1、考研数学三（微积分）模拟试卷 129 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求函数 y= (x(0，+)的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线2 作函数 y=x+ 的图形3 设 f(x)在(a ，b)内可导，且又 f(x0)0(0)，f(x)0( 0)(如图 212) ，求证：f(x)在(a ，b)恰有两个零点4 求证：方程 lnx= 在(0，+) 内只有两个不同的实根5 就 a 的不同取值情况，确定方程 lnx=xa(a0)实根的个数6 讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln2x+k 在(0，+) 内的交点个数 (其中 k 为常数)7 某商品的需求价格弹性
2、为E p，某人的收入为 M，全部用于购买该商品，求他的需求收入弹性8 设某厂商生产某种产品，其产量与人们对该产品的需求量 Q 相同，其价格为p试利用边际收益与需求价格弹性之间的关系解释：当E p1 时价格的变动对总收益的影响9 设 f(x)在(a ，b)可导，且 f(x)=A求证：存在 (a，b) 使得 f()=010 设 f(x)在a，b可导，且 f+(a)与 f(b)反号，证明：存在 (a，b)使 f()=011 设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得 F“(c)=012 设 f(x)在0，1上连续，且满足 0
3、1f(x)dx=0， 01xf(x)dx=0，求证：f(x) 在(0，1)内至少存在两个零点13 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证：存在 (0，1)使得 f“()=f()14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，又 ba 0求证：仔在 ， (a，b)便 f()=f() 15 设 a0，求 f(x)= 的最值16 求函数 f(x)= (2 一 t)etdt 的最大值与最小值17 在椭圆 =1 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小18 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ x2(元)
4、问：()要使平均成本最小，应生产多少件产品?() 若以每件 500 元的价格出售该产品，要使利润最大，应生产多少件产品?() 要使平均成本最小，应生产多少件产品?( ) 若以每件 500 元的价格出售该产品，要使利润最大，应生产多少件产品?19 设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=abQ，C= Q3 一 7Q2+100Q+50，其中常数 a0， b0 待定已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 Ep=一 时总利润最大求总利润最大时的产量，并确定 a，b 的值20 在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3)； ()f(x)=sin(sinx) (x3
5、)21 求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= ； ()f(x)=e xsinx22 用泰勒公式求下列极限：23 设x1，由拉格朗日中值定理，存在 (0，1)，使 arcsinx=24 用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数：()； () 0x(et 一 1t)2dt25 设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0，+) 时 f(x)M 0， f“(x) M 3， 其中 M0，M 3 为非负常数，求证 f“(x)在(0，+) 上有界26 设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求
6、证：存在(0， 1)使f“()4考研数学三（微积分）模拟试卷 129 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 函数 y= 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y，y“和它们的零点及不存在的点 由 y=0 得 x=1；x= 时 y“不存在；无 y“=0 的点 现列下表：因此得 y= 单调减少区间是(0，1) ，单调增加区间是(1，+)，x=1 是极小值点，凹区间是(0， ，0)是拐点 最后求渐近线因 y= =0，所以无垂直渐近线由于因此只有斜渐近线 y=x【知识模块】 微积分2 【正确答案】 1 定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数2求y，
7、 y“和它们的零点 由 y=0 得三个驻点 x=0，x= ，由 y“=0 得 x=0，用这些点及间断点 x=1 把函数的定义域分成六个区间(一，一 ，+) 由此可列出函数如下分段变化表：3求渐近线有两个间断点 x=1，由 x=1 为垂直渐近线又 即 y=x 是斜渐近线，无水平渐近线 综上所述，作函数图形在 x0 部分如图 211(由于奇函数图形关于原点对称，所以只作右半平面的图形，列表也可以只列右半部分)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 由x1(a，x 0)使f(x1)0，x 2(x0，b)使 f(x2)0，又 f(x0)0，则 f(x)在(x 1，x 0)与(x 0，x 2)内各至少存在
8、一个零点 因 f(x)0( x(a，x 0)，从而 f(x)在(a ，x 0)单调增加；f(x)0( x(x0，b)，从而 f(x)在(x 0，b) 单调减少因此， f(x)在(a ，x 0)，(x 0，b)内分别存在唯一零点，即在(a，b) 内恰有两个零点【知识模块】 微积分4 【正确答案】 即证 f(x)=lnx 一 在(0，+)只有两个零点先考察它的单调性： 由于f(x)在(0，e)与(e，+)分别单调上升与下降，3f(e)= 0，故只需证明： x2(e，+)使 f(x2)0因 则 x2(e，+)使 f(x2)0，因此 f(x)在(0，e) 与(e， +)内分别只有一个零点，即在(0，+
9、) 内只有两个零点【知识模块】 微积分5 【正确答案】 令 f(x)=lnxxa，即讨论 f(x)在(0，+)有几个零点用单调性分析方法求 f(z)的单调区间则当 0xx 0 时，f(x)单调上升；当 xx0 时，f(x) 单调下降；当 x=x0 时，f(x)取最大值 f(x0)= (1+lna)从而 f(x)在(0，+)有几个零点，取决于 y=f(x)属于图 213 中的哪种情形万程 f(x)=0的买根个数有下列三种情形： ()当 f(x0)=一x(0，+)，故 f(x)=0 没有根 ( )当 f(x0)=一 时，由于 x(0，+)，当 xx0=ee时，f(x)0，故 f(x)=0 只有一个
10、根，即 x=x0=ee () 当 f(x0)=一时，因为故方程 f(x)=0 在(0，x 0)，(x 0，+)各只有一个根因此 f(x)=0 在(0 ，+)恰有两个根【知识模块】 微积分6 【正确答案】 令 f(x)=2x+ln2x+k 一 2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 f(x)=2+ (x+lnx 一 1)，令 f(x)=0，可解得唯一驻点 x0=1(0，+) 当 0x1 时 f(x)0，f(x) 在(0，1单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)在1，+)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)最小值因此 f(x)的零点
11、个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关 当 f(1)0 即 k一 2 时，f(x)在(0，+)内恒为正值函数，无零点 当 f(1)=0 即 k=一 2 时，f(x)在(0，+)内只有一个零点 x0=1 当 f(1)0 即 k一 2 时，需进一步考察 f(x)在 x0 +与x+的极限： 由连续函数的零点定理可得， x1(0，1) 与 x2(1，+) 使得 f(x1)=f(x2)=0，且由 f(x)在(0，1)与(1，+)内单调知 f(x)在(0 ，1)内与(1，+)内最多各有一个零点，所以当k一 2 时，f(x)在(0，+)内恰有两个零点【知识模块】 微积分7 【正确答案】 当某人的收入 M
12、 全部用于购买该商品时，M=pQ 由需求收入弹性 EM 的定义知道 EM= 在M=pQ 时，两边求微分可得 dM=pdQ+Qdp因此【试题解析】 设 Q 为需求量，则E p=一，找出 EM 与E p的关系即可【知识模块】 微积分8 【正确答案】 设总收益为 R，则 R=pQ，边际收益提价p0，从而R 0，说明总收益增加；降价p0，从而R0，说明总收益减少【试题解析】 设收益为 R，利用关系 R=pQ 就可以找出边际收益 MR= 与需求价格弹性E p=一 与 MR 之间的关系及近似公式RdR【知识模块】 微积分9 【正确答案】 设 g(x)= 则 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且
13、g(a)=g(b)，把罗尔定理用于 g(x)即知存在 (a，b)使得 g()=f()=0【试题解析】 这是罗尔定理的推广与罗尔定理比较，两者的不同在于本题中没有假设 f(x)在a，b上连续思路是利用 f(x)在 a 和 b 单侧极限存在，补充定义f(x)在 a 和 b 两点的函数值就可转化为闭区间的情形【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 a+b 一 ，且于是 f(a+)f(a)，(b 一 )f(b)这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a ，b)内某点取到，即存在 (a，b)使得 f()=f(x)由费马定理知 f()=0【试题解析】 因 f(x
14、)在a，b 上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题注意，由于题设条件中未假设 f(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明证明时不妨设 f+(0)0 且 f(b)0【知识模块】 微积分11 【正确答案】 由于 F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1 可导，故存在 1(0，1)使得 F(1)=0又 F(x)=x2f(x)+2xf(x)，于是由 F(0)=0，F( 1)=0 及 F(x)在0 ，1可导知，存在2(0， 1)使得 F“(2)=0又因 F“(x)=x 2f“(x)+4xf(x)+2f(x)，于是由
15、 F“(0)=F“(2)=0及 F“(x)在0 ，1可导知，存在 c(0， 2) (0，1) 使得 F“(c)=0【知识模块】 微积分12 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，G(x)= 0xF(s)ds，显然 G(x)在0，1可导，G(0)=0，又 G(1)=01F(s)ds F(s) 01 一 0xsdF(s) =F(1)一 01sf(s)ds=00=0，对G(X)在 0，1上用罗尔定理知， c(0，1) 使得 G(c)=F(c)=0 现由 F(x)在0，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c ，1对 F(x)用罗尔定理知， 1(0，c)，2(c， 1)，使得
16、 F(1)=f(1)=0，F( 2)=f(1)=0，即 f(x)在(0，1)内至少存在两个零点【试题解析】 为证 f(x)在(0 ，1)内存在两个零点，只需证 f(x)的原函数 F(x)=0xf(t)dt 在0，1 区间上有三点的函数值相等由于 F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察 F(x)的原函数 G(x)=0xF(s)ds，证明 G(x)的导数在(0 ，1)内存在零点【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因此 F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导 由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知， (0，1)使f()=0因此，F()=F(1)=0，对 F(x)在，1上利用罗尔定理得
17、，f()=0，即 f“()= f()【试题解析】 即证 f“(x)一在(0，1)存在零点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 记 g(x)=lnx，由柯西中值定理知，存在 (a，b)使得 由托格朗日中值定理知，存在 (a，b) 使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)，代入即得【试题解析】 把要证的结论改写成 ，并逐次用柯西与拉格朗日中值定理即可【知识模块】 微积分15 【正确答案】 利用x= ，可得函数 f(x)的分段表达式 从而函数f(x)在(一，+)上连续，且分别在(一 ，0)，(0 ，a)，(a ，+)三个区间内可导，其导函数是 由此得 x(一，0)时 f(x)0，故 f(x
18、)在(一 ，0 单调增加；x (a，+)时 f(x)0，故 f(x)在a， +)单调减少从而 f(x)在0 ，a上的最大值就是 f(x)在(一，+) 上的最大值 当 x(0，a)时，由由于=f(0)=f(a)，因此 f(x)在0，a 即在(一，+)上的最大值是 由于 f(x)在(一，0)上单调增加，在(a ，+)上单调减少，又 f(x)在0，a上的最小值 f(x)=0，因此 f(x)在(一 ，+)上无最小值【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得从而 f(x)的最大值是 f(*)=02(2t)etdt=一 02(2t)det=
19、(t2)et 0202etdt =2+et 02=1+e2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 f(x)的大小由于 f(x)=0+(2 一 t)etdt=(t 一 2)et+et 0+=1f(0)=0 ，从而 f(0)=0是最小值【试题解析】 f(x)的定义域是( 一，+) ，由于它是偶函数，故只需考虑x0，+)求 f(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性由于需要考察 f(0)是否为最值，还需求极限值 f(x)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 过椭圆上任意点(x 0，y 0)的切线的斜率 y(x0)满足分别令 y=0 与 x=0，得x，y 轴上的截距：x= 于是该切线与椭圆及
20、两坐标轴所围图形的面积(图 2 14)为 问题是求：S(x)=，将其代入 S(x)中，问题可进一步化为求函数 f(x)=x2(a2 一 x2)在闭区间0，a上的最大值点 由f(x)=2x(a2 一 2x2)=0(x(0，a)得 a2 一 2x2=0，x=x 0= 注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0)0，故 x0= 为所求的点【知识模块】 微积分18 【正确答案】 () 生产 x 件产品的平均成本 (x0)，因 在(0，+) 中仅有唯一零点 x=1000，又因 (x)在其唯一驻点 x=1000处取得最小值即应生产 1000 件产品才可使平均成本最小 ()若该产品以每件500 元的价格售出，
21、则生产 x 件产品可获利润(单位：元) L(x)=500x(25000+200x+x2，(x0)由边际利润 ML=L(x)=300 一 ，可得x=6000 是总利润函数 L(x)的唯一驻点，又因 L“(x)0，从而 L(x)在该点取得最大值即当产品单价为 500 元时，生产 6000 件产品可获利润最大【知识模块】 微积分19 【正确答案】 总利润函数 L(Q)=R 一 C=QARC=一 Q3+(7 一 b)Q2+(a 一100)Q 一 50，从而使总利润最大的产量 Q 及相应的 a，b 应满足 L(Q)=0，MR=67及 Ep=一 ，即由此得到两组可能的解：a=111，b= ，Q=3 与 a
22、=111，b=2 ，Q=11 把第一组数据中的 a，b 代入得总利润函数 L=一 Q2+11Q 一 50，虽然 L(3)=0，L“(3)0，即 L(3)确实是 L(x)的最大值，但 L(3)0，不符合实际，故应舍去 把第二组数据中的 a，b 代入得总利润函数 L=一 Q3+5Q2+11Q 一 50，也有 L(11)=0，L“(11)0，即 L(11)=232 是 L(x)的最大值，故 a=111，b=2 是所求常数的值，使利润最大的产量 Q=11【试题解析】 平均收益函数 AR=a 一 bQ 其实就是价格 P 与销售量 Q 的关系式，由此可得总收益函数 R=QAR=aQ 一 bQ2，需求函数(
23、它是 P=a 一 bQ 的反函数)Q= (a 一 P)，进而可得需求价格弹性利用以上结果不难解决本题【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 由已知的泰勒公式，通过适当运算即可求得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 通过求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)及 f(n+1)(x)而得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 () 用 et，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0 展开由于再求分子的泰勒公式由 x 2e2x=x21+(2x)+o(x)=x2+2x3+o(x3)，ln(1 一 x2)=x2+o(x3)，可得 x
24、2e2x+ln(1 一 x2)=2x3+o(x3)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由麦克劳林公式，有【试题解析】 先利用带皮亚诺余项的泰勒公式解出 (x)，然后再求极限【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因此当 x0 时 0x(et 一 1t)2dt 是 x 的五阶无穷小量【知识模块】 微积分25 【正确答案】 分别讨论 x1 与 0x1 两种情形1)当 x1 时考察二阶泰勒公式2)当 0x1 时对 f“(x)用拉格朗日中值定理，有 f“(x)=f“(x)一 f“(1)+f“(1)=f“()(x 一1)+f“(1)，其中 (x，1)从而 f“(x) f“()x 一 1+1f“(1)M 3+f“(1) (x(0，1) 综合即知 f“(x)在 (0，+) 上有界【知识模块】 微积分26 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得两式相减消去未知的函数值 f( )即得 f“(1)一 f“(2)=8 f“(1)+ f“( 2)8故在 1 与 2 中至少有一个 使得在该点的二阶导数的绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)使 f“()4【知识模块】 微积分
