1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 12x(x 一 1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx二、填空题2 =_3 xcos2xdx=_4 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)= +01xf(x)dx，则 f(x)=
2、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 求6 求7 求8 求9 设 f(lnx)= 求f(x)dx 10 设 (x)=0x(x 一 t)2f(t)dt，求 “(x)，其中 f(x)为连续函数11 设 f(x)= 一 01f(x)dx，求 01f(x)dx11 计算下列定积分：12 13 14 15 16 17 18 19 20 求21 求22 计算 1+22 设 f(x)为连续函数，23 证明： 0xf(sinx)dx=24 证明： 02f(|sinx|)dx=25 求26 设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 abf(x)dx=27 求曲线 y
3、3 一|x 2 一 1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当0xl 时，y0；当 1x2 时，yx，所以围成的面积可表示为 (C)的形式，选(C)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】
4、 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 由 f(lnx)=由C1=1+C2，取 C2=C 得【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 (x)=x 20xf(t)dt 一 2x0xtf(t)dt+0xt2f(t)dt， (x)=2x 0xf(t)dt+x2f(x)一20xtf(t)dt 一 2x2f(x)+x2f(x) =2x0xf(t)dt 一 20
5、xtf(t)dt， “(x)=2x 0xf(t)dt+2xf(x)一 2xf(x)=20xf(t)dt， “(x)=2f(x)【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 令 01f(x)dx=A，对 f(x)= 一 01f(x)如两边积分得【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确
6、答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 I=0xf(sinx)dx，则 I=0xf(sinx)dx 0( 一 t)f(sint)(一 dt)=0f( 一 t)f(sint)dt=0( 一 x)f(sinx)dx=0f(sinx)dx 一 0xf(sinx)dx=0f(sinx)dx 一I，则 I=0xf(sinx)dx= 0f(sinx)dx= f(sinx
7、)dx【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 02f(|sinx|)dx=一 f(|sinx|)dx=20f(|sinx|)dx=20f(sinx)dx= f(sinx)dx【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 x0= ，由泰勒公式得 F(a)一 F(x0)+F(x0)(a 一 x0)+ (a 一 x0)3， 1(a，x 0)，F(b)一 F(x0)+F(x0)(6 一 x0)+ (b 一 x0)3， 2(x0，b)，两式相减得 F(b)一 F(a)=F(x
8、0)(b 一 a)+ F“(1)+F“(2)，即abf(x)dx=(b 一 a) f“(1)+f“(2)，因为 f“(x)在a，b上连续，所以存在 1， 2 (a，b)，使得 f“()= f“(1)+f“(2)，从而 abf(x)dx=(b 一 a)【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 取x，x+dx 0，1，d 1=32 一(x 21)2dx=(8+2x2 一 x4)dx，V 1=01d1=01(8+2x2 一 x4)dx，x，x+dx 1，2，d 2=32 一(1 一 x2)2dx=(8+2x2 一 x4)dx，V 2=12d2=12(8+2x2 一 x4)dx，则所求体积为 V=2(V1+V2)=202(8+2x2 一 x4)dx=【知识模块】 一元函数积分学
