1、考研数学三（定积分及应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列广义积分发散的是( ) 2 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x)0，令则( )（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 13 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( ) 二、填空题4 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 也是以 T 为周期的连续函数，则 b=_5 6 7 8 9 设 f(x)在0，1上连续，且 则 f(x)=_10 设 f(x)C1，+)，广义积
2、分 收敛，且满足则 f(x)=_11 设 则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 y=arctan(x一 1)2，y(0)=0 ，求13 14 15 16 计算下列定积分： 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 求函数 的最大值与最小值29 计算30 计算31 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 32 设 f(x)在a，b上连续，证明：32 设 f(x)为连续函数，33 证明：34 证明：35 求36 证明：37 设 f(x)连续，证明：38 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x
3、)一 f(y)|arctanxarctany|，又f(1)=0，证明：考研数学三（定积分及应用）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 中，x=0 为该广义积分的瑕点，且 sinxx 1，由 11，得广义积分 发散； 对为该广义积分的瑕点，同理 也收敛，故 收敛； 中，e=x -x2 为连续函数，因为 收敛；根据广义积分收敛的定义， 收敛，选(A)【知识模块】 定积分及应用2 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在a ，b 上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S213，选(B)【知识模块】 定积分及应用
4、3 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)【知识模块】 定积分及应用二、填空题4 【正确答案】 由F(x+T)=F(x)，得【知识模块】 定积分及应用5 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用6 【正确答案】 因为 为奇函数，所以 为奇函数，【知识模块】 定积分及应用7 【正确答案】 因为在一 a，a 上连续的函数 f(x)有所以【知识模块】 定积分及应用8 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用9 【正确答案】 令 则
5、两边积分得 即 所以从而【知识模块】 定积分及应用10 【正确答案】 令 则由 得 解得 所以【知识模块】 定积分及应用11 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用13 【正确答案】 因为 f(1)=0，所以 【知识模块】 定积分及应用14 【正确答案】 令 则 f(x)=sin3x+A， xf(x)=xsin 3x+Ax 两边积分得 即从而故【知识模块】 定积分及应用15 【正确答案】 由定积分的奇偶性得 【知识模块】 定积分及应用16 【正确答案】 (1)方法一 方法二 (3)方法一 方法二
6、知识模块】 定积分及应用17 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用18 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用19 【正确答案】 由得 【知识模块】 定积分及应用20 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用21 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用22 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用23 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用24 【正确答案】 因为 为奇函数， 所以【知识模块】 定积分及应用25 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用26 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用27 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用28 【正确答案】 因为 f(x)为偶函
7、数，所以只研究 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值即可 令 f(x)=2x(2一 x2)e-x2=0，得 f(x)的唯一驻点为 当 时，f(x)0，当 时，f(x) 0，注意到驻点的唯一性， 则为函数 f(x)的最大值点，最大值为 因为 及 f(0)=0，所以最小值为 0【知识模块】 定积分及应用29 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用30 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则 【知识模块】 定积分及应用31 【正确答案】 令 因为 f(x)在a，b上连续，且f(x)0， 所以 由零点定理，存在(a， b)，使得 g()=0，即【知识模块】 定积分及应用32 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用【知识模块】 定积分及应用33 【正确答案】 令 则 【知识模块】 定积分及应用34 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用35 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用36 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用37 【正确答案】 方法一 命题得证 方法二 因为 所以取 x=0 得 C0=0，故 【知识模块】 定积分及应用38 【正确答案】 由得 【知识模块】 定积分及应用
