1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a、b 为非零常数，则（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab2 设函数 则 f(x)在 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 曲线 的渐近线有（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4
2、条4 设 f(x)为可导函数，且满足条件 则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为（A）2（B）一 1（C）（D）一 25 若 f(一 x)=f(x)(一x+)，在( 一，0)内 f(x)0，且 f(x)0，则在(0，+)内有（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，x(x) 0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x) 06 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为（A）（B） 0（C）一 1（D）一 27 设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件
3、是（A）f(a)=0 且 f(a)=0（B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)0二、填空题8 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f(0)=b，若函数在 x=0 处连续，则常数 A=_9 设曲线 f(x)=x2+ax 与 g(x)=bx2+c 都通过点(一 1，0)，且在点( 一 1，0)有公共切线，则 a=_，b=_，c=_10 设 f(x)=xex，则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值 _11 设商品的需求函数 Q=100 一 5p，其中 Q、P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于 1，则商品价格的取值
4、范围是_12 已知 =_.13 已知 f(x0)=一 1，则 =_.14 设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 =_.15 设 则 fn(x)=_.16 设方程 x=yy 确定 y 是 x 的函数，则 dy=_17 设(x 0，y 0)是抛物线 y=ax2+hx+c 上的一点若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_18 设 y=f(1nx)ef(x)，其中 f 可微，则 dy=_19 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(，0)，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x
5、)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式 f(a+b)f(a)+f(b)其中 a、b 满足条件0aba+bc21 试证明函数 在区间(0，+)内单调增加22 设函数 问函数 f(x)在 x=1 处是否连续?若不连续，修改函数在 x=1 处的定义使之连续23 求证：当 x1 时,24 设某产品的成本函数为 C=aq2+bq+c，需求函数为 其中 C 为成本，q 为需求量(即产量) ，p 为单价，a ，b，c，d，e 都是正的常数，且 db求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量25 假设
6、函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内二阶可导，过点 A(0，f(0)与B(1，f(1)的直线与曲线 y=f(x)相交于点 C(c，f其中 0c 1证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使 f()=026 假设 f(x)在a，+)上连续， f(x)在(a ，+) 内存在且大于零，记 F(x)=证明：F(x)在(a，+)内单调增加27 设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数为 R=PQ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量，(产品的产量) ，Q(P)是单调减函数如果当价格为 P0，对应产量为 Q0 时，边际收益 收益对价格的边际效应 需求对价格的弹性为 EP=b1，求 P0 和 Q027
7、 设 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=一 128 求 f(x)；29 讨论 f(x)在(一 ，+)上的连续性29 设某种商品的单价为 P 时，售出的商品数量 Q 可以表示成 其中a、b、c 均为正数，且 abc30 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；31 要使销售额最大，商品单价 p 应取何值?最大销售额是多少?32 在经济学中，称函数 为固定替代弹性生产函数，而称函数 为 CobbDouglas 生产函数，(简称 CD 生产函数)试证明：当 X0 时，固定替代弹性生产函数变为 CD 生产函数，即有32 一商家销售某种商品的价格满足关系 P=70 2X(
8、万元吨)，x 为销售量(单位：吨)，商品的成本函数是 C=3x+1(万元)33 若每销售一吨商品，政府要征税 t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；34 t 为何值时，政府税收总额最大35 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)就售出，总收入为 R0(元)如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 假定银行的年利率为 r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求r=006 时的 t 值36 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0试证存在 ， (a，b)，使得37 设函数 f(x)在区间0 1上连续，在(0，1)内可导
9、，且，试证(1)存在 ,使 f()=(2) 对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()一 f()一 =1考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 在 f(1+x)=af(x)中，令 x=0 得 f(1)=af(0)所以，应选 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于当 x0 时， 为有界变量， 为无穷小量，则，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处连续但不存在，则 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】
10、由于 则 为其一条水平渐近线，又 则 x=0 为原曲线一条垂直渐近线【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 得f(1)=一 2所以，应选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(一 x)=f(x) (一 x+)知，f(x)的图形关于 y 轴对称由在(一， 0)内 f(x)0 且 f(x)0 知，f(x)的图形在(一，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，+)内 f(x)的图形单调下降，且是凸的，则 C 为正确选项【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 f(x)在( 一，+) 内可导，且 f(x)=f(
11、x+4)，两边对 x 求导，则f(x)=f(x+4)，故 f(5)=f(1)由干则 f(1)=一 2，故y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 f(5)=一 2【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 排除法A 选项显然不正确，f(x)=(x 一 a)2 就是一个反例 事实上C 和 D 也是不正确的因为 f(x)在 a 点可导，则 f(x)在 a 点连续，若 f(a)0(或f(a)0)则存在 a 点某邻域在此邻域内 f(x)0(或 f(x)0)，因此在 a 点的此邻域内f(x)=f(x)(或f(x)=一 f(x)从而可知f(x)与 f(x)在 a 点可导性相同，而 f
12、(x)在点可导，从而 C 和 D 都不正确，因此，应选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 a+b【试题解析】 由于 F(x)在 x=0 连续，则【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 一 1，一 1，1【试题解析】 由于曲线 f(x)和 g(x)都通过点(一 1，0) ，则 0=一 1 一 a，0=b+c 又曲线 f(x)和 g(x)在点( 一 1，0)有公共切线则 f(一 1)=3x2+a x=-1=3+a=g(一 1)=2bx x=-1=一 2b 即 3+a=一 2b，又 0=一 1 一 a，0=b+c 则 a=一 1，b=一 1，c=1【知识模块】 一元函数
13、微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由高阶导数的莱不尼兹公式 可知，f (n)(x)=(n+x)ex;f(n+1)(x)=(n+1+x)ex,f(n+2)(x)=(n+2+x)ex 令 f (n+1)(x)=0，解得 f(n)(x)的驻点 x=一(n+1) 又 f(n+2)一(n+1)=e -(n+1)0，则 x=一(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，极小值为【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (10，20【试题解析】 由 Q=1005p，得 Q(p)=一 5，需求弹性为令 得 P20 或10P20又由 Q(p)=1005p=0，得最高价格为 P=20所以商品价格的取值范围
14、是(10 ，20【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 则【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 方程 exy+y2=cosx 两边对 x 求导，得 e xy(y+xy)+2yy=一 sinx 解得【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 方程 x=y3 两边取对数得：lnx=ylny 上式两边求微分得【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 y=2ax+b， y(x0)=2ax0+b
15、过(x 0，y 0)的切线方程为 yy0=(2ax0+b)(xx0)即 y 一 (ax02+bx0+c)=(2ax0+b)(xx0)由于此切线过原点，把 x=y=0 代入上式，得 一 ax0 一 bx0 一 c=一 2ax02 一 bx0，即 ax02=c 所以，系数应满足的关系为(或 ax02=c)，b 任意【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 由 y=f(1nx)ef(x)可知【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 设 f(x)在点(1 ，1)处的切线为 y=ax+b则【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、。20 【正确答案】 f(a+b)f(a)+f(b)，就是要证明 f(a+n)一 f(a)一 f(b)0又 f(0)=0， 所以，只要证明 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)0而 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)=f(a+b)一f(b)一f(a) 一 f(0)=f(2)a 一 f(1)a=af(2)一 f(1)01a，b 2a+b 又 f(x)单调减少，则 f(2)f(1)，从而有 f(a+b)一 f(a)一 f(b)+f(0)0 故 f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为令 只要证明 g(x)0， x(0，+)以下有两种方
17、法证明 g(x)0，一种是利用单调性，由于故函数 g(x)在(0，+)上单调减，又由此可见 g(x)0 x(0，+)另一种是利用拉格朗日中值定理，因为故函数 f(x)在(0，+)上单调增加【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 因为而 f(1)=1，故所以 f(x)在 x=1 处不连续若令 则函数 f(x)在 x=1 处连续【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因为 f(x)在1，+)上连续，所以 f(x)在1，+)上为常数，故 f(x)=f(1)=0 即【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 (1)利润函数为【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 过 A，B
18、 两点的直线方程为 y=f(1)一 f(0)x+f(0)令 G(x)=f(x)一f(1)一 f(0)x 一 f(0)则 G(0)=G 一 G(1)=0 由罗尔定理知了 ，使 G()=0，而 G(x)=f(x)故 使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由收益 R=PQ 对 Q 求导，有【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当 x0 时，有当 x=0 时，由导数定义，有【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 因为在 x=0,处【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学
19、30 【正确答案】 设售出商品的销售额为 R，则【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 由(1)可知，当 时，销售额 R 取得最大值，最大销售额为【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 设 T 为总税额，则 T=tx;商品销售总收入为 R=px=(702x)x=7x一 02x 2 利润函数为 RCT=7x 一 02x 2 一 3x2 一 1 一 tx=一 02x 2+(4 一 t)x 一 1 由于即为利润最大时的销售量【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 将 代入 T=tx，得 由得唯一驻点
20、t=2；由于 可见当 t=2 时 T 有极大值，这时也为最大值，此时政府税收总额最大【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为A(t)=Re-(n)，而 所以【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)使 e b 一 ea=e(b 一 a)【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)一 x，则 (x)在0， 1上连续又 (1)=一 10,，由介值定理可知，存在 使得 ()=f()一 =0 即 f()=(2)要证()一 f( 一 =1，即要证f()一 1一 f( 一 =0 也就是要证 ( 一 ()=0，因此构造辅助函数 F(x)=e-x(x)=e-xf(x)一 x则 F(x)在0，上满足罗尔定理的条件，故：存在 (0，)使得 F()=0即 e-()一 (=0 而 e-0，从而有 ()一 ()=0 即 f()一 f()一 =1【知识模块】 一元函数微分学
