1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 Ik= sin xdx(k=1，2，3)，则有 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I32 设 f(x)=ln x 一 ，则 f(x)= ( )（A）（B）（C） ln x 一 2ex（D）ln x+2ex3 4 5 （A）（B）（C） arctan(-cos 2x)+C（D）6 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f”(x)0，f(x)0已知I2=abf(x)dx，I 3=(b 一 a)f(b)
2、，则 I1，I 2，I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I17 设 N=-aax2sin3xdx， ，Q= -aacos2x3dx，a0，则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ8 若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 04xdx 的值为 ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）69 函数 f(x)= (t2 一 t)dt(x0)的最小值为 ( )（A）（B）一 1（C） 0（D）10 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（A） 0xtf(t)+f(-t)dt（B） 0xtf(
3、t)一 f(-t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt11 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是 ( )（A）y= 0xf(t)dt（B） y=1+0xf(t)dt（C） y=02xf(t)dt（D）y=1+ 02xf(t)dt12 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数13 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kla+(k+1)lf(x)dx 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）
4、与 a 及 k 都有关14 由曲线 (0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( )15 抛物线 y2=2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( )（A）（B） 18（C）（D）8二、填空题16 xx(1+ln x)的全体原函数为_17 18 已知 是 f(x)的原函数，则xf(x)dx=_19 若f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt=_ 20 设 f(x)的一个原函数为 ln x，则 f(x)=_21 若 f(x2)= (x0)，则 f(x)=_22 23 函数 F(x)= (x0)的递减区间为_24 已知 01f(x)dx=
5、1，f(1)=0，则 01xf(x)dx=_25 定积分 x2(sin x+1)dx=_26 设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 y=0xf(x)dx 在(0， 0)处的切线方程是_27 设 f(x)= 则 -20f(x+1)dx=_28 29 0+xe-xdx=_30 考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由 0 可得 I2I 1故 I3I 1，从而I2I 1I 3，故选 (D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由题中所给式子变形得【知识模块】 微积分
6、3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=t6 ,则 dx=6t5dt所以【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 如图 131 所示，C 点坐标(b，0)，D 点坐标(a，0)，I 1 是梯形ABCD 的面积，I 2 是曲边梯形 ABCD 的面积，I 3 是长方形 ABCD 的面积由于f(x)0，f“(x)0，所以 y=f(x)单调减少且图形为凹由图可知 I3I2I1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是奇函数，故 N=0， 是奇函数，故
7、 P=-aa(一 1)dx=一2a0，又 Q=20acos2x3dx0，所以 PNQ【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 从而 04xdx=0+1+2+3=6【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 ，得唯一驻点 处取极小值，因为极值点唯一，极小值即是最小值，最小值为【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 0xf(t)dt 为奇函数，因为其它原函数与此原函数差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C) 中被积函数都是偶函数，选
8、项(D) 中只能确定被积函数为非负函数，故变上限积分不一定是偶函数应选(A) 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处的切线方程为 y=1+2x选项(D)中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标x=0 对应点处的切线方程也为 y=1+2x故应选(D)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2为周期的周期函数，所以又 esinxcos2x0，故选(A) 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是
9、以 l 为周期的周期函数，所以 a+kla+(k+1)lf(x)dx=kl(k+1)lf(x)dx=0lf(x)dx， 故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 B【试题解析】 选 y 为积分变量，如图 132 所示，联立方程，由【知识模块】 微积分二、填空题16 【正确答案】 x x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x x)=(exlnx)=xx(1+ln x)，所以x x(1+ln x)dx=xx+C【知识模块】 微积分17 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分
10、18 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为 是 f(x)的原函数，所以xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)一f(x)dx=【知识模块】 微积分19 【正确答案】 F(t)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因 F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是f(t)dt=F(t)+C【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 由题设知f(x)dx=ln x+C，故 f(x)=(ln x+C)=【知识模块】 微积分21 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 令 t=x2，则【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 此极限属 型，用洛必
11、达法则【知识模块】 微积分23 【正确答案】 e 2，+)【试题解析】 需要考虑 F(x)的导函数 F(x)= 令 F(x)0，即得 xe2【知识模块】 微积分24 【正确答案】 一 1【试题解析】 此积分的计算要用分部积分法，即 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x)|01 一01f(x)dx=一 1【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【试题解析】 x 2sin x 是奇函数，故在 上的积分值为 0所以【知识模块】 微积分26 【正确答案】 y=x【试题解析】 曲线在(0，0)处切线的斜率 k=y|x=0=0xf(t)dt|x=0=f(0)=1所以曲线在(0， 0)处的切线方程为 y=x【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=t，有原积分= -11f(t)dt=-10(t+1)dt+01t2dt=【知识模块】 微积分28 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 是奇函数，在对称区间一 2，2上积分为零【知识模块】 微积分29 【正确答案】 1【试题解析】 原积分=一 0+xde-x=一 xe-x|0+0+e-xdx=0+e-xdx=一 e-x|0+=1【知识模块】 微积分30 【正确答案】 ln 3【试题解析】 因 是奇函数，故 =0所以原积分=ln(2+x2)|02=ln6-ln2=ln3【知识模块】 微积分
