1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、填空题1 设位于曲线 下方，x 轴上方的无界区域为 G，则 G绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_.二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设函数 f(x)在0，上连续，且 试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使( 1)=f(2)=03 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 证明至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1-1)f()4 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足证明5 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0. 证
2、明：对任何a0，1，有5 设 f(x)是周期为 2 的连续函数6 证明任意的实数 t，有7 证明 是周期为 2 的周期函数7 设 f(x)，g(x) 在区间-a ，a(a0) 上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数 )8 证明 ；9 利用（1）的结论计算定积分 ；10 求曲线 ，直线 x=2 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积.10 已知一抛物线通过 x 轴上的两点 A(1，0)，B(3 ，0)11 求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等丁 x 轴与该抛物线所围图形的面积；12 计算上述两个平面图形绕 x 轴旋转一周所产生的
3、两个旋转体体积之比.13 求曲线 y=x2-2x，y=0，x=1，x=3 所围成的平面图形的面积 5，并求该平面图形绕)，轴旋转一周所得旋转体的体积 V.14 已知抛物线 y=Px2+qx(其中 P0)在第一象限内与直线 x+Y=5 相切，且抛物线与 x轴所围成的平面图形的面积为 S 问 p 和 q 为何值时，S 达到最大值? 求出此最大值考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 5 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2/4【知识模块】 一元函数积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 从而推知在(0，)内除 1 外 f(x)=0 至少还有另一实根 2，故知存在
4、 1， 2(0，)，12，使得 f(1)=f(2)=0.【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 令 F(x)=xe1-x 于是 F(1)=f(1)，由积分中值定理得，存在满足 0从而 F(x)在c，1上满足罗尔定理条件，故存存 (c，1) (0，1)，使 F()=0，e 1-f()-(1-1)f()=0而 e1-0，故 f()-(1-)f()=0，即 f()=(1- -1)f()【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 注意到函数 f(x)在区间0，1 上单凋非减，而 g(x)在区间0，1 上非负，不难发现上面最后所得定积分的被积函数非负
5、从而对任何 a 0， 1 这个定积分的积分值非负，即原不等式成立【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 设过 A、B 两点的抛物线方程为 y=a(x-1)(x-3)，则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为 S1= 抛物线与 x 轴所围图形面积为 S2=所以 S1=S2.【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 所以 V1/V2=19/8【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 所以 S=S1+S2=2.平面图形S1 绕 y 轴旋转一周所得的体积 V1= 平面图形 S2 绕 y轴旋转一周所得的体积 V2= 所以所求体积V=V1+V2=9.【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
