1、考研数学三（微积分）模拟试卷 158 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a 为任意常数，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与常数 a 有关2 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f(x) 0，令 S1 abf(x)dx，S 2f(b)(ba)，S3 f(a)f(b)，则( )（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 13 设曲线 yx 2ax b 与曲线 2yxy 31 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（A）a1， b1（B） a1，b1（C） a2，b
2、1（D）a2 ，b14 设 f(x) ，则 f(x)( )（A）无间断点（B）有间断点 x1（C）有间断点 x1（D）有间断点 x0二、填空题5 _6 设 f(x)可导且 2，又 g(x) 在 x0 处连续，则 a_7 _8 由 xze yz 确定 zz(x，y)，则 dz (e，0) _9 计算 02dxx2y2ey2 dy_10 以 yC 1e2x C 2excosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 求 arctanx13 求 14 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)f(0) 0，f(0)0 ，设 u(x)为曲线 y
3、f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求 15 设 ba 0，证明： 16 求曲线 y 的上凸区间17 求 18 求 01xarctanxdx19 求 20 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 yx 2，C 1 的方程是 y x2，求曲线 C2 的方程21 设 zf(e xsiny，x 2y 2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 22 把 f(x，y)dxdy 写成极坐标的累次积分，其中D(x，y)0x1，0yx
4、)23 判断级数 的敛散性24 求幂级数 的和函数25 求微分方程 xy3y0 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 158 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在a ，b 上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2S 1S 3， 选(B) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 yx 2axb 得 y2xa，2yxy 31 两边对 x 求导得2yy 33xy 2y，解得 y ，因为两曲线在点(1 ，1)处切线相同，所以选(B) 【知识模块
5、】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 当x1 时，f(x)1x；当x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)1于是 f(x) 显然 x1 为函数 f(x)的间断点，选(B)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 注意到 xx1，由洛必达法则得【知识模块】 微积分6 【正确答案】 3【试题解析】 因为 g(x)在 x0 处连续，所以 a3【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 xe ，y 0 时，z 1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得 02d
6、xx2y2ey2 dy 02dy0yy2ey2 dx 02y3ey2 dy【知识模块】 微积分10 【正确答案】 yy2ysinx 3cosx【试题解析】 特征值为 12， 21，特征方程为 220， 设所求的微分方程为 yy2yQ(x)，把 ycosx 代入原方程，得 Q(z)sinx 一 3cosx，所求微分方程为 yy2ysinx3cosx【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 当 x0，1 时，由 0 sinnxxn【知识模块】 微积分14 【正确答案】 曲
7、线 yy(x)在点(x，f(x)的切线为 Yf(x)f(x)(X x)，令Y0，则 u(x)Xx ，【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(t) lnt，由微分中值定理得 f(b)f(a)f()(ba) 其中(a， b)因为 0a b，所以 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由 y0 得(x3) 210，解得 2x4，故曲线 y 的上凸区间为(2，4) 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由题设 C：yx 2，C 1：y x2，令 C2：xf(y)，P 点坐
8、标为(x，y)， 0x2f(y)dy x3，两边对 x 求导，得 2xf(x 2) 从而 C2 的方程为 xf(y) 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 f 1exsiny2xf 2 f 1excosye xsiny(f11excosy2yf 12)2x(f 21excosy2yf 22) f1excosy f11e2xsin2y2e x(ysinyxcosy)f 124xyf 22【知识模块】 微积分22 【正确答案】 D(r,)0 ，0rsec ，则 f(x,y)dxdy d0secrf(rcos,rsin)dr【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 x1t, 得收敛半径为 R1，当 t1 时，因为 0，所以收敛区间为1t1，从而2x0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分
