1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (10 年 )若 1，则 a 等于 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）32 (10 年 )设 f()ln 10，g()，h() ，则当 充分大时有 【 】（A）g()h()f()（B） h()g()f() （C） f()g()h()（D）g()f() h()3 (11 年 )已知当 0 时，函数 f()3sinsin3 与 ck 是等价无穷小，则 【 】（A）k1，c 4（B） k1，c4（C） k3，c4（D）k3，c 44 (13 年 )当 0 时，用“o()”表示
2、比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 【 】（A）.o( 2)o( 3)（B） o().o(2)o( 3)（C） o(2)o( 2)o( 2)（D）o()o( 2)o( 2)5 (13 年 )函数 f() 的可去间断点的个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）36 (14 年 )设 ana，且 a0，则当 n 充分大时有 【 】（A）a n（B） an（C） ana （D）a na7 (14 年 )设 p()ab c 2d 3当 0 时，若 p()tan 是比 3 高阶的无穷小，则下列结论中错误的是 【 】（A）a0（B） b1（C） c0（D）d8 (15 年 )设 n是数列下列命
3、题中不正确的是 【 】（A）（B）（C）（D）9 (87 年 )若 f()在(a，b)内可导且 a 1 2b，则至少存在一点 ，使得 【 】（A）f(b)f(a)f()(ba) (ab)（B） f(b)f( 1)f()(b 1) (1b)（C） f(2)f( 1)f()( 2 1) (1 2)（D）f( 2) f(a)f()( 2a) (a 2)10 (90 年) 设函数 f()对任意的 均满足等式 f(1) af()，且有 f(0)b，其中a、b 为非零常数，则 【 】（A）f()在 1 处不可导（B） f()在 1 处可导，且 f(1)a （C） f()在 1 处可导，且 f(1)b（D）
4、f()在 1 处可导，且 f(1)ab 二、填空题11 (12 年) _12 (15 年) _13 (16 年) 已知函数 f()满足 2，则 f()_14 (89 年) 曲线 y sin 2 在点( )处的切线方程是_15 (90 年) 设 f()有连续的导数，f(0)0 且 f(0)b ，若函数 在 0 处连续，则常数 A_16 (91 年) 设曲线 f() 3a 与 g()b 2c 都通过点(1，0)，且在点(1，0)有公共切线，则 a_ ，b_，c _ 17 (91 年) 设 f()e ，则 f(n)()在点 _处取极小值_18 (92 年) 设商品的需求函数 Q1005p，其中 Q、
5、p 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于 1，则商品价格的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (11 年) 求极限20 (12 年) 求极限 21 (13 年) 当 0 时，1cos.cos2.cos3 与 an 为等价无穷小，求 n 与 a 的值22 (14 年) 求极限23 (15 年) 设函数 f()aln(1 )bsin，g() k3若 f()与 g()在 0 时是等价无穷小，求 a，b，k 的值24 (16 年) 求极限25 (87 年) 设 y ，求 y26 (89 年) 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 PP(
6、)10 且最大需求量为 6，其中 表示需求量，P 表示价格 (1)求该商品的收益函数和边际收益函数； (2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格； (3)画出收益函数的图形27 (90 年) 设 f()在闭区间0，c 上连续，其导数 f()在开区间(0，c) 内存在且单调减小，f(0)0，试应用拉格朗 El 中值定理证明不等式f(ab)f(a) f(b)其中 a、b 满足条件 0ababc28 (91 年) 试证明函数 f() 在区间(0，)内单调增加29 (92 年) 设函数 问函数 f()在 1 处是否连续 ?若不连续，修改函数在 1处的定义使之连续考研数学三（微积分）历年真题试卷汇
7、编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 则 a2【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 则当 充分大时 h()g() 则当 充分大时，g()f()，故应选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 则 k 3， 1，c4【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 若取 o() 2，则 故应选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 f() 在 1，0，1 处没定义 则 0 和 1 为可去间断点，故应选 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由
8、a，且 a0知， a na0，则当 n 充分大时有 a n 故应选 A【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 由 0 时，tan 3 知，tan 的泰勒公式为 tan 3o( 3) 又 则 a0，b1，c 0，d ，故应选 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 如 3n 则 从而 1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()在(a，b) 内可导知，f() 在 1， 2上连续，在( 1， 2)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使 f( 2)f( 1)f()( 2 1) 1 2 所以应选 C选项 A、B、D 均不正确因为由 f()在(a
9、，b)内可导，不能推得 f()在a，b， 1，b，a， 2上连续，故选项 A、B、 D 选项均不满足拉格朗日中值定理条件【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 在 f(1)af() 中，令 0 得 f(1)af(0) 所以，应选 D【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 这是“1 ”型极限，由于【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 6【试题解析】 由 2，及 (e31)0，知 故 f()6【知识模块】 微积分14 【正确答案】 y 1【试题解析】 y12sincos， 1 该曲线在点( )处的切线方
10、程是 ，即 y1【知识模块】 微积分15 【正确答案】 a b【试题解析】 由于 F()在 0 连续，则 AF(0) ba【知识模块】 微积分16 【正确答案】 1；1；1【试题解析】 由于曲线 f()和 g()都通过点(1，0)，则 01a，0b c 又曲线 f()和 g()在点( 1，0)有公共切线，则 f(1)3 2a 1 3ag( 1)2b 1 2b 即 3a2b ，又01a，0b c 则 a1，b1，c1【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (n1)； 【试题解析】 由高阶导数的莱不尼兹公式(UV) n 可知， f (n)()(n)e，f (n+1)()(n1)e ，f (n+2)
11、()(n2)e 令 f(n-1)()0，解得 f(n)()的驻点(n 1)又 f(n+2)(n1)e -(n+1)0， 则 (n1)为 f(n)()的极小值点，极小值为 f(n)(n 1)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (10，20【试题解析】 由 Q1005p，得 Q(p)5，需求弹性为 令 1，得 p20 或 10p 20 又由 Q(p)1005p 0，得最高价格为 P20所以商品价格的取值范围是(10，20【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由于当
12、 n2 时， 所以 ， 由题设知 1，故a7 当 n2 时，显然不合题意所以 a7，n2【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 ln(1) o( 3) sin o( 3) 则 f()(1 a)o( 3) 由于当 0 时，f()k 3，则 故a1，b ，k 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (1)收益函数 R()p10 06 边际收益函数为 MR (2)由 0 得 2 又 因此 R()在 2 取得极大值，又因为极值点唯一，则此极大值必为最大值，最大值为 R(2) 所以，当
13、产量为 2 时，收益取最大值，收益最大值为 而相应的价格为 (3)由以上分析可列下表，并画出收益函数的图形(见图 21)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 要证 f(ab)f(a) f(b) ，就是要证明 f(ab)f(a)f(b)0 又f(0)0，所以，只要证明 f(ab)f(a)f(b)f(0)0 而 f(ab)f(a)f(b)f(0)f(ab) f(b)f(a) f(0) f( 2)af( 1)aaf( 2)f( 1) 01a，b 2ab 又 f()单调减少，则 f(2)f(1)，从而有 f(ab)f(a)f(b) f(0)0 故 f(ab)f(a)f(b)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 f() f() 令 g() ，只要证明 g()0，(0 ， ) 以下有两种方法证明 g()0，一种是利用单调性，由于 g() 0，故函数 g()在(0，) 上单调减，又 0，由此可见 g() 0 (0，) 另一种是利用拉格朗 H 中值定理，因为 而 则 从而对一切的 (0， )有 故函数 f()在(0，)上单调增加【知识模块】 微积分29 【正确答案】 而 f(1)1，故 f()f(1)，所以 f()在 1 处不连续 若令 f(1) ，则函数 f()在 1 处连续【知识模块】 微积分
