1、考研数学三（微积分）模拟试卷 153 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 un 收敛，则下列级数必收敛的是( )（A）（B） un2（C） (u2n1 u 2n)（D） (unu n1 )2 设 f(x)为可导函数，F(x) 为其原函数，则( )（A）若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数（B）若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数（C）若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数（D）若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数3 设 f(x) ，则在 x1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但不是连续可导
2、（D）连续可导4 当 x1 时，f(x) 的极限为( )（A）2（B） 0（C） （D）不存在但不是二、填空题5 当 x 时，3arccosxa ，则 a_ ，b_6 _7 设 f(x)ln(2x 2x1)，则 f(n)(x)_8 _9 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)xy f(x，y)d，其中 D 由 y0，yx 2 及 x1围成，则 f(x，y)_10 微分方程 y4y4x8 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求 13 (1)求常数 m，n 的值，使得 3(2) 设当 x0 时，x(a bcosx)sinx 为 x的 5 阶无穷小，求 a，
3、b (3)设当 x0 时，f(x) ln(1t)dtg(x)x a(ebx1)，求 a，b14 设 yx 2lnx，求 y(n)(n3)15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f( )0证明：存在 (a，b)，使得 f()f()16 证明：当 x1 时， 17 求 18 当 x0 时，f(x)x，设 g(x) 当 x0 时，求 0af(t)g(xt)dt 19 设 f(x) ，求 02f(x)dx20 设 L：ye x (x0)(1)求由 ye x 、x 轴、y 轴及 xa(a0)所围成平面区域绕x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)(2)设 V
4、(c) V(a)，求 c21 设 zf(e tsinnt,tant)，求 22 改变积分次序 f(x，y)dy23 设 f(x) S0 02f(x)ex dx，S 1 24f(x2)e x dx,Sn 2n2n2 f(x2n)e x dx.求 Sn24 求幂级数 的收敛域25 求微分方程 x2yxyy 2 满足初始条件 y(1)1 的特解考研数学三（微积分）模拟试卷 153 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (u1u n1 )收敛，因为 Sn2(u 1u 2u n)u 1u n1 ，而级数 收敛，所以 存在，由级数收敛的定
5、义， (u1u n1 )收敛，选(D).【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)cosx2，F(x)sinx2xC ，显然 f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A) 不对；令 f(x)2x，F(x) x2C，显然 f(x)为单调增函数但 F(x)为非单调函数， (B)不对；令 f(x)x 2，F(x) x32，显然 f(x)为偶函数，但 F(x)为非奇非偶函数， (C)不对；若 f(x)为奇函数， F(x) axf(t)dt，因为F(x) 所以 F(x)为偶函数，选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 (x2x1)3f(1) ，所
6、以 f(x)在 x1 处连续因为3，所以 f(x)在 x1 处可导当 x1 时，f(x)2x1，因为 f(x)3f(1)，所以 f(x)在 x1 处连续可导，选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 ，1【试题解析】 由 得 3arccosx ，b1【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 令 f(x，y)d k ，则 f(x，y)xyk ，两边在 D 上积分得
7、f(x,y)d (xyk)d，即 k 01dx0x2(xyk)dy，解得 k ，所以f(x，y)xy 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 yC 1cos2xC 2sin2xx2【试题解析】 微分方程两个特征值为 12i， 22i， 则微分方程的通解为yC 1cos2xC 2sin2xx2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由 3 得 mn10， 得 m26，解得m4，n5(2)x (abcosx)sinx (x0) 再由 g(x)x a(ebx1)bk a1
8、 得a3，b 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 y (n)C nox2(lnx)(n)C n12x(lnx) (n) C n22(lnx) n1 。由(lnx) (n)得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0，f 0，令 (x)e x f(x)，则 (x)e x f(x)f(x)因为 (a)0， 0，(b)0，所以存在 ，使得 (1)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()0，即 e f()f()0，因为 e 0，所以 f()f()【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(x)(1 x)ln(1x)xlnx，f(1)2ln2
9、 0，因为 f(x)ln(1x) 1lnx 1ln(1 )0(x1)，所以 f(x)在1，oo)上单调增加，再由 f(1)2ln20 得当 x1 时，f(x) 0，即 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 (1)V(a) 0ae2x dx (1e 2a )(2)由 V(c)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 e t(sintcost)f 1f 2sec2t【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 S 0 02f(x)ex dx 01xex dx 12(2x)e x dx 令 tx2，即S1e 2 02f(t)et dte 2 S0，令 tx2n，即 Sne 2n 02f(t)et dte 2 S0，S【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由 x2yxyy 2 得 ，两边积分得 ，因为 y(1)1，所以C 1，再把 Cx 2 得原方程的特解为 y 【知识模块】 微积分
