1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 a 取下列哪个值时，函数，(x)=2x 3-9x2+12x-a 恰有两个不同的零点（A）2（B） 4（C） 6（D）82 以下四个命题中，正确的是（A）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界.（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1) 内有界3 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f
2、“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，) ，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散4 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“MN”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数甘f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3 的规范形为( )（A）2y 12+y22+y32
3、 （B） y12-y22-y32（C） 2y12-y22-y32（D）y 12+y22+y326 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是( ) （A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换必可化为(E m，0)的形式 7 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、反面各出现一次，A 4正面出现两次 ，则事件( ) （A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互
4、独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立8 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x12-4x2x3 的正惯性指数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）39 设向量组() ： 1=(11， 21， 31)T， 2=(12， 22， 32)T， 3=(12， 23， 33)T， 向量组( )： 1=(11， 21， 31,41)T， 2=(12， 22， 32,42)T， 3=(12， 23， 33,43)T，则 ( )（A）若()相关，则( )相关（B）若 ()无关，则( ) 无关（C）若 ()无关，则( ) 无关（D）() 无关当且仅
5、当 () 无关 10 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有 2 个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列温度值，则事件E 等于( )（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C） T(3)t0（D）T (4)t0 11 设 A 与 B 均为 n,阶矩阵，且 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） det A=det（C） A 与 B 相似（D）r(A)=r(B)12 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=3x12+
6、cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3 的秩为 2，则 c 的值为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）313 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3 的秩等于( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）314 A，B 是两个事件，则下列关系正确的是( ) （A）(A-B)+B=A（B） AB+(A-B)=A（C） (A+B)-B=A （D）(AB+A)-B=A 二、填空题15 y=2x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_.16 设生产函数为 Q=ALK，其巾 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A、
7、 均为大于零的参数，则 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_.17 设某商品的需求函数为 Q=160-2p，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是_.18 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对价格 P 的弹性 P=2，则当需求量为 10000件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_元19 设某商品的收益函数为 R(P)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为价格，且 R(1)=1，则R(P)=_.20 求曲线 y=4/x 和直线 y=x 及 y=4x 第一象限中围成平面图形盼面积为_.21 当 k=_时，向量 =(1，k，5)能由向量 1=(1，
8、-3，2)， 2=(2，-1，1)线性表示22 已知 =(3，5，7，9) ，=(-1，5，2，0)，x 满足 2+3x=，则 x=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1试证：23 存在 (1/2，1)，使 f()=；24 对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=125 求函数 f(x)=(1-x)/(1+x)在 x=0 点处带拉格朗口余项的 n 阶泰勒展开式26 设向量组 1， 2， s 线性无关，作线性组合1=1+1s， 2=2+2s， s-1=s-1
9、+s-1s，则向量组 1， 2， s-1 线性无关，其中 s2， i 为任意实数考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 B【
10、知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 T (1)t0(或T (2)t0)表示至少有 4 个(或 3 个)温控器不低于临界温度t0，故排除(A)，(B)，而T (4)t(0)至少有一个温控器不低于临界温度 t0，故排除(D)，而由 E 包含于T (3)t0)，T (3)t0包含于 E 得 E=T(3)t0，故答案为(C)【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题15 【正确答案】
11、 ln n2/n!【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 -/【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 40【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 4000【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 Pe 1/3(P3-1)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 4ln2【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 -8【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (-7/3 ， -5/3，-4,-6)【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 (x)=f(x)-x，则
12、(x)在0，1上连续又 (1)=-10由介值定理可知，存在 （1/2，1)，使得 ()=f()-=0，即 f()=【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 要证 f()-f()-=1，即要证f()-1-f()-=0，记 (x)=f(x)-x，也就是要证 (f)-()=0 构造辅助函数 F(x)=e-x(x)=e-xf(x)-x，不难发现 F(x)在0， 上满足尔尔定理的全部条件，故存在 (0，)，使 F()=0，即 e-x()-()=0，而 e-x0，从而有 ()-()=0，即 f()-f()-=1【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由 f(x)=2/(1+x)=2(1+x)
13、-1-1，f(z)=2(-1)(1+x) -2， f“(x)=2(-1)(-2)(1+x)-3， 不难看出 f (n)(x)=2(-1)nn!(1+x)-(n+1)， f (n)(0)=2(-1)nn!(n=1，2，)， (1-x)/(1+x)=1-2x+2x2+.+(-1)n2xn+(-1)n+1(2xn+1)/(1+x)n+1(0【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 证明 设存在 k 1， k 2， k s-1，使得 k11+k22+ks-1s-1=，即k1(1+1s)+k2(2+2s)+ks-1(s-1+s-1s)=，展开整理得： k11+k22+ks-1s-1+(k11+k22+ks-1s-1)s=， 由题设， 1， 2， s 线性无关，所以 k1=k2=ks-1=k11+k22+ks-1s-1=0， 故 1， 2， s-1 线性无关【知识模块】 一元函数积分学
