1、考研数学三（定积分及应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可表示为( ) 2 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x) 及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( ) 3 在曲线 y=(x 一 1)2 上的点 (2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) 二、填空题4 设 f(x)二阶
2、连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则5 6 7 8 9 10 设 f(x)连续，则11 曲线 y=x4e-x2(x0)与 x 轴围成的区域面积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(a)=f(b)=0，12 求13 证明：14 设 f(x)在区间0，1上可导， 证明：存在 (0，1)，使得 2f()+f()=015 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 16 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且证明：存在 (0，)，使得 f()=017 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f
3、(2)=0，且|f(x)|证明： 18 设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 19 求曲线 与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积20 求曲线 y=x2 一 2x 与直线 y=0，x=1，x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V20 设 L：y=e -x(x0)21 求由 y=e-x、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)22 设 求 c22 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数23 证明：存在 c(0，1) ，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面
4、积等于区间c， 1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；24 设 f(x)在(0，1)内可导，且 证明(1) 中的 c 是唯一的25 求圆 x2+y2=2y 内位于抛物线 y=x2 上方部分的面积26 设 L： 由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S1(t)；由y=sint，L 及 x= 围成面积 S2(t)，其中 (1)t 取何值时，S(t)=S 1(t)+S2(t)取最小值? (2)t 取何值时， S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?27 设 求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积28 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2
5、之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 求曲线 C2 的方程 29 设曲线 y=a+xx3，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a30 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 31 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 32 求曲线 y=3 一|x 2
6、 一 1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 33 求由曲线 y=4 一 x2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积34 过曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积35 设曲线 与 x 轴、y 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所得立体体积为 V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问以为何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值36 设一抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)与(1 ，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛
7、物线与 x 轴所围图形的面积最小36 设直线 y=kx 与曲线 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 同成平面图形为 D237 求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值；38 求此时的 D1+D2考研数学三（定积分及应用）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 的极坐标形式为 r2=cos2，再根据对称性，有 选(A)【知识模块】 定积分及应用2 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，x+dx
8、a，b， dv=m g(x)2 一 m一 f(x)2)dx=2m一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx， 则 选(B)【知识模块】 定积分及应用3 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x 一 1)2 上点(2，1)的法线方程为 该法线与x 轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 选(D)【知识模块】 定积分及应用二、填空题4 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用5 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用6 【正确答案】 令则故【知识模块】 定积分及应用7 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用8 【正
9、确答案】 【知识模块】 定积分及应用9 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用10 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用11 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 定积分及应用12 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用13 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用14 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得其中 即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2()+2f()=0，注意到 0，
10、故 2f()+()=0【知识模块】 定积分及应用15 【正确答案】 令 显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 所以即【试题解析】 由 得即 则辅助函数为【知识模块】 定积分及应用16 【正确答案】 令 因为 F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，) ，使得 F(x 1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)=0 设 x1 是 f(x)在(0，) 内唯一的零点，则当 x(0，) 且 xx1 时，有 sin(xx)f(x)恒正或恒负，于是而矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设
11、f(x1)=f(x2)=0，x 1，x 2(0，) 且 x12， 由罗尔定理，存在 (x，) (0，) ，使得 f()=0【知识模块】 定积分及应用17 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f(1)x，其中 0 1x， f(x)一 f(2)=f(2)(x 一 2)，其中 x 22，于是 从而【知识模块】 定积分及应用18 【正确答案】 令 则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取由泰勒公式得 两式相减得 即 因为 f“(x)在a ，b上连续，所以存在 1， 2 (a，b)，使得 从而 【知识模块】 定积分及应用19 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用20 【正确答案】 区
12、域面积为【知识模块】 定积分及应用【知识模块】 定积分及应用21 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用22 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用【知识模块】 定积分及应用23 【正确答案】 即证明 S1(f)=S2(c)，或根据罗尔定理，存在c(0，1)，使得 (c)=0，即 所以 S1(c)=S2(c)，命题得证【知识模块】 定积分及应用24 【正确答案】 令 因为 h(x)=2f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在0， 1上为单调函数，所以(1) 中的 c 是唯一的【知识模块】 定积分及应用25 【正确答案】 由 得 所围成的面积为 【知识模块】 定积分及应用26 【正确答案】
13、(1)当时，S(t)最小，且最小面积为 (2)当 t=0 时，S(t)最大，且最大面积为 S(0)=1【知识模块】 定积分及应用27 【正确答案】 当一 1 当 x0 时，故所求的面积为【知识模块】 定积分及应用28 【正确答案】 由题设 C：y=x 2，C 1： 令 C2：x=f(y)，P 点坐标为(x，y)，则 所以 因为 PC，所以有即 两边对 x 求导，得即 从而 C2 的方程为 即【知识模块】 定积分及应用29 【正确答案】 设曲线 y=a+xx3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，( ) ，由条件得 移项得 因为 0，所以 4a+2 一 3=0 又因为(，0) 为曲线 y=a+xx
14、3 与 x 轴的交点，所以有 + 3=0，从而有【知识模块】 定积分及应用30 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用31 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用32 【正确答案】 取x，x+dx 0，1， dv 1=32 一(x 2 一 1)2dx=(8+2x2 一 x4)dx， x ，x+dx 1，2， dv 2=32 一(1 一 x2)2dx=(8+2x2 一 x4)dx， 则所求体积为【知识模块】 定积分及应用33 【正确答案】 方法一 取x，x+dx 一 2，2，则 dV=2(3 一 x)(4 一 x2)dx， 方法二 取y，y+dy0， 4， 【知识模块】 定积分及应用34 【
15、正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y 一 a2=2a(xa)，即y=2axa2， 由题意得 解得 a=1， 则切线方程为 y=2x 一 1，旋转体的体积为【知识模块】 定积分及应用35 【正确答案】 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4一 a曲线可化为 对任意的x， x+dx 0，a， 于是根据对称性，有 于是 V(a)=V1(a)+V2(a)= (4 一 a) 令 所以a=2 时，两体积之和最大，且最大值为【知识模块】 定积分及应用36 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2 一 a 因为 a0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， 所以 令 S(a)=0，得 a=一 4，从而 b=6，所以当 a=一 4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 定积分及应用【知识模块】 定积分及应用37 【正确答案】 由方程组 得直线与曲线交点为【知识模块】 定积分及应用38 【正确答案】 因为所以此时 【知识模块】 定积分及应用
