1、考研数学三（微积分）模拟试卷 105 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 an0，n=1，2，若 收敛，则下列结论正确的是（A）（B）（C）（D）2 下述各选项中正确的是（A）（B）（C）（D）3 设 a 为常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 a 的取值有关4 若级数 在 x=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定5 设（A）发散的正项级数（B）收敛的正项级数（C）发散的交错级数（D）收敛的交错级数6 已知级数 条件收敛，则常数 p 的取值范围是（A）（B）（C
2、）（D）7 下列命题中正确的是（A）若幂级数 的收敛半径为 R0，则（B）若极限 不存在，则幂级数 没有收敛半径（C）若幂级数 的收敛域为一 1，1，则幂级数 的收敛域也为一 1， 1（D）若幂级数 的收敛域为一 1，1，则幂级数 的收敛域也为一 1，18 设幂级数 在点 x1=一 2 处条件收敛，则幂级数在点 x2= 处（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）其敛散性与 a 的取值有关二、填空题9 设级数 的部分和=_10 幂级数 的收敛半径为_11 幂级数 的收敛域是_12 幂级数 的收敛域为_13 幂级数* 的收敛域为_14 幂级数 的和函数是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
3、或演算步骤。15 判别下列级数的敛散性：16 判别下列级数的敛散性若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛17 讨论级数 的敛散性，其中x n是方程 x=tanx 的正根按递增顺序编号而得的序列18 讨论级数 的敛散性与参数 P，x 的关系19 已知函数 y=y(x)满足等式 y=x+y，且 y(0)=1，试讨论级数的收敛性20 设 f(x)在 一 2，2上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)= -xxf(x+t)dt，证明级数绝对收敛21 将下列函数在指定点处展开成幂级数：(I)f(x)=lnx，分别在 x=1 与 x=2 处；( )在 x=1 处22 将函数 在点 x0=1 处展开成幂级数
4、，并求 f(n)(1)23 求幂级数 的收敛半径与收敛域24 求幂级数 的收敛域，并求其和函数25 求下列幂级数的和函数：26 设有两条抛物线 记它们交点的横坐标的绝对值为 an(1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn；(2)求级数的和27 设 证明级数 收敛，并求其和考研数学三（微积分）模拟试卷 105 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 注意，级数 是把收敛级数 各项不改变顺序且相邻两项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故应选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 0(
5、un+vn)2(u n+ v n) 2=un2+2u nvn+v n22un2+2vn2，又级数 收敛，故级数 亦收敛从而级数收敛故选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 而级数 收敛，故级数 收敛但级数 发散，故级数 发散应选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件 收敛，可知幂级数 的收敛半径R2，从而 当 t(一 2，2)时绝对收敛，注意 x=2 时对应的 t=x 一 1=1，故幂级数 在 x=2 处绝对收敛故选(B) 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 令 x=n+t，则所以交错级数 收敛，故选 D【知识模块】
6、微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 极限 只是收敛半径为 的一个充分条件，因此(A)不对幂级数 的收敛半径存在而且唯一，所以 (B)不对取级数可以排除(C) (D)可以由幂级数的逐项积分性质得到，故选 (D)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 首先，幂级数收敛半径为 R=1其次，级数在 x1=一 2 处条件收敛，则 x1=一 2 必为收敛区间的端点由必在收敛域之外与 a的取值无关因此选(C) 【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 收敛，那么由级数的基本性质有【知识模块】 微积分10 【正确
7、答案】 2【试题解析】 当 x=0 时级数显然收敛当 x0 时设 于是 用比值判别法知，当 时幂级数绝对收敛，而当 时幂级数发散，故幂级数的收敛半径为 2【知识模块】 微积分11 【正确答案】 一 2，2)【试题解析】 当 x=0 时级数必收敛当 x0 时设 于是故当即x2 时，幂级数绝对收敛，而当x2 时幂级数发散当x=2 时，幂级数变为 显然发散；当 x=一 2 时，幂级数变为交错级数由莱布尼茨判别法易判断其收敛故收敛域为一 2，2)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 一 1，1)【试题解析】 根据收敛半径的计算公式，幂级数 的收敛半径为 1，收敛域为一 1，1)；幂级数 的收敛域为(
8、一 2，2)因此原级数在一 1，1)收敛，在(一 2，一 1)1，2) 一定发散又根据阿贝尔定理，原级数在(一 ，一 22，+)也一定发散故原级数的收敛域为 一 1，1)【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (145，155)【试题解析】 这是缺项幂级数，把一般项化成 an(x 一 x0)2n-1 的标准形再计算所以，当 时，级数绝对收敛；当时，级数发散故幂级数 的收敛区间为(145 ，155)又当 时，原级数的一般项分别是 un=一 10 和un=10，所以发散因此幂级数 的收敛域为(145，155)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 当 x=0 时级数收敛，当 x0 时
9、设 un(x)=(n2 一 1)xn，由于可见幂级数的收敛半径R=1当 x=1 时原级数一般项不趋于零，故幂级数的收敛域为(一 1，1)求和函数得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 本题中四个级数均为正项级数，故用正项级数敛散性判别法(I)用比值判别法 故该级数发散()所以 故级数发散()此题可以用比值判别法或极限形式的比较判别法比值判别法：比较判别法：取收敛，所以原级数收敛( )用比较判别法的极限形式，将题设的级数与级数 作比较因为【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (I) 利用正项级数比较判别法极限形式，我们取 un= 因为()由
10、ln(1+x)x(x0)，可知 ln(en+e-n)=lnen(1+e-2n)=n+ln(1+e-2n)n+e -2n【知识模块】 微积分17 【正确答案】 等号仅在X=n 时成立，故 f(x)单调减少又【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为 y=x+y，所以 y=1+y由 y(0)=1，得 y(0)=1，y(0)=2根据麦克劳林公式，就有所以绝对收敛【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由于 f(x)在 一 2，2上有连续的导数，则 f(x)在一 2，2上连续，设 M 为f(x)在一 2，2上的最大值，则 x一 1，1时，F(x)= -xx(x
11、+t)dt=02xf(u)du=02xf(u)d(u 一 2x)=f(u)(u 一 2x) 02x02xf(u)(u 一 2x)du=一 02xf(u)(u 一2x)du，由此可得 F(x)M 02x(2x 一 u)du=2Mx2，x一 1，1因此收敛，由比较判别法可得收敛，即 绝对收敛【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (I)利用换元法与已知的幂级数展开式求解本题首先设 x 一1=tx=1+t，代入可得展开式的成立范围是一 1t1 即一 1x 一 11 0 x2其次设 x 一 2=tx=2+t ，代入可得展开式的成立范围是()【知识模块】 微积分22 【正确答案】 将 f(x)视为即可因
12、为利用公式(514)，并以 代替其中的 x，则有于是由于 f(x)的幂级数 所以【知识模块】 微积分23 【正确答案】 用比值判别法判别其敛散性当 x=0 时幂级数收敛；当 x0 时有所以，当 0x1 时，幂级数绝对收敛；x1 时幂级数发散；当x=1时，由于 ，幂级数发散，故幂级数收敛域为(一 1，1)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (I)易知幂级数收敛域为( 一 1，1) 记 则对上式两边求导，得和函数 ()由于 ，而故只要消去系数中的因子n 便可以使用 ex 的展开式求和幂级数的收敛域为(一 ，+)和函数把 g(x)的幂级数表达式作逐项积分，
13、可得所以 g(x)=(xe x)=(1+x)ex， S(x)=xg(x)=(x+x 2)ex (一 x+)()利用逐项求导两次去掉幂级数的通项 的分母 n(2n+1)，化为几何级数求和函数计算可得幂级数的收敛半径 R=1，收敛域是一 1，1，设其和函数为 S(x)，则为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母 n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数这个幂级数的收敛半径也是 R=1，收敛域也是一 1，1，设其和函数为 S1(x)，则 且S1(0)=S1(0)=0在开区间(一 1，1)内逐项求导两次可得逐项积分就有由于幂级数 在 x=1 都收敛，且函数 2x 一 2arctanx 一 xln(1+x2)在x=1 都连续，故和函数 S1(x)=2x 一 2arctanx 一 x2ln(1+x)分别在 x=一 1 与 x=1 处也成立由此即得 ()设 S(x)表示 的和函数由于 因此幂级数的收敛半径 R=1，且 x(一 1，1)时设它们的收敛半径都是 1，因此两幂级数在(一 1， 1)内逐项求导，得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分
