1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 设 f(x)=0sinxsin 2tdt，g(x)= 02xln(1+t)dt则当 x0 时，f(x)与 g(x)相比是( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小二、填空题4 5 6 0tsin tdt=_7 8 0xsin(x-t)2dt=_9 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 _10 11 抛物线 y2=ax(a0)与 x=1 所围图形面积为 则 a=_12 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所
2、围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_13 函数 y=ln x 在区间1， e上的平均值为_ 14 15 16 设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_17 18 已知函数 F(x)的导数为 f(x)= ，则 F(x)=_19 20 21 x2sin 2xdx=_22 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 f(x)= ，求f(x)dx24 求xsin 2xdx25 求不定积分26 求下列积分：27 计算28 已知 f(x)连续，且 0xtf(xt)dt=1 一 cos x，求 f(x)dx 的值29 求不定积分30 设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线
3、 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积31 如图 131 所示，设曲线方程为 梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0证明：32 求不定积分33 求不定积分34 已知 f(x)的一个原函数为(1+sin x)ln x，求xf(x)dx35 考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解
4、析】 需要计算 f(x)与 g(x)比值的极限故当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 (x2 一 1)+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 0tsin tdt=-0td(cos t)=-tcos t|0+0cos tdt=【知识模块】 微积分7 【正确答案】 2(e 2+1)【试题解析】 02etd(t2)=202tetdt=202td(et)=2tet|02-202etdt=2(e2+1)【知识模块】 微
5、积分8 【正确答案】 sin x 2【试题解析】 令 xt=u，则原式=【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 平面图形面积 S=-12(x+2 一 x2)dx=【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 令 则 x=t2+2，dx=2tdt，【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1【试题解析】 y 2=ax 与 x=1 所围图形面积【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体体积 V=01(x3)2dx=【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 平均值【知识模块】 微积分14 【正确答案】 ln2(tan x)+C，其中 C 为任意常数【
6、试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 xln x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=ln u，由 f(ex)=1+x，得 f(u)=1+lnu，f(u)=f(1+lnu)du=ulnu+C， 因此 f(x)=xln x+C【知识模块】 微积分17 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 由题意 F(x)=f(x)= 故【知识模块】 微积分19 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分20 【正
7、确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 =一ln(x+1)一 ln xdln(x+1)一 ln x=【知识模块】 微积分21 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1；当 0x1 时，f(x)dx=xdx=当 x0 时，f(x)dx=sin xdx=一 cos x+C3因为 f(x)在(一，1)内连续，所以f(x)dx 在(一 ，1)内存在，因而 f(x)dx 在 x=0
8、 处连续可导，因此，C 2=一 1+C3，C 3=1+C2又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故其中 C1 和 C2 是两个相互独立的任意常数【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (1)本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方 其中 C 为任意常数 (2)因 x=一(1 一 x)一 1，从而可用凑微分法(3)本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数、偶函数在对称区间上的积分性质简化计算，本题还用到了
9、华里士公式【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 xt=u，有 0xtf(x-t)dt=0x(x-u)f(u)du于是 x 0xf(u)du 一 0xuf(u)du=1 一 cos x两边对 x 求导，得 0xf(u)du=sin x令【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 【知识模块】 微积分34 【正确答案】 由于xf(x)dx=xf(x) 一f(x)dx，又由于(1+sin x)ln x 为 f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sin x)ln x=cos xln x+ 且f(x)dx=(1+sin x)ln x+C 1，故【知识模块】 微积分35 【正确答案】 【知识模块】 微积分
