1、考研数学三（微积分）模拟试卷 123 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二阶常系数齐次线性微分方程 y“+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（A）0 ，+)（B） (一，0)（C） (一，4（D）(一， +00)2 当 y0=( )时，差分方程 3yx+19yx 一 2=0 的解为 yx=一 3 微分方程 y“一 y=ex+1 的一个特解应具有形式 ( )（A）ae x+b（B） aex+bc（C） axex+b（D）axe x+bx二、填空题4 设二阶线性微分方程 y“+p(x)y+q(x)
2、y=f(x)有三个特解 y1=ex，y 2=ex+ ，y 3=ex+ex，则该方程为_5 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 200 万元若以 i表示第 i 年的工资总额(单位为万元)，则 i 满足的差分方程是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 计算二重积分 I= ，其中 D=(x，y)0x1，0y17 计算 I=01sin ，其中 0ab8 设 f(t)为连续函数，常数 a0，区域 D=(x，y) x ，证明：f(xy)dxdy=aaf(t)(a 一t)dt9 设区域 D=(x，y) ：x 2+y21，x0 ，计算二重积分 I= 10 设函数 f(x
3、)连续 (1) 求初值问题 的解 y(x)，其中 a 是正常数 (2)若 f(x)k(k 为常数)，证明：当 x0 时，有 y(x) (1 一 eax)11 设 f(x)是可导的函数，对于任意的实数 s、t，有 f(s+t)=f(s)+f(t)+2st，且 f(0)=1求函数 f(x)的表达式12 设函数 f(x)在(一，+)内具有连续的导数，且满足 求函数 f(x)的表达式13 设函数 p(x)和 f(x)在 x0，+)上连续，且 p(x)=a0，f(x)b，a 和 b均为常数试证：微分方程 +p(x)y=f(x)的一切解在 x0，+)上皆有界14 求微分方程 =0 的通解15 已知在微分方
4、程 y+p(x)y=f(x)中，p(x)c0，且 f(x)=0试证：微分方程的通解当 x+时都趋于零16 已知函数 y=e2x+(x+1)ex 是线性微分方程 y“+ay+by=cex 的一个解，试确定常数a、b、c 的值及该微分方程的通解17 求解微分方程 y“+y=2x2+118 求解微分方程 y“一 y=ex+4cosx19 设函数 f(x)具有连续的二阶导数，并满足方程 f(x)=1 一 0xf“(t)+4f(t)dt，且f(0)=0，求函数 f(x)的表达式20 求解微分方程组 21 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数
5、(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)所满足的微分方程 (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解22 设 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2求积分值23 求一曲线，使得该曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标24 在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于 a2，且曲线过点 (a，a)，a0 为常数25 设连接两点 A(0，1) 与 B(1，0)的一条凸弧，点 P(x，y)为凸弧 AB 上的任意一点已知凸弧与弦 AP
6、之间的面积为 x3，求此凸弧的方程26 已知 y1(x)=ex，y 2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程(2x 一 1)y“一(2x+1)y+2y=0 的两个解，若 u(一 1)=e，u(0)=一 1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 123 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为特征方程为 2+b+1=0，其判别式为 =b2 一 4 当 b2时，微分方程的通解为 y(x)= 所以， 当 b2 一 40 时，要使解 y(x)在(o，+)上有界，只需要 b 0，即 b2； 当 b2 一 40
7、 时，要使解 y(x)在(0，+)上有界，只需要 b+ 的实部大于等于 0，即 0b2； 当 b=2 时，解 y(x)=(c1+c2x)ex 在区间(0，+)上有界； 当 b=一 2 时，解 y(x)=(c1+c2x)ex 在区间(0，+) 上无界 综上所述，当且仅当 b0时，微分方程y“+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，故选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程 y“一 y=0 的两个特征根分别为 1，一 1，所以 y“一 y=1 的一个特解形式为 b，而 y“一 y=e
8、x 的一个特解形式为 axex根据叠加原理，方程的一个特解形式为 b+axex故选 C【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 y“+ y=ex【试题解析】 因为 y2 一 y1，y 3 一 y1 是对应齐次方程的解，代入齐次方程可求得p(x)= ，再将 y1 代入原方程可得 f(x)=ex【知识模块】 微积分5 【正确答案】 i=12 i1+200【试题解析】 实际上，用 i 和 i1 将第一句话的意思用数学语言表达出来就是i=12 i1+200【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 利用分段函数的积分 设 D 1=(x，y)0x1，0y
9、x， D2=(x，y) 0x1 ，xy1，则【试题解析】 本题的关键是 maxx2，y 2的处理，也就是将积分区域 D 按maxx2，y 2的要求划分【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 本题直接用常规的定积分去求解是无法进行的因此，需要考虑用二重积分的方法【知识模块】 微积分8 【正确答案】 因为=a0f(t)(t+a)dt+0af(t)(a 一 t)dt=aaf(t)(a 一t)dt【试题解析】 因被积函数是复合的抽象函数，故应先作变量代换，再将二重积分化为累次积分【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 在二重积分的计算中，注意用区域的对称陛和被积函数的奇偶性，简
10、化其计算【知识模块】 微积分10 【正确答案】 (1)根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式，得 y(x)=e axf(x)eadxdx+c=eaxF(x)+c，其中 c 为任意常数，F(x)=f(x)e axdx 因为 y(0)=0，得 c=一 F(0)于是， y(x)=e axF(x)一 F(0)=eaxf(t)eatdt (2)由(1) 问的结果，易知 y(x)e ax0xf(x) e atdtkeax0xeatdt= (1 一 eax)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 因为对任意的实数 s、t，有 f(s+t)=f(s)+f(t)+2st令 s=0，t=0，则f(0)=0，f(0)
11、=1 将原式变形，得 +2s 令 t0 ，得 f(s)=f(0)+2s=1+2s 解此微分方程，得 f(s)=s+s2+c，其中 c 为任意常数 再由条件f(0)=0，得 c=0于是，f(x)=x+x 2【知识模块】 微积分12 【正确答案】 因为 f(t)为偶函数，故只需讨论 t0 的情形 由于 f(t)=202d0tr2f(r)rdr+t 4=40tr3f(r)dr+t4在等式两边同时对变量 t 求导，得 f(t)=4t3f(t)+4t3，且 f(0)=0这是一个一阶线性微分方程 解此微分方程，得 f(t)=【试题解析】 在已给出的积分方程中，因被积函数 f 具有因子 x2+y2，且积分区
12、域为圆域，故应用极坐标，将二重积分化为累次积分，再通过微分，即得关于变量 t的一个微分方程【知识模块】 微积分13 【正确答案】 考察初值问题 +p(x)y=f(x)， y(0)=y 0 对于固定的 y0，由方程可得相应的特解 对于任意的 y0，可得方程的一切解由于 p(x)=a0，故由函数极限的保号性：存在 M0，使得 xM 时，故一切解y(x) 在 x0，+) 上皆有界【试题解析】 因函数 p(x)和 f(x)均未具体给出，则用一阶线性微分方程的通解公式(一般是用不定积分表示的)是无法讨论其性质的，故应当用变上限的定积分来表示其通解，以便讨论其性质【知识模块】 微积分14 【正确答案】 利
13、用变量替换化为齐次微分方程 将变量 y 视为自变量，则x=x(y)就是 y 的函数由于原方程是齐次微分方程，令 u(y)=这是一个变量可分离的微分方程，解得 y(eu+u)=c于是，原微分方程的通解为 +x=c，其中 c 为任意常数【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为微分方程的通解为【试题解析】 先将微分方程的通解表示出来，再求其极限【知识模块】 微积分16 【正确答案】 先将函数 y 代入到微分方程中，比较等式两端同类项前的系数，得 a=一 3，b=2，c=一 1 先求齐次微分方程 y“一 3y+2y=0 的通解，得=c1e2x+c2ex 由于非齐次微分方程 y“一 3y+2y=一
14、ex 有一个特解 y*=e2x+(x+1)ex，于是，原微分方程的通解为 y=c 1e2x+c2ex+e2x+(1+x)ex=c1e2x+c2ex+xex，其中c1=(c1+1)、c 2=(c2+1)为任意常数【试题解析】 本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构【知识模块】 微积分17 【正确答案】 利用线性微分方程的通解的结构求解 先求齐次微分方程y“+y=0 的通解 因为特征方程为 2+=0，得 1=0， 2=一 1所以，齐次微分方程的通解为 =c1+c2ex。 再求非齐次微分方程 y“+y=2x2+1 的一个特解 y* 因为 y“+y=(2x2+1)e0x，其中 r=0 是特征方
15、程为 2+=0 的单根，则设特解的形式为 y*=xQ2(x)=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx 将 y*代入到原微分方程中去，得 3ax2+(2b+ba)x+(2b+c)=2x2+1比较等式两端同类项的系数，其中 c1，c 2 为任意常数【试题解析】 本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构【知识模块】 微积分18 【正确答案】 设该微分方程的特解为 y*=y1*(x)+y2*(x)=Axex+(Bcosx+Csinx)，代入到微分方程中，得 A= ，B=一 2，C=0，从而微分方程的通解为： y=c 1ex+c2ex+ ex 一 2cosx，其中 c1，c 2 为任意常数【
16、试题解析】 本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构以及解的叠加原理【知识模块】 微积分19 【正确答案】 通过求导，将积分方程化为微分方程，得 f“(x)+5f(x)+4f(x)=0，且满足条件 f(0)=1，f(0)=0，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程 因为特征方程为 2+5+4=(+1)(+4)=0，所以特征值为 1=一 1， 2=一 4，从而微分方程的通解为 f(x)=c 1ex+c2e4x，其中 c1，c 2 为任意常数【试题解析】 本题主要考查将积分方程化为微分方程的方法，并用相应的方法求解【知识模块】 微积分20 【正确答案】 先将第二个微分方程对变量 t 求导数，再将
17、第一个微分方程代入，得新的微分方程 y“+y=一 cost其中 c1，c 2 为任意常数【试题解析】 本题主要考查参数型微分方程的求解方法【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)由反函数的求导法则，知 =1 在上式两边同时对变量x 求导，得 代入原微分方程，得 y“一 y=sinx (2)微分方程所对应的齐次微分方程 y“一 y=0 的通解为 =c1ex+c2ex，其中 c1，c 2 为任意常数 微分方程的特解为 y*=Acosx+Bsinx，代入到微分方程中，得 A=0，B=一 sinx，从而微分方程的通解为 y=c 1ex+c2ex 一 sinx，其中c1，c 2 为任意常数 由条件
18、 y(0)=0，y(0)= 得 c1=1，c 2=一 1因此，所求初值问题的解为 y=ex 一 ex 一 sinx【试题解析】 利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出的表达式代入原微分方程，即得所求的微分方程然后再求此方程满足初始条件的微分方程【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由条件 f(x)=g(x)，得 f“(x)=g(x)=2ex 一 f(x)，即求解 齐次微分方程：特征方程为 2+1=0，=i，通解为 =c1cosx+c2sinx其中 c1，c 2 为任意常数 非齐次微分方程：因为 r=1 不是特征方程的解，故设特解 f*(x)=Aex，则得 A=1于是，通解为 f(x)=
19、c1cosx+c2sinx+ex将条件 f(0)=0，g(0)=2 代入到通解中，得特解 f(x)=sinxcosx+ex，其中 c1=一 1，c 2=1从而【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设所求曲线为 y=f(x)，在其上任取一点 (x，y) ，则过该点的切线方程为 Yy= (Xx)根据题意，切线在 y 轴上的截距为 Y=y 于是，所求曲线满足的微分方程是 x=y 这是一个一阶线性微分方程，其通解为 y=cx一 xlnx，其中 c 为任意常数【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设所求曲线为 y=f(x)由题设，作出所围梯形，如图 192 中的阴影部分所示 过曲线 y=f(x)上的
20、点(x，y) 的切线方程为 Yy=f(x)(Xx) 令 Y=0，得切线在 x 轴上的截距为 X=x 一 ，即为梯形的下底的长度又梯形的上底的长为 x，高为 y因此，梯形面积为 S=a2由此得微分方程 2(xy 一 a2)y=y2，即 y2一 2yx=一 2a2 这是关于 y 的一阶非齐次线性微分方程，可求得通解为 x=cy2+，其中 c 为任意常数 又因为曲线过点(a ，a)，即满足初始条件 y(a)=a代入通解中，得 c= 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设凸弧的方程为 y=f(x)P(x，f(x)，则过 P 作 x 轴的垂线与 x 轴的交点为 C(x，0)因梯形 OAPC 的面积为
21、 x 1+f(x) 所以， x 3=0xf(t)dt1+f(x) 又因为凸弧为光滑的曲线，所以它是可导的 两边对 x 求导，得y=f(x)所满足的微分方程 xyy=一 6x2 一 1，即 y2 一 ，则其通解为 y= =cx 一 6x2+1，其中 c为任意常数 由题设知，曲线过点 B(1，0)，即 y(1)=0代入通解中，得 c=5，故所求曲线为 y=5x6x2+1【知识模块】 微积分26 【正确答案】 计算得 y 2(x)=u(x)+u(x)ex，y“ 2(x)=u“(x)+2u(x)+u(x)ex， 将y2(x)=u(x)ex 代入方程(2x 一 1)y“一(2x+1)y+2y=0 有 (2x1)u“(x)+(2x3)u(x)=0， 两边积分得：lnu(x)=一 x+ln(2x 一 1)+lnC1，即 u(x)=C1(2x一 1)ex 故 u(x)=一 C1(2x+1)ex+C2 由条件 u(一 1)=e，u(0)=一 1，得C1=1，C 2=0，即 u(x)=一(2x+1)e x y 1(x)，y 2(x)是二阶微分方程(2x 一 1)y“一(2x+1)y+2y=0 的两个线性无关的解，所以通解为 y(x)=C1ex+C2(2x+1)【试题解析】 根据已知的关系式，变形得到关于 u(x)的微分方程，解微分方程求得 u(x)【知识模块】 微积分
