1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为可导函数，F(x) 为其原函数，则( )（A）若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数（B）若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数（C）若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数（D）若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数2 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x) 0，令 S1=f(x)dx，S 2=f(b)(b 一 a)，S 3=f(a)+f(b)，则( )（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1
2、S 2（D）S 2S 3S 1二、填空题3 =_4 =_5 =_(其中 a 为常数)6 0+x7e 一 x2dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求8 求9 求10 求11 求12 设 f(x21)= 且 f(x)一 lnx，求(x)dx13 (x)=sinxcos2xln(1+t2)dt，求 (x)14 求 01xarctanxdx15 设 f(x)= 求 02(x 一 1)dx16 设 f(x)=1xe 一 t2dt，求 01x2f(x)dx17 设 y=arctan(x 一 1)2， y(0)=0，求 01y(x)dx18 设 f(t)=1t dx，求 01t2f
3、(t)dx19 求20 求函数 f(x)= (2 一 t)e 一 tdt 的最大值与最小值21 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f(x)|2 证明：| 02(x)dx|222 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积22 设直线 y=kx 与曲线 y= 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 围成平面图形为 D223 求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值；24 求此时的 D1+D2，考研数学三（一元函数积分学）模拟试
4、卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=cosx 一 2，F(x)=slnx 一 2x+C，显然 f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A) 不对；令 f(x)=2x，F(x)=x 2+C，显然 f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，(B)不对；令 f(x)=x2，F(x)= +2，显然 f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若 f(x)为奇函数， F(x)=axf(t)dt，因为 F(一 x)=axf(t)dt 一 axf(一 u)(一 du)=一 axf(u)du=一
5、 aaf(u)du+axf(u)du=axf(u)du=F(x)，所以 F(x)为偶函数，选(D)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在a ，b 上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2S 1S 3，选(B) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】
6、 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 因为(3+sinxcosx)=cos2x，所以【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 令 ex=t，【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 由 f(x21)=再由所以=x+2ln|x 一 1|+C【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 (x)= 一 2ln(1+cos2x)sin2x 一 ln(1+sin2x)cosx【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 0xf(x 一 1
7、)dx=02f(x 一 1)d(x 一 1)=一 11f(x)dx=10 +01ln(1+x)dx=arctanx| 一 10+xln(l+x)|01 一 01【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 01y(x)dx=xy(x)|01 一 01xaxctan(x 一 1)2dx=y(1)一 f(x 一 1)arctan(x一 1)2d(x 一 1)一 01arctan(x 一 1)2dx【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 01t2f(t)dt= 因为 f(1)=0，所以【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 一 10|
8、t|e tdt=一 一 10td(et)，= 一 tet|一 10+一10etdt=一 e 一 1+1 一 e 一 1=1 一 2e 一 1【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值即可令 f(x)=2x(2 一 x2)e 一 x2=0，得 f(x)的唯一驻点为 x= ，当 x(0， )时，f(x)0，当 x( ，+) 时，f(x) 0，注意到驻点的唯一性，则 x= 及 x=一 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 ，因为 f(+)=f(一)= 0+(2 一 t)e 一 tdt=1 及 f(0)=0，所以最小值为
9、 0【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f(1)x，其中 0 1x，f(x)一 f(2)=f(2)(x 一 2)，其中 x 22，于是 从而| 02f(x)dx|02|f(x)|dx=01|f(x)|dx+12|f(x)|dx012xdx+122(2 一 x)dx=2【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 取x，x+dx 0，1，则 d=2(2 一 x)V=01d 一 201(2 一 x)【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由方程组 得直线与曲线交点为因为V“(k)0，所以函数 V(k)当 k= 时取最小值，且最小值为【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因为 S(k)=所以此时【知识模块】 一元函数积分学
