1、考研数学三（微积分）模拟试卷 104 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 z=x2+y2 一 2lnx一 2lny(x0，y0)，则下列结论正确的是（A）函数 z 有四个驻点，且均为极小值点（B）函数 z 有四个驻点，且均为极大值点（C）函数 z 有四个驻点，其中两个为极大值点，两个为极小值点（D）函数 z 有二个驻点，其中一个为极大值点，一个为极小值点2 设平面区域 D1=(x，y)x 2+y2R2，D 2=(x，y)x 2+y2R2，x0，D3=(x，y) x 2+y2R2，x0，Y0 ，则必有（A）（B）（C）（D）3 设平面区域 D1=(x
2、，y)x+y1 ，D 2=(x，y)x 2+y21，D 3=则（A）I 1I 2 I3 （B） I1I 3I 2 （C） I3I 1I 2 （D）I 3I 2 I1二、填空题4 设 D=(x， y)2xx 2+y2，0yx2，则 =_。5 交换积分次序： 01x23-xf(x，y)=dy=_ 6 累次积分 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 将下列累次积分交换积分次序：8 计算累次积分9 计算10 设区域 D 是由直线 y=x 与曲线11 求12 计算13 计算 其中 D 由 y=ex，y=2 和 x=0 围成的平面区域14 设 其中D=(x，y) ；x 2+y22x15
3、 设 x=rcos，y=rsin，将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次积分16 计算二重积分 其中积分区域 D 由直线 y=一 x，y=x，x=一 1以及 x=1 围成17 交换下列累次积分的积分顺序：19018 计算二重积分 其中 D 是两个圆：x 2+y21 与(x 一 2)2+y24 的公共部分19 计算二重积分 其中 D 是曲线 y=lnx 与 y=2lnx 以及直线 x=e 所围成的平面区域20 求 其中 D 是由曲线 xy=2，直线 y=x 一 1 及y=x+1 所围成的区域21 计算二重积分 其中 D 是由曲线 y=ex 与直线 y=x+1 在第一象限围成的无界区域2
4、2 设 f(x)在a，b上连续，求证：考研数学三（微积分）模拟试卷 104 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 所以有四个驻点(一1，1)， (一 1，一 1)，(1，一 1)，(1，1)又故有 ACB20，且A0从而以上四个驻点均为极小值点选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由积分区域和被积函数的奇偶性判断可知(B)正确在(A)中所以(A)错误在(C) 中 所以(C)错误在(D)中 所以(D) 错误【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 易见三个积分区域 D1，D 2，D 3 各自分
5、别关于 x 轴对称，又各自分别关于 y 轴对称，记它们各自在第一象限的部分区域为 D11,D21，D 31再利用被积函数 f(x，y)= xy分别关于变量 x 与变量 y 都是偶函数，从而有因为三个积分区域 D11,D21，D 31 的左边界都是 y轴上的直线段(x，y)x=0，0y1 ，下边界都是 x 轴上的直线段(x ，y)1 0x1，y=0，而 D11 的上边界是直线段 (x，y)0x1，y=1 一 x，D 21 的上边界是圆弧 ，D 31 的上边界是曲线弧 (x，y)0x1，不难发现当 0x1 时即三个积分区域 D11,D21 与 D31的包含关系是 ，如图 41从而利用被积函数xy非
6、负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是 I3I 1I 2，即应选(C)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 采用极坐标计算首先画出 D 的图形 (如图 43),x 2+y2=2x 的极坐标方程为 =2cos；x=2 的极坐标方程为 =2sec；y=x 的极坐标方程为 ，故【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，积分区域由 x=0，x=1，y=x 2，y=3 一 x 所围成，即积分区域 D=D1+D2+D3(如图 44)，且 D1=(x，y)0y1，0x ，D2=(x，y)1y2 ，0x1，D 3=(x，y)2y3 ，0x3 一 y，于是交换积
7、分次序得【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 如图 45，在(，P)平面上交换积分次序，有【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 (I)首先画出积分域如图 47 所示交换积分次序后原积分可以写成 ()画出积分域，如图48 所示由图可知，交换积分次序后原积分成为 -10dx-x2-x2(x，y)dy+ 01dxx2-x2 一f(x，y)dy【知识模块】 微积分8 【正确答案】 积分区域图形如图 49，由被积函数的形式，可以看出应先对 x积分，故交换积分次序，得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 由累次积分知积分区域 D 如图 4 1
8、0，由被积函数和区域 D 看出，本题在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中计算较方便 在极坐标下的方程为 在极坐标下的方程为 r=2cos，且 D=D1+D2，其中【知识模块】 微积分10 【正确答案】 区域 D 如图 411，在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中它可表示为【知识模块】 微积分11 【正确答案】 作出区域 D 的平面图形，如图 412将 D 分割成 D1 与 D2，则D=D1+D2，其中此时，如果欲想分别积分 的原函数没有初等函数的表达式(即不可积类型)， 无法继续计算下去由此看来，在计算二重积分选择积分次序时，不但要考虑积分区域的特点，同时还要考虑被积函数的特点当按
9、某种积分次序遇到困难无法进行下去时，马上应考虑换另一种积分次序进行【知识模块】 微积分12 【正确答案】 积分区域 D 为扇形(见图 413)：【知识模块】 微积分13 【正确答案】 积分区域如图 414由被积函数形式可以看出，此积分只能先对 x 积分，故【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 f(x，y)的定义域和 D 确定的积分区域如图 415 中的 D1，即【知识模块】 微积分15 【正确答案】 本题中积分区域如图 416 中阴影部分所示将其化为极坐标，可知 由于 =1 一 x 可表示为 rsin=1 一 rcos，即 而2=2x 一 x2 可表示为 r=2cos，故 从而原积分可化
10、为【知识模块】 微积分16 【正确答案】 积分区域 D 分别关于 x 轴与 y 轴对称，如图 417由于被积函数 分别是 x 与 y 的偶函数，从而其中 D1 是 D 在第一象限的部分因被积函数的表达式中包含 ，采用极坐标系 x=rcos，y=rsin 来计算较简，这时【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (I)由题意知，积分区域 D=D1D2，其中 D1=(x，t)0x1，1一 x2y1， D 2=(x，y)1xe，lnxy1 ，见图 418，交换积分顺序得()由 I2 可知，D=D 1 D2，其中见图 4.19，交换积分顺序得，I 2=01dxx32-xf(x,y)dy.【知识模块】 微
11、积分18 【正确答案】 积分区域 D 如图 420 所示由于被积函数 f(x，y)=y 关于 x 轴对称，积分区域 D 也关于 X 轴对称，所以积分值为 0【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 作出 D 的平面图形如图 421因积分区域关于原点 O 对称，被积函数又是 x 与 y 的偶函数，故【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由题设知 D=(x，y)0x+， x+1yex，(如图 422)设常数 b0，且【知识模块】 微积分22 【正确答案】 设积分区域 D=(x，y)axb， byb，由 abf(c)dx=abf(y)dy 可知二重积分【知识模块】 微积分
