1、考研数学三（微积分）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 y=x/lnx 是微分方程 y=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为（A）-y 2/x2（B） y2/x2（C） -x2/y2（D）x 2/y22 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1/2,=1/2（B） =-1/2,=-1/2（C） =2/3,=1/3（D）=2/3,=2/33 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(
2、1，1) 处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点4 设 u=e-x sinx/y,则 2 u/xy 在点（2,1/）处的值_。5 设 an0(n=l ，2，) ，S n=a1+a2+an，则数列S n有界是数列a n收敛的（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件6 “对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n-a2”是数列xn收敛于 a 的（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（
3、D）既非充分条件又非必要条件7 设函数 f(x)在(-，+) 内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛8 函数 f(x)=丨 x 丨 sin(x-2)/x(x-1)(x-2)2存下列哪个区间内有界（A）(-1，0)（B） (1，0)（C） (1，2)（D）（2,3）9 设 f(x)=ln10x，g(x)=x ，h(x)=e x/10，则当 x 充分大时有（A）g(x)h(x)f(x)（B） f(x)g(x)h(x)（C） h(x)g(x)f(
4、x)（D）g(x)f(x)h(x)10 设函数 f(x)任(-，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f （x n）收敛（B）若 xn单调，则f（x n）收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛.（D）符f(x n)单调，则x n收敛11 设可微函数 f(x，y)在点(x o，y o)取得极小值，则下列结论正确的是（A）f(x o，y)在 y=yo 处的导数等于零（B） f(xo，y)存 y=yo 处的导数大于零（C） f(xo，y)在 y=yo 处的导数小于零（D）f(x o，y)在 y=yo 处的导数不存在12 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)
5、有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（A）Cy 1(x)-y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)13 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1/2,=1/2.（B） =-1/2,=-1/2.（C） =2/3,=1/3.（D）=2/3,=2/3.14 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y *=ax2+bx+c+x
6、(Asinx+Bcosx)（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx二、填空题15 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=_,b=_.16 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则k=_,c=_.17 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz 丨 (1，0) =_.18 设 z=(x+ey)x，则 z/x 丨 (1，0) =_.19 设函数 z=(1+x/y)x/y,则
7、dz 丨 (1，1) =_.20 设 z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中 f,g 均可微，则 z/x=_.21 设函数 f(u)可微，且 f(0)=1/2，则 z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分 dz 丨 (1，2)=_.22 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_.23 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_.24 微分方程 y“-2y+2y=ex 的通解为_.25 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为_.26 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_.27 差分方程 yt+1-yt=t2
8、t 的通解为_.28 差分方程 2yt+1+10yt-5t=0 的通解为_.29 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以W1 表示第 t 年的工资总额(单位：百万元) ，则 Wt 满足的差分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 设 F(x)=F(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件： f(x)=g(x) ，g(x)=f(x)且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x30 求 F(x)所满足的一阶微分方程；31 求 F(x)的表达式32 求微分方程 y“-2y-e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0
9、)=1 的解考研数学三（微积分）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 2/2【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限.【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关
10、系，例如，有极限(局部)有界，无穷大无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【知识模块】 微积分13 【正确答案】 A【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【知识模块】 微积分二、填空题15 【正确答案】 1,-1/6【知识模块】 微积分16 【正确答案】 3,4【知识模块】 微积分17 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【知识模块】 微积
11、分18 【正确答案】 2ln2+1【知识模块】 微积分19 【正确答案】 -(2ln2+1)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 yf 1+(1/y)f2-(y/x2)g【知识模块】 微积分21 【正确答案】 4dx-2dy【知识模块】 微积分22 【正确答案】 2/x【知识模块】 微积分23 【正确答案】 1/x【知识模块】 微积分24 【正确答案】 e x(C1cosx+C2sinx+1)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 C 1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 微积分26 【正确答案】 C 1ex+C2e3x+2e2x【知识模块】 微积分27 【正确答案】 C+(t-
12、2)2 t【知识模块】 微积分28 【正确答案】 C(-5) t+5/12(t-1/6)【知识模块】 微积分29 【正确答案】 W t=12 t-1+2【试题解析】 第 t 年的工资总额 W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额 2(百万元) ，另一部分比前一年的工资总额 Wt-1 多 20，即是 Wt-1 的 1：2倍于是可得 Wt 满足的差分方程是 W t=1.2t-1+2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g 2(x)+f2(x) =f(x)+g(x)2-2f
13、(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)， 可知 F(x)所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2x【知识模块】 微积分31 【正确答案】 e 2x 同乘方程两边，可得 e2xF(x)=4e4x，积分即得 e2xF(x)=e4x+C， 于是方程的通解是 F(x)=e2x+Ce-2x 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，可确定常数 C=-1故所求函数的表达式为 F(x)=e 2x-e 2x.【知识模块】 微积分32 【正确答案】 齐次方程 y“-2y=0 的特征方程为 2-2=0由此求得特征根1=0， 2=2.对应齐次方程的通解为 y=C1+C2e2x设非齐次方程的特解为y“=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x，(y *)“=4A(1+x)e2x 代入原方程，可得 A=1/2，从而y*=1/2xe2x 于是，原方程的通解为 y=y+y*=C1+(C2+1/2x)e2x. 将 y(0)=1 和 y(0)=1代入通解，求得 C1=3/4，C 2=1/4 从而，所求解为 y=3/4+1/4(1+2x)e 2x【知识模块】 微积分
