-3sin 3x，故当 a=2 时， 为极大值点【知识模块】 微积分18 【正确答案】 x=0： ：y=1【试题解析】 因为 ，故 x=0 为铅直渐近线；为铅直渐近线； y=1 为水平渐近线【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当 x
16、0 时，e x 一 p(x)=(x2)由于于是 ex 一 p(x)=(1 一 c)+(1 一 b)x+ 故 1 一c=0，1 一 b=0，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 一 6【试题解析】 用泰勒公式 =(x+x2+x4)(1+x2+)=x+x2+x3+，【知识模块】 微积分24 【正确答案】 一 99!【试题解析】 注意，f(x)的分母不能因式分解而将 f(x)拆项，改想别的办法由幂级数展开式的唯一性知 f (k)(0)=k
17、!ak(k=0，1，2，)当 k=99 时，3n=99 ，n=33所以 f (99)(0)=99!a99=99!(一1)33=一 99!【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边求导数得 f”(x)=e f(x).f(x)=e2f(x) 两边再求导数得 f“(x)=e2f(x).2f(x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f (4)(x)=2e3f(3).3f(x)=3!e4f(x)， 由以上规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n
18、一 1)!enf(x)， 所以 f (n)(2)=(n1)!en【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由导数的几何意义，知曲线 f(x)=xn 在点(1，1) 处的切线斜率 k=f(1)=nxn-1|x=1=n，所以切线方程为 y=1+n(x 一 1)，令 y=0 解得 因此【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (1)y= .lna.axlna+ .lna.(xx)+ .lna.axa-1，其中(x x)=(exlnx)=exlnx.(ln x+1)=xx(ln x+1) (2)y=e f(x).f(x)f(ex)+ef(x).f(ex)ex(4)令，则 f(t)=4t2，即 f(x)=4
19、x2，有 f(x)=8x，由函数概念得 ff(x)=f(8x)=4.(8x)2=256x2，ff(x)=ff(x).f(x)=8f(x).8x=32x 2.8x=256x3【知识模块】 微积分30 【正确答案】 两边取对数，得 ln y= +a(ln bln x)+b(ln xlna)，两边关于x 求导，得【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设 f(x)=arctan x+ 因为 f(x)= ，所以 f(x)单调递减，故当 0x +时，f(x)0，即 arctan x+【知识模块】 微积分32 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xln x，有 f(1)=2ln 20由 f(x)=0(x1) 知，f(x)单调递增，则当 x1 时， f(x) f(1)=2ln 20，ln x0，【知识模块】 微积分33 【正确答案】 【知识模块】 微积分34 【正确答案】 运用高阶导数公式，得【知识模块】 微积分35 【正确答案】 设 x=f(y)则其反函数为 y=f-1(x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得【知识模块】 微积分36 【正确答案】 【知识模块】 微积分
