1、考研数学三（微积分）模拟试卷 118 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 =0，则点 x=0( )（A）不是 f(x)的驻点（B）是 f(x)的驻点但不是极值点（C）是 f(x)的驻点且是极大值点（D）是 f(x)的驻点且是极小值点2 设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+4y=一 esinx 的一个解，若 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数f(x)在点 x0( )（A）取得极大值（B）某邻域内单调增加（C）取得极小值（D）某邻域内单调减少二、填空题3 设某商品的需求函数为 Q=402P(P 为商品的
2、价格) ，则该商品的边际收益为_4 设 f(x)=x3 一 3x+q，其中常数 q(一 2，2)，则 f(x)的零点的个数为_5 抛物线 y2=x 和 y=x2 所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 讨论方程 11xt 实根的个数7 求曲线 y=0xf(t)dt 与 y=2x1 交点的个数其中 f(x)在0，1上连续，f(x) 18 求曲线 y= 的渐近线9 在曲线 y=ex(x0)上求一点，使过该点的切线与两坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出最大面积10 设由曲线 y=ex(x0)，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面
3、图形绕 x 轴旋转一周所得立体图形的体积为 V()，求使 V(a)= V()的 a11 求由曲线 y=exsinx 的 x0 部分与 x 轴所围成的平面图形的面积12 设 f(x)为连续的奇函数，且当 x0 时，f(x) 0，f(x)0令 (x)= 11f(xt)dt+0xtf(t2 一 x2)dt， 讨论 (x)在(一 ，+) 内的凹凸性13 设 f(x)在( 一，+)上是正值连续函数，判别 (x)=aax 一 uf(u)du 在( 一，+)上的凹凸性14 设 f(x)，g(x) 在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，并有=0，求 f(x)一 2x2+0xg(x 一 t
4、)dt 的拐点15 求曲线 y= 2 在其拐点处的切线方程16 设 f(x)在区间0，+)内二阶可导，且在 x=1 处与曲线 y=x3 一 3 相切，f(x) 在(0，+) 内与曲线 y=x3 一 3 有相同的凹向，求方程 f(x)=0 在(1，+)内实根的个数17 设 f(x)= ，g(x)= 0xf(t)dt，求：(1)y=g(x)的水平渐近线(2)求该曲线 y=g(x)与其所有水平渐近线，y 轴所围平面图形的面积18 曲线 y=k(x2 一 3)2 在拐点处的法线通过原点，求 k 的值19 设 f(x)= ，求 f(x)的极值和曲线 y=f(x)拐点的横坐标20 过曲线 y= 及 x 轴
5、所围成的平面图形的面积为 ，求切点 M 的坐标21 设(1 ，一 1)是曲线 y=x3+ax2+bx+c 的拐点，且 y 在 x=0 处取极大值求a，b，c22 已知抛物线 y=ax2+bx(其中 a0，b0) 在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S，问当 a，b 为何值时，S 最大?最大值是多少?23 假定你为了孩子的教育，打算在一家投资担保证券公司(GIC)投入一笔资金你需要这笔投资 10 年后价值为 12 000 美元如果 GIC 以年利率 9Z、每年支付复利4 次的方式付息，你应该投资多少美元?如果复利是连续的，应投资多少美元?24 某企
6、业生产 Q 单位的某种产品时，边际成本为 C(Q)=35060Q+3Q2(元单位)，固定成本为 300 元，边际收益为 R(Q)=4103Q(元单位)，求： (1)产量为 5 单位时的总成本； (2)该企业的最大利润25 设资本总量 K 是时间 t 的函数 K=K(t)，称为资本函数，其导数 I(t)=K(t)为投资者在 t 时刻单位时间内的净投资设净投资函数 I(t)= (百万元年) ，t=0 时，初始资本为 100 百万元，试求： (1)资本函数 K=K(t)； (2)从第 4 年末到第 9 年末期间的追加投资量26 某公司投资 20 百万元建一条生产线，投产后其追加成本和追加收入(成本和
7、收入对时间 t 的变化率，类似于边际函数的概念)分别为 G(t)=5+2t2/3(百万元)，E(t)=17 一 t2/3(百万元)试确定该生产线使用多长时间停产可使公司获得最大利润，最大利润是多少?27 设某商品的最大需求量为 1 200 件，该商品的需求函数 Q=Q(p)，需求弹性 =( 0)，p 为单价(万元) (1)求需求函数的表达式； (2)求 p=100 厅元时的边际收益，并说明其经济意义考研数学三（微积分）模拟试卷 118 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件可得 f(x)+ex=lnf(0)+1=0，
8、即 f(0)=0于是，x=0 是 f(x)的驻点且是极大值点，故选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可知 f“(x0)一 2f(x0)+4f(x0)=一0， 又 f(x0)=0，所以，f(x)在 x0 处取得极大值故选 A【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 20 一 Q【试题解析】 商品的收益函数为 R(Q)=QP=20Q 一 ，所以商品的边际收益为 R(Q)=20Q【知识模块】 微积分4 【正确答案】 3【试题解析】 由 f(x)=3(x21) ，知当 x(一，一 1时，f(x)单调上升，且 f(一 1)=2+q0， f(x)=一，f(x)在(一，一
9、 1)有一个零点当x(一 1，1)时，f(x)单调下降，且 f(一 1)=2+q0， f(1)=一 2+q0，f(x)在(一1，1)有一个零点当 x(1，+)时，f(x) 单调上升，且 f(1)=一 2+q0， f(x)=+，f(x) 在(1 ，+)有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为 3【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 由零值定理，f(x)在(0，1)内至少有一个实根 又 f(x)=20x dt0，所以，当x0 时，f(x)单调增加，因此，f(x) 在0，+) 内有且仅有一个零点 由
10、 f(x)是偶函数可知，f(x)在(一，0)内也只有一个零点，故 f(x)在(一，+)内有两个零点，即原方程有两个实根【试题解析】 可将方程实根的问题转化为 f(x)的零点问题又 f(一 x)=f(x)，所以，只要讨论 f(x)在0，+) 内的零点问题【知识模块】 微积分7 【正确答案】 令 (x)=2x0xf(t)dt 一 1，则 (x)在0，1上连续，且 (0)=001=一 10， (1)=2 一 01f(x)dx 一 1=1 一 01f(x)dx0，(因为 f(x)1) 所以，由零值定理，存在点 (0，1)，使得 ()=0 又 (x)=2 一 f(x)0，可知 (x)在0，1内单增故 (
11、x)在(0，1)内有且仅有一个零点，即曲线 y=0xf(x)dt 与 y=2x 一 1 在(0，1)内仅有一个交点【试题解析】 作辅助函数 (x)=2x0xf(t)dt 一 1，将两曲线的交点转化为 (x)的零点或方程 (x)=0 的根的问题。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 所以 x=一 1，x=0 是曲线的铅直渐近线【知识模块】 微积分9 【正确答案】 设切点为(c，e c)，则切线方程为 ye c=一 ec(xc)，其截距式为 又实际问题本身存在最大值，故 c=1 即为 S 的最大值点，且最大值为 S(1)=2e1此时切点的坐标为(1，e 1)【试题解析】 先写出切线方程，再求出面积
12、解析式并求最大值【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由旋转体体积公式得【试题解析】 先求旋转体的体积 V，再求极限以确定 a【知识模块】 微积分11 【正确答案】 所求面积 S 为 S=0exsinxdx+2exsinxdx+23exsinxdx+(一1)nn(n+1)exsinxdx+【试题解析】 由图 152 可知，所求面积可表示为无穷多个定积分之和，即面积是一个通项为定积分的无穷级数，于是由无穷级数求和可得待求的面积【知识模块】 微积分12 【正确答案】 用二阶导数的符号判定由 f(x)为连续的奇函数可知， aaf(x)dx=0 “(x)=f(x2)一 2x2f(一 x2) 由 f(
13、x)为奇函数，且 f(x)0 与 f(x)0 可知，f(一 x2)0，f(一 x2)0因此，有 “(x)0，x( 一 ，+)，故 (x)是(一，+)上的下凸函数【知识模块】 微积分13 【正确答案】 用二阶导数的符号判定 (x)= ax(x 一 u)f(u)du+xa(u 一 x)d(u)du =xaxf(u)duaxuf(u)du+xauf(u)duxxaf(u)du， (x)= axf(u)du+xf(x)一 xf(x)一xf(x)一 xaf(u)du+xf(x) =axf(u)duxaf(u)du， “(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0 所以，(x)是(一 ，+)上的上凹函数(或下
14、凸函数) 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由题设可知， f(x)=一 2x+0xg(u)du， f“(x)=一 4x+g(x)， f“(0)=0 又=一 4所以，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，故(0，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由 y=3x2，y(1)=3 ，及曲线 y=f(x)与 y=x3 一 3 相切可知，f(1)=3，f(1)=y(1)=一 2 由曲线 y=f(x)与 y=x3 一 3 在 (0，+) 内有相同的凹向，以及y“=6x0，可知，f“(x) 0，x(0，+
15、) 由台劳公式可知， f(x)=+，即存在M1，当 x0M 时，使得 f(x0)0 于是，f(x) 在 1，x 0上连续，且 f(1)=一20，f(x 0)0由零值定理，在(1 ，x 0)内至少存在一点 ，使得 f()=0 由 f“(x)0，x(0，+)，可知在(0，+) 内 f(x)单调增加 再由 f(x)f(0)=0，知 f(x)在(0，+) 内单调增加，故 f(x)=0 在(0 ，+)内仅有一个根【试题解析】 由 f(x)二阶可导及台劳公式可得 f(x)的解析式，然后用零值定理【知识模块】 微积分17 【正确答案】 可知 S=1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 y=4kx(x 2
16、一 3)，y“=12k(x 2 一 1) 令 y“=0，得 x=1而 y(1)=8k，y(1)=4k 无论 k 是正数还是负数，(1， 4k)都是曲线 y=f(x)的拐点，所以，过拐点(1，4k)的法线方程为【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 设 M(x0，y 0)是曲线 y= 上一点，则过点 M(x0，y 0)的切线方程为 y (xx0)它在 x 轴上的截距为 x=一 x0于是，由切线、曲线y= 和 x 轴所围成的平面图形的面积 S 为【知识模块】 微积分21 【正确答案】 已知 y=x3+ax2+bx+c，则 y=3x 2+2ax+b， y“=6
17、x+2a 。由(1，一 1)是曲线的拐点及 x=0 为极大值点可知 y(1)=一 1， y“(1)=0， y(0)=0即，得 b=0，a=一 3，c=1所以 y=x33x2+1【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由图 153 可知，抛物线与 z 轴交点的横坐标为 x1=0由直线 x+y=5 与抛物线y=ax2+bx 相切可知，它们有唯一的交点，其坐标满足方程将方程代入方程 得 ax 2+(b+1)x 一5=0其判别式必等于零，即 =(b+1)2+20a=0，因为，当 0b3 时，S(b)0；当b3 时，S(b)0所以，当 b=3 时，S(b)取极大值，即最大值【试题解析】 利用定积分求面积
18、，容易得到其面积是 a，b 的函数 S(a，b)，问题是如何求 S(a，b)的最大值因为抛物线与固定直线相切，所以 a 与 b 并非独立变量利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题【知识模块】 微积分23 【正确答案】 若每年复利 4 次，则 10 年后 12 000 美元的现值为 P=12 000(1+)404 92775(美元)如果是连续复利，则 10 年后 12 000 美元的现值为 P=12 000e10009 =12 000e09 4 87884(美元) 在两种复利方式下，分别应投资 4 92775 美元和 4 87884 美元【知识模块】 微积分
19、24 【正确答案】 (1)产量为 5 单位时的总成本为 C(5)= 05(35060Q+3Q2)dQ+300 =(350Q 一 30Q2+Q3) 05+300 =1 425(元) (2) 边际利润函数为 L(Q)=R(Q)一 C(Q)=一 3Q2+57Q+60 令 L(Q)=0，解得 Q=20(一 1 不合题意应舍去)，因 L“(Q)=一6Q+57，故 L“(20)=一 630，则在生产 20 单位时，总利润最大，最大利润为 L(20)=020(一 3Q2+57Q+60)dQ 一 300 =(一 Q3+ Q2+60Q) 020300 =4 300(元)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (
20、1)K(t)= 0tI()d+K(0) (2)K=49I(t)dt=K(9)一 K(4) =180 一 (百万元) 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 公司总利润为 L(t)=R(t)一 C(t)一 C0， 其中 R(t)，C(t)为生产线投产后 t 年内的总收入和总成本，C0 为生产线的投资成本总利润的变化速度为 L(t)=R(t)一 C(t)=E(t)一 G(t)=123t23 令 L(t)=0，得 t=8(此时追加收入等于追加成本)，又 L“(8)=一 2t13 t=8=一 10，所以当 t=8 时总利润达到最大值，即应于投产 8 年后停产 最大总利润为 L(8)= 08L(t)dt+L(0) =08(123t23 )dt 一 20 =384 20=184( 百万元)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 (1) 解此方程得Q=C(120 一 p)，而 Q(0)=1 200，得 C=10，需求函数的表达式为 Q=10(120 一 p) (2)收益函数 R(Q)=Qp=120Q 一 当 p=100 时，Q=200，故当 p=100 万元时的边际收益为 R(200)=80，其经济意义为：销售第 201件商品所得收益为 80 万元【知识模块】 微积分
