1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必为单调增函数2 设 ，其中 ，则 g(x)在区间(0，2)内（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续3 如图，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2， 3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，
2、0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设，则下列结论正确的是（A）（B）（C）（D）4 如图，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a 上有连续的导数，则定积分等于（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 面积5 设函数 y=f(x)在区间一 1，33 上的图形为 则函数 的图形为（A）（B）（C）（D）6 使不等式 成立的 x 的范围是（A）(0 ，1)（B）（C）（D）(，+)7 设 ，则 I，J ，K 的大小关系为（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI二、填空题8 设 f(x)
3、有一个原函数 =_.9 设 =_.10 设可导函数 y=y(x)由方程 =_.11 设位于曲线 下方，x 轴上方的无界区域为 G，则 G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_ 12 曲线 直线 x=2 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为_13 由曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中围成的平面图形的面积为_14 设 D 是由曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为_.15 设 ，则 a=_16 设函数 f(x)连续 ，则 f(1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设函数 f(x)在0，+
4、)上连续单调不减且 f(0)0试证函数在0，+)上连续且单调不减(其中 n0)18 19 设函数 f(x)连续，且20 21 设22 设函数 f(x)在0，上连续，且 试证明：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=023 已知抛物线 y=px2+qx(其中 P0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S (1)问 P 和 q 为何值时，S 达到最大值? (2)求出此最大值24 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足证明至少存在一点 (0，1)，使得 f()=(1 一 -1)f()25 求极限26
5、 设26 设 D1 是由抛物线 y=2x2 和直线 x=a，x=2 及 y=0 所围成的平面区域； D 2 是由抛物线 y=2x2 和直线 y=0，x=a 所围成的平面区域，其中 0a227 试求 D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积V2；28 问当 a 为何值时， V1+V2 取得最大值?试求此最大值29 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(x)0利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点 a，b ，使30 设 则31 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足证明32 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0
6、)=0，f(x)0，g(x)0 证明：对任何a0，1，有32 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)33 求 L 的方程；34 当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定口的值35 设 f(x)是周期为 2 的连续函数(I) 证明对任意的实数 t，有(11)证明 是周期为 2 的周期函数36 计算不定积分37 (I)比较 的大小，说明理由；()记38 求不定积分39 40 设 D 是由曲线 ，直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y 分别是 D
7、绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积若 Vy=10Vx，求 a 的值41 设函数 f(x)，g(x) 在区间 a，b上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1,证明：(I)()考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 解 直接说明 A 正确，f(x)的原函数 F(x)可表示为故 A 是正确选项【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 有一个已有结论可直接用：“若 f(x)在a，b 上可积，则是a，b上连续函数”本题中 f(x)在0，2上可积，则在(0，2)上连续
8、故应选 D【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义知，【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 其中 af(a)应等于矩形 ABOC 的面积， 应等于曲边梯形 ABOD 的面积，则 应等于曲边三角形 ACD 的面积【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，当 x(一 1，0) 时 F(x)=f(x)，而当 x(一 1，0)时 f(x)1 0，即 F(x)0，从而 F(x)单调增显然 A 选项是错误的。因为 A 选项中 F(x)在(一 1，0) 中单调减由于 显然 C 选项错误由于当 x(2，3时f(x)
9、0，则当 x(2，3 时则 B 是错误的，D 是正确的【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 要使 ，只要 即：只要由于 ，则 x(0，1)时，故当 x(0，1) 时，【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 当 时，sinxcosx1cotx，而 lnx 为单调增的函数，则 故应选 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)有一个原函数为 则 而【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 1【试题解析】 由 知，x=0 时 y=0，且将 x=0
10、 和 y=0 代入上式得 1+y(0)=0y(0)=一 1【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 4ln2【试题解析】 曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限围成的平面域如图，则所围面积为【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的区域 D 如右图则 D 的面积为【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由题设知【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 2
11、【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 u=2x-t，【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 知存在 1(0，)，使 f(1)=0因若不然，则在(0，) 内或 f(x)恒为正，或 f(x)恒为负，均与 矛盾若在(0，)内 f(x)=0 仅有一个实根 x=1，则由 推知 f(x)在(0， 1)
12、内与( 1，)内异号，不妨设在(0 ， 1)内 f(x)0，在( 1，) 内 f(x)0，于是再由及 cosx 在0，上的单调性知：得出矛盾从而推知，在(0，)内除 1 外f(x)=0 至少还有另一实根 2，故知存在1， 2(0，)， 12，使 f(1)=f(2)【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 依题意，抛物线如图 27 所示求得它与x 轴交点的横坐标为： 面积因直线 x+y=5 与抛物线 y=px2+qx 相切，故它们有唯一公共点由方程组 得 px 2+(q+1)x一 5=0，其判别式必等于零即 将 p 代入(-)式得令 得驻点 q=3当 0q3 时，S(q)0；当 q3 时，
13、S(q)0于是当 q=3 时，S(q)取极大值，即最大值此时【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 F(x)=xe1-xf(x)，则 F(1)=f(1)由积分中值定理得由原式从而 F(x)在 c，1上满足罗尔定理条件，则存在 (c，1)使 F()=0 即 e1-f()一(1 一 -1)f()=0 而 e 1-0，故 f()一(1 一 -1)f()=0 即 f()=(1 一 -1)f()【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 根据条件作图 28，则【知识
14、模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由 V=4a 2(1 一 a)=0 得区间(0，2)内的唯一驻点 a=1当 0a1 时，V0；当 a1 时V0因此 a=1 是极大值点即最大值点此时 V1+V2 取得最大值，等于【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 因为 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(x)0，由最值定理，知 f(x)在a ，b上有最大值 M 和最小值 m，即【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=t，则【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
15、【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 依题意得 求得其通解为将 x=1，y=0 代入上式得 C=一 a从而 L 的方程为 y=ax2 一 ax【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 L 与直线 y=ax 的交点坐标为(0， 0)和(2，2a) ，那么 L 与直线y=ax 围成平面图形的面积 于是由题设知【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 当 0t1 时，因为 ln(1+t)t，所以lntln(1+t) ntnInt，因此 ()由(I)知【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 (ln2)【知识模块】 一元函数积分学40 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学41 【正确答案】 只要证明 f(b)0，显然 f(a)=0，只要证明 F(u)单调增，又【知识模块】 一元函数积分学
