1、考研数学三（微积分）模拟试卷 132 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在2 设函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内有定义，且在点(x 0，y 0)处的两个偏导数fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则（A）存在常数 k，使 f(x，y)=k（B） f(x，y)=f(x 0，y 0)（C） f(x0，y)=f(x 0，y 0)（D）当(x) 2+(y)20 时 f(x0+x，
2、y 0+y)一 f(x0，y 0)一f x(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y =o( )3 设 I1= (x2+y2)d，则（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I3I 1I 2（D）I 3I 2 I1二、填空题4 设 u=exsin 的值为_ 5 ()设 f(xy， )=y2(x2 一 1)(xy0)，则 df (1，1) =_； ()设二元函数z=xex+y+(x+1)In(1+y)，则 dz (1，0) =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求下列极限：7 证明极限 不存在8 9 设 z=arctan 10 设 z=xyy x，求 11 设
3、z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)， x)的偏导数 12 设 z=f(u，v)，u=(x ，y)，v=(x ，y) 具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f(x，y) ，(x ，y)的一阶与二阶偏导数13 设 z=f(2x 一 y，ysinx)，其中 f(u，v)有连续的二阶偏导数，求 14 设 f(x，y)与 (y)均是二次可微函数若 z=f(x，y)，其中 y=y(x)是由方程x=y+(y)所确定，求 15 设 z=z(x，y)是由方程 F(xy，y+z，xz)=0 所确定的隐函数，且 F 具有一阶连续偏导数，求 16 求二元函数
4、 f(x，y)=x 4+y42x2 一 2y2+4xy 的极值17 求函数 z=x2y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值18 求函数 f(x，y)=3x 2+3y2 一 x2 在 D=(x，y)x 2+y216上的最大值与最小值19 将 f(x，y)d 化为累次积分，其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay 的公共部分(a 0)20 设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求I= ydxdy21 设 D 是 Oxy 平面上以 A(1，1)，B(一 1，1) 和 C(一 1，一 1)为顶点的三角形
5、区域则 I= sin(xy)+4dxdy=_22 求 I= ，y=x 及 x=0 所围成区域23 求 I= ，其中 D：x1 ，0y2 24 设 D 由抛物线 y=x2，y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序将I= f(x，y)dxdy 化成累次积分25 求 I= ydxdy，其中 D 由直线 x=一 2，y=0，y=2 及曲线 x=一 所围成26 设 z(x，y)满足求 z(x，y)27 设 f(x，y)= ；() 讨论 f(x，y)在点(0 ，0) 处的可微性，若可微并求 df (0，0) 28 求下列各函数的偏导数与全微分：29 求下列复合函数的偏导数： ()设 u
6、=f(x，xy)， v=g(x+xy)，且 f 和 g 具有一阶连续偏导数，求 ； ()设 z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 30 设 f 具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分： ()z=f(x2+y2，e ycosx)，求 31 设 u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而 x=rsinocos，y=rsinsin，z=rcos()若 =0，试证明 u 仅为 与 的函数； ()若，试证明 u 仅为 r 的函数32 设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+y 一 z=ez 所确定的二元函数，求 dz， 33 设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且
7、z=z(x，y)由方程 xex 一 yey=zez 所确定，求 du34 设由方程 (bzcy，cx 一 az，aybx)=0 (*)确定隐函数 z=z(x，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a ， b，c 为非零常数，且 b1 一 a20，求 35 设 u=f(x， y，z)有连续的偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由 exyxy=4 和ez= 考研数学三（微积分）模拟试卷 132 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论 f(x，y)在点(0 ，0)处是否连续，是否可偏导先讨论容易的，即 f(x， y
8、)在点(0，0)处是否可偏导由于 f(x，0)=0因此 f(x，y)在点(0， 0)处不连续故应选(C) 再考察 f(x，y)在点(0，0)处的连续性令 y=x3，则 f(0，0)，因此 f(x，y)在点(0，0) 处不连续故应选(C) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 表示 f(x，y)当(x，y)(x 0，y 0)时极限存在；选项(B)表示f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；选项 (D)表示 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微它们在题设条件下都未必成立而选项(C)表示一元函数 f(x0，y)与 f(x0，y 0)分别在点y=y0， x=x0 处连
9、续由于 f x(x0，y 0)=，根据一元函数可导必连续的性质知(C)成立【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 先比较 I1 和 I3 的大小：由于 I1 和 I3 被积函数连续，相同且非负，而I1 的积分域包含了 I3 的积分域，由性质 7 可知 I1I 3 再比较 I2 和 I3 的大小：由于 I2 和 I3 的积分域相同，又 x2+y22xy，由比较定理可知 I3I 2，从而有I1I 3I 2故应选 (B)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 (对 x求导时 y 为常量)将上式对 y 求导，得(对 y 求导时 x 为常量)【知识模块】 微积分5 【
10、正确答案】 ()dx dy；()2edx+(e+2)dy【试题解析】 () 求解本题的关键是确定函数 f(x，y)的解析式令 u=xy，v=一 1=u2 一 uv，即 f(x， y)=x2 一 xy，求一阶全微分可得 df(x，y)=(2xy)dxxdy 在上式中令 x=1，y=1 即得 df (1，1) =dxdy () 利用全微分的四则运算法则与一阶全微分形式不变性直接计算即得 dz=ex+ydx+xd(ex+y)+ln(1+y)d(x+1)+(x+1)dln(1+y) =ex+ydx+xex+yd(x+y)+ln(1+y)dx+(x+1) =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(
11、1+y)dx+，于是 dz (1，0) =edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 (x，y) 沿不同的直线 y=kx 趋于(0， 0)，有再令(x，y)沿抛物线y2=x 趋于 (0，0)，有【试题解析】 先考察(x，y)沿不同的直线趋于(0，0)时 f(x，y) 的极限若不同，则得证；若相同，再考察点(x，y)沿其他特殊的路径曲线趋于(0，0)时 f(x，y)的极限【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 按定义【知识
12、模块】 微积分10 【正确答案】 =yxy1y x+xyy xlny=xyy1y x(y+xlny)， =xy1lnxy x(y+xlny)+xy1xy x1(y+xlny)+xny)+xy1yx(1+ ) =xy1yx1(x2lny+y2lnx+xylnxlny+xy+x+y)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 由复合函数求导法可得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 第二步，再求 (f1)这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数 f1=仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 x，y 的函数，它们的复合仍是x，y 的函数，因而还要用复合函数求导法求 (f2)即【知识模块】 微积分
13、13 【正确答案】 =f1(2x 一 y，ysinx)2+f 2(2x 一 y，ysinx)ycosx， =一2f“11(2xy，ysinx)+2f“ 13(2x 一 y，ysinx)sinx 一 f“21(2x 一 y，ysinx)ycosx+f“ 22(2xy，ysinx)sinxycosx +f 2(2xy，ysinx)cosx 为书写简便，可以把变量省略，写成 =一 2f“11+(2sinx 一 ycosx)f“12+ysinxcosxf“22+cosxf2，因为 f 有连续的二阶偏导数，故其中的 f“12=f“21【知识模块】 微积分14 【正确答案】 将 x=y+(y)两端对 x
14、求导，得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 把方程 F(xy，y+z ，xz)=0 看成关于(x，y)的恒等式，两端求全微分，由一阶全微分形式不变性可得 0=dF(xy，y+z， xz)=F1d(xy)+F2d(y+z)+F3d(xz) =F1(ydx+xdy)+F2(dy+dz)+F3(zdx+xdz) =(yF1+zF3)dx+(xF1+F2)dy+(F2+xF3)dz，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 为求函数 f(x，y)的驻点，解如下方程组得到三个驻点(x 1，y 1)=(0，0)，(x 2，y 2)= 为判定上述三个驻点是否是极值点，再计算 在点(0，0)处，由于 A(0
15、，0)= 一 40，B(0，0)=4，C(0，0)= 一 4，且 ACB2=0，故无法用充分条件判断点(0，0) 是不是 f(x，y)的极值点但由于在直线 y=x 上，f(x，y)=2x 4 在x=0 取极小值；而在直线 y=一 x 上，f(x，一 x)=2x48x2 在 x=0 取极：大值，所以点(0， 0)不是函数 f(x，y)的极值点 在点( )处，由于A=200，B=4，C=20，ACB 2=3840，故 f( )=一 8 是函数 f(x，y)的极小值 在点(一 )处，由于 A=200，B=4 ， C=20，ACB 2=3840，故 f(一)=一 8 也是函数 f(x，y)的极小值【知
16、识模块】 微积分17 【正确答案】 区域 D 如图 41 所示，它是有界闭区域 z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求得 z(x，y)在 D 内有唯一驻点 (x，y)=(2 ，1) 且 z(2， 1)=4 在 D 的边界 y=0，0x6或 z=0，0y6 上 z(x，y)=0 ； 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6 一 x 代入得 z=x 2(6 一x)(一 2)=2(x3 一 6x2)，0x6，令 h(x)=2(x3 一 6x2)，则 h(x)=6(x 2 一 4x)，h(4)=0，h(0)
17、=0，h(4)=一 64，h(6)=0 ，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为0，最小值为一 64 因此， (x，y)=z(4，2)=一64【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为函数 f(x，y)在有界闭域 D 上连续，所以 f(x，Y) 在 D 上存在最大值与最小值解方程组 得两个驻点(x，y)=(0，0)与(x，y)=(2，0)令 F(x，y，)=3x 2+3y2 一 x3 一 (x2+y216)，解方程组得(x，y)=4 ，0)或 (x，y)=(0 ，4) 由于 f(0，0)=0，f(2，0)=4，f(4，0)=一 16，f(一 4，0)=112 ，f(0 ，4
18、)=48 ，所以函数 f(x，y)在D 上的最大值为 f(一 4，0)=112，最小值为 f(4，0)=一 16【知识模块】 微积分19 【正确答案】 采用直角坐标系 x 2+y2=2ax 与 x 2+y2=2ay 是两个圆，其交点为0(0，0)与 P(a，a)从 D 的图形(图 410)可知【知识模块】 微积分20 【正确答案】 先对 x 积分区域 D 如图 412 所示【知识模块】 微积分21 【正确答案】 8【试题解析】 连 将区域 D 分成 D1(三角形 OAB)，D 2(三角形 OBC)两个部分(见图 413) ，它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 (xy)对 x 与 y 均为奇
19、函数，因此于是 I=0+8=8【知识模块】 微积分22 【正确答案】 区域 D 如图 414被积函数只含 y，先对 x 积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y 积分，则求积分 要费点功夫选择先对 x 积分，将 D 分块：【知识模块】 微积分23 【正确答案】 在积分区域 D 上被积函数分段表示为 y 一 x2=(x，y) D，因此要将 D 分块，用分块积分法又 D 关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D 1=(x，y)(x，y)D，x0，yx 2，D2=(x，y) (x，y)D，x0，yx 2，【知识模块】 微积分24 【正确答案】 区域 D 如图 415 所示，将 D
20、 分成 x0 与 x0 两部分，用分块积分法得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 D 的图形如图 416 所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D1，则计算 D1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 x 后 y的积分顺序化为累次积分若注意 D 关于直线 y=1 对称，选择平移变换则最为方便 作平移变换 u=x，v=y 1，注意曲线 x=一 即x2+(y1)2=1，x0，则 D 变成 DD由 u=一 2， v=一 1，v=1，u 2+v2=1(u0)围成，则 (在 uv 平面上 D关于 u 轴对称)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数，将等
21、式两边对 x 求积分得【试题解析】 实质上这是一元函数的积分问题当 y 任意给定时，求 z(x，y)就是 x 的一元函数的积分问题，但求积分后还含有 y 的任意函数，要由 z(1，y)定出这个任意函数【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 () 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得【知识模块】 微积分29 【正确答案】 () 由复合函数求导法可得 =f1+yf2又 v=g(x+xy)是一元函数v=g(z)与 z=x+xy 的复合函数， z 是中间变量，同样由复合函数求导法得()先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合
22、，u 是中间变量，(x+y)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 () 利用一阶全微分形式不变性与全微分的四则运算法则可得dz=f1d(x2+y2)+f2d(eycosx) =(2xdx+2ydy)f1+(一 eysinxdx+eycosxdy)f2 =(2xf1eysinxf2)dx+(2yf1+eycosxf2)dy， z x=2xf1eysinxf2，z y=2yf1+eycosxf2从而=z“=(xx)y=(2xf1eysinxf2)y=2x(f1)y 一 eysinxf2 一 eysi
23、nx(f2)y =2x(2yf“11+eycosxf“12)一 eysinxf2 一 eysinx(2yf“21+eycosxf“22) =4xyf11+2ey(xcosxysinx)f“12 一 e2ysinxcosxf“22 一 eysinxf2 ()u=复合而成的 x，y，z 的三元函数先求du(从而也就求得)由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得【知识模块】 微积分31 【正确答案】 () 按函数的复合关系可得=A(r2sincoscos2+r2sincossin2 一 r2sincos) =r2(sincos 一 sincos)=0，所以 u 不依赖于 注意到中间变量 z
24、不依赖于自变量 ，所以由已知条件知上式右端为 0，所以 u 也不依赖于 ，综上即得 u 仅为 r 的函数【试题解析】 这是三个中间变量、三个自变量的复合函数，变量间的依赖关系如下： 为证明结论()，只需证明=0【知识模块】 微积分32 【正确答案】 将方程两边求全微分后求出 dz 由 dz 可求得将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 ydx+xdy+dx+dydz=e zdz【知识模块】 微积分33 【正确答案】 设 F(x，y，z)=xe x 一 yeyzez，则【知识模块】 微积分34 【正确答案】 将方程(*)看成关于 x，y 的恒等式，两边分别对 x，y 求偏导数得【知识模块】 微积分35 【正确答案】 【知识模块】 微积分
