1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F(x)= 其中 f(x)为连续函数，则 等于( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在2 若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= 则 f(x)等于( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln23 使不等式 成立的 x 的范围是( )4 数列极限 =( )5 （A） 12ln2xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1+x)dx（D） 12ln2(1+x)dx6 设 m，n 均是正整数，则反常积分
2、的收敛性( )（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m，n 的取值都无关7 若连续函数满足关系式 f(x)= 则 f(x)=( )8 设 则( )（A）I 1I 2 1（B） 1I 1I 2（C） I2I 11（D）1I 2I 19 10 设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a ，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是F(x)=axf(t)dt 在a，b单调增加的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件二、填空题11 12 已知f(x 3)dx=x3+C(C 为任意常数)，则 f(x)=_
3、.13 14 15 16 17 18 19 设可导函数 y=y(x)由方程20 21 设位于曲线 (ex+) 下方,x 轴上方的无界区域为 G，则 G绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_22 曲线 y=0xtantdt 的弧长 S=_23 设 F(x)= 则 F(x)=_24 曲线 直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为_25 f(x)= 则 14f(x-2)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数(1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间0 ，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，
4、等于在区间x 0，1 上以 y=f(x)为曲边的梯形面积(2)又设 f(x)在区间 (0，1)内可导，且 f(x) 证明(1)中的 x0 是唯一的27 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dta,b),abf(t)dt=abg(t)dt 证明abxf(x)dxabxg(x)dx28 29 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0，g(x)0证明对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)30 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(
5、x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0) (1)求 L 的方程； (2)当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值31 设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线y=0，x=1 及 x=t(t1) 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程32 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)= 02f(x)dx=f(2)+f(3) (1)证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)； (2)证明存在 (0，3)，使
6、 f”()=033 34 (1)比较 01|lnt|ln(1+t)ndt 与 01tn|lnt|dt(n=1，2，)的大小，说明理由(2)记un=01|lnt|ln(1+t)ndt(n=1， 2，)，求极限35 设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b).cosb= f(x).cosxdx证明至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=f().tan36 37 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件) ，且这两种产品的边际成本分别为(万元件) 与 6+y(万元件)(1)求生产甲、乙两种产品的总成本函数
7、C(x，y)(万元 )；(2) 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小，求最小成本；(3)求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义38 39 设 f(x)在 一 ，上连续，且有 f(x)= +-f(x)sinxdx，求 f(x)考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 利用洛必达法则因故选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 在等式 f(x)= 两端对 x 求导得 f(x)=2f(x)，则=2dx，ln
8、f=2x+C 1，即 f(x)=Ce2x 由题设知 f(0)=ln2，得 C=ln2，因此 f(x)=e2xln2故选 B【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 原问题可化为求 f(x)=成立时 x 的取值范围，由 0，t(0 ，1)知，当 x(0，1)时 ,f(x)0故应选 A【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 其中将积分区间0，1n 等分，n 等分后每个小区间是 (i=1，2，n)，i 是区间的右端点【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 结合积分的定义，则故选 B【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解
9、析】 显然 x=0，x=1 是两个瑕点，有【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由题意 f(1)=11f(t2)dt+e，所以,f(1)=e【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 从而，【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中故选 B【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 已知 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 g(x)在a，b 单调增加,g(x)0(x(a ，b
10、)，在(a，b)内的任意子区间内 g(x)0 因此，F(x)= 0xf(t)dt(在a，b可导)在a ，b 单调增加,F(x)=f(x)0(x(a，b)且在(a，b) 内的任意子区间内F(x)=f(x)0故选 C【知识模块】 一元函数积分学二、填空题11 【正确答案】 一 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 对等式f(x 3)dx=x3+C 两边求导，得 f(x3)=3x2【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=sint，则【知识模块】 一元函数积分学1
11、5 【正确答案】 【试题解析】 令 t=x 一 1 得【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 令 x1=t，则【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 一 1【试题解析】 已知 =x0xsin2tdt，令 x=0，则 y(0)=0等式两端同时对 x求导，得【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【试题解析】
12、【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【试题解析】 对 F(x)求导，可得 F(x)= 则 F(x)为常数【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【试题解析】 设 x 一 2=t，dx=dt ，当 x=1 时，t=一 1；当 x=4 时，t=2【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 (1)本题可转化为证明 x0f(x0)= 令 (x)=一 xx1f(t)dt，则(x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1) 上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗
13、尔定理可知，存在 x0(0，1)，使得 (x0)=0，即(2)令 F(x)=xf(x)一 x1f(t)dt， F(x)=xf(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)0， 即F(x)在(0 ，1)内是严格单调递增的，从而 F(x)=0 的点 x=x0 一定唯一，因此(1)中的点是唯一的【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= axF(t)dt，由题设 G(x)0，xa，b)，且 G(a)=G(b)=0，G(x)=F(x) 从而 abxF(x)dx=abxdG(x)=xG(x)|ab 一 abG(x)dx= 一abG(x)dx，由于
14、G(x)0， xa，b)， 故有一 abG(x)dx0，即 abxF(x)dx0 因此 abxf(x)dxabxg(x)dx【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 设 F(x)= 0xg(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt 一 f(x)g(1)，则 F(x)在0 ，1上的导数连续，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x) 一 g(1) 由于 x0，1时,f(x)0，g(x)0 ，因此 F(x)0，即 F(x)在0，1 上单调递减 注意到 F(1)= 01g(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dt 一
15、 f(1)g(1)， 而 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t)=g(t)f(t)|01 一 01f(t)g(t)dt =f(1)g(1)一 01f(t)g(t)dt， 故 F(1)=0 因此 x0，1时，F(x)F(1)=0 ，由此可得对任何a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 (1)设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得又 f(1)=0，所以 C=一 a 故曲线 L 的方程为 y= ax 2 一 ax(x0) (2)L 与直线 y=ax(
16、a0)所围成平面图形如图32 所示 所以故 a=2【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 旋转体的体积为 V=1tf2(x)dx=f1tf2(x)dx， 曲边梯形的面积为：s=1tf(x)dx，则由题可知 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx，即 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx 两边对 t 求导可得 f2(t)=1tf(x)dx+tf(t)，即 f2(t)一 tf(t)=1tf(x)dx， (*) 等式两端求导可得 2f(t)f(t)一 f(t)一 tf(t)=f(t)，化简可得(2f(t) 一 t)f(t)=2f(t)，即在(*)式中令 t=1，则 f2(1)一 f(1)=
17、0，因为已知 f(x)0，所以 f(1)=1，代入所以该曲线方程为【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1)已知 2f(0)=02f(x)dx，又根据 f(x)在0，2上是连续的，且由积分中值定理得，至少有一点 (0，2)，使得 02f(x)dx=f().(2 一 0) 因此可得 2f(0)=2f()，即存在 (0，2)，使得 f()=f(0)(2)因 f(2)+f(3)=2f(0)，即又因为 f(x)在2 ，3上连续，由介值定理知，至少存在一点12，3 使得 f(1)=f(0) 因 f(0)在0，上连续，在 (0，)上可导，且 f(0)=f()，由罗尔中值定理知，存在 1(0，)
18、，有 f(1)=0 又因为 f(x)在， 1上是连续的，在(， 1)上是可导的，且满足 f()=f(0)=f(1)，由罗尔中值定理知，存在2(， 1)，有 f(2)=0又因为 f(x)在 1， 2上是二阶可导的，f( 1)=f(2)=0，根据罗尔中值定理，至少存在点 (1， 2)，使得 f”()=0【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 (1)令 f(t)=ln(1+t)一 t当 0t1 时， ，故当 0t1 时,f(t)f(0)=0，即当 0t1 时，0ln(1+t)t1 ，从而ln(1+t)ntn(n=1，2，) 又由|lnt|0 得
19、 01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt(n=1，2，)(2)由(1)知，0u n=01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt，因为 01tn|lnt|dt=一 01tn(lnt)dt【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 由 f(x)在区间a ，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而F(x)=f(x)cosx 在 上连续，由积分中值定理，知存在一点使得 在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b) (a，b)使 F()=f()cos 一 f()sin=0 即 f()=f()tan,(a，b)【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 使
20、用分部积分法和换元积分法【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 再对 y 求导，且有已知得， C y(x，y)=(y)=6+y，因为 C(0，0)=10000，所以 C=10000，于是 (2)若x+y=50，则 y=50 一 x(0x50)，代入到成本函数得所以，令得 x=24，y=26 因此总成本最小为 C(24，26)=11118 (3)总产量为 50 件且总成本最小时，甲产品的边际成本为 Cx(24，26)=32，即在要求总产量为 50 件时，在甲产品为 24 件时，改变一个单位的产量，成本会发生 32 万元的改变【知识模块】 一元函数积分学38 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学39 【正确答案】 由于 -f(x)sinxdx 存在，记为 A，于是可得，对右边积分作积分变量变换：x= 一 t，当 x=0 时， t=；当 x= 时，t=0于是【知识模块】 一元函数积分学
