1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=丨 x 丨 sin(x-2)/x(x-1)(x-2)2存下列哪个区间内有界（A）(-1，0)（B） (1，0)（C） (1，2)（D）（2,3）2 设 f(x)=ln10x，g(x)=x ，h(x) ：e x/10，则当 x 充分大时有（A）g(x)0 且 f(a)0（D）f(a)0，f(b)f(a)（B）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)f(b)（C）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)=0（D）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(
2、xo)=09 设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-， )时，恒有丨 f(x)丨x 2，则 x=0必是 f(x)的（A）间断点（B）连续而小可导的点（C）可导的点，f(0)=0（D）町导的点，f(0)010 设函数 f(x)连续，f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)存(-，0) 内单凋减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)11 设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1
3、)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1) nn!二、填空题12 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=_,b=_.13 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则k=_,c=_.14 设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于15 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)：1，则 f“(2)=_.16 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变
4、量 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01 ，则 f(1)=_.17 设函数 y=1/(2x+3),则 y(n)(0)=_.18 函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_.19 已知曲线 y=x3-3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过表示为 b2=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)， 其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小20 设函数 y=y(x)往(- ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(
5、y)是 y=y(x)的反函数21 试将 x=x(y)所满足的微分方程 d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；22 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3/2 的解考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答
6、案】 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题12 【正确答案】 1,-1/6【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 3,4【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 2e 3【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 1/2【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (-1) nn!
7、2n/3n+1【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 -2 n（n-1)!【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 4a 6【试题解析】 y(x)=3x 2-3a2，令 y(x)=0 有 x=a 或 x=-a由题设还有 a3-3a3+b=0 或-a3+3a3+b=0，所以 b=2a3 或 b=-2a3，即 b2=4a6。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 把 ex 的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 e x=1+x+1/2x2+1/6x3+ox3， 代入经整理可得 e x(1+Bx+Cx2)-(1+Ax)=(1-A+B)x+
8、(1/2+B+C)x2+(1/6+B/2+C)x3+o(x3) 从而使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)成立的充分必要条件是常数A，B，C 同时满足 1-A+ B=o，1/2+B+C=o 与 1/6+B/2+C=0，解出即得 A=1/3，B=-2/3，C=1/6【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 dx/dy=1/y,d 2x/dy2=(dx/dy)y=(1/y)y=(1/y)x.(dx/dy)=-y“/y3=-y“(dx/dy)3 代人原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1；由于 A=ir1.2，则设(*)的特解为 y=acosx+bsinx 代入 (*)求得 a=0，b=-1/2，故 y*=-1/2sinx于是(*)的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2sinx 又由原始条件得 C1=1，C 2=-1 所求初值问题的解为 y(x)=ex-e-x-1/2sinx【知识模块】 一元函数微分学
